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式と証明|不等式の証明の拡張について

数学2 式と証明アイキャッチ03 数学II

不等式の証明の拡張を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。


\begin{align*}
&\text{$a \geqq 2 \ , \ b \geqq 2 \ , \ c \geqq 2 \ , \ d \geqq 2$ のとき、} \\[ 10pt ]
&\text{次の不等式が成り立つことを証明せよ。} \\[ 10pt ]
&(1) \quad ab \geqq a+b \\[ 10pt ]
&(2) \quad abcd \geqq a+b+c+d
\end{align*}

問(1)と問(2)の不等式を見比べると、式の形がよく似ていることに気付きます。問(2)を意識しながら、問(1)を解きましょう。

問(1)の解答・解説

問(1)
\begin{align*}
&\text{$a \geqq 2 \ , \ b \geqq 2 \ , \ c \geqq 2 \ , \ d \geqq 2$ のとき、} \\[ 10pt ]
&\text{次の不等式が成り立つことを証明せよ。} \\[ 10pt ]
&(1) \quad ab \geqq a+b
\end{align*}

左辺と右辺の差を作って、大小を比較します。

問(1)の解答例①
\begin{align*}
&\qquad ab -\bigl( a+b \bigr) \\[ 10pt ]
&\quad = ab-a-b \\[ 10pt ]
&\quad = ab-a-b+1-1 \\[ 10pt ]
&\quad = \bigl( a-1 \bigr)\bigl( b-1 \bigr)-1
\end{align*}

左辺と右辺の差から得られた式の値を吟味します。

問(1)の解答例②
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 10pt ]
&\quad \bigl( a-1 \bigr)\bigl( b-1 \bigr)-1 \\[ 10pt ]
&\text{ここで、$a \geqq 2 \ , \ b \geqq 2$ より} \\[ 10pt ]
&\quad a-1 \geqq 1 \ , \ b-1 \geqq 1 \\[ 10pt ]
&\text{であるので} \\[ 10pt ]
&\quad \bigl( a-1 \bigr) \bigl( b-1 \bigr) \geqq 1 \\[ 10pt ]
&\text{よって} \\[ 10pt ]
&\quad \bigl( a-1 \bigr)\bigl( b-1 \bigr)-1 \geqq 0 \\[ 10pt ]
&\text{すなわち} \\[ 10pt ]
&\quad ab -\bigl( a+b \bigr) \geqq 0 \\[ 10pt ]
&\text{したがって} \\[ 10pt ]
&\quad ab \geqq a+b \\[ 10pt ]
\end{align*}

問(1)の不等式の証明は、基本通りの解法で容易に証明できます。

問(2)の解答・解説

問(2)
\begin{align*}
&\text{$a \geqq 2 \ , \ b \geqq 2 \ , \ c \geqq 2 \ , \ d \geqq 2$ のとき、} \\[ 10pt ]
&\text{次の不等式が成り立つことを証明せよ。} \\[ 10pt ]
&(2) \quad abcd \geqq a+b+c+d
\end{align*}

問(2)の不等式は、問(1)と似ていますが、2文字から4文字の不等式へと拡張されています。難易度が上がっているので注意しましょう。

いきなり4文字の不等式を扱うのではなく、問(1)の結果を利用して、2文字の不等式を導きます

問(2)の解答例①
\begin{align*}
&\text{(1)の結果から} \\[ 10pt ]
&\quad ab \geqq a+b \ , \ cd \geqq c+d \quad \text{…①}
\end{align*}

不等式の性質を利用して、①式から与式と共通の左辺をもつ不等式を導きます。

問(2)の解答例②
\begin{align*}
&\text{ここで} \\[ 10pt ]
&\quad a+b \geqq 4 \gt 0 \ , \ c+d \geqq 4 \gt 0 \\[ 10pt ]
&\text{であるので、①より} \\[ 10pt ]
&\quad ab \cdot cd \geqq \bigl(a+b \bigr) \bigl(c+d \bigr) \\[ 10pt ]
&\text{よって} \\[ 10pt ]
&\quad abcd \geqq \bigl(a+b \bigr) \bigl(c+d \bigr) \quad \text{…②}
\end{align*}

利用した不等式の性質は以下のようになります。

不等式の性質
\begin{align*}
&\text{$A \geqq B \gt 0 \ , \ C \geqq D \gt 0$ のとき} \\[ 10pt ]
&\quad AC \geqq BD
\end{align*}

与式の左辺をもつ不等式①が得られました。次は、②式の右辺に注目します。二項式の積になっていますが、各二項式を1文字に見立てると、(1)の結果を利用することができます。

問(2)の解答例②
\begin{align*}
&\text{さらに} \\[ 10pt ]
&\quad a+b = X \ , \ c+d = Y \\[ 10pt ]
&\text{とおくと} \\[ 10pt ]
&\quad X \geqq 4 \gt 2 \ , \ Y \geqq 4 \gt 2 \\[ 10pt ]
&\text{であるので、(1)より} \\[ 10pt ]
&\quad XY \gt X+Y \\[ 10pt ]
&\text{ただし、(1)の不等式は成り立つが、等号は成り立たない。} \\[ 10pt ]
&\text{よって} \\[ 10pt ]
&\quad \bigl(a+b \bigr) \bigl(c+d \bigr) \gt \bigl(a+b \bigr)+\bigl(c+d \bigr) \\[ 10pt ]
&\quad \bigl(a+b \bigr) \bigl(c+d \bigr) \gt a+b + c+d \quad \text{…③}
\end{align*}

与えられた条件とは異なり、XY はともに2よりも大きいので、不等式は成り立っても、等号は成り立たないことに注意しましょう。

②式の右辺と③式の左辺が共通になりました。これらを1つの不等式にまとめて、与式を導きます。

問(2)の解答例②
\begin{align*}
&\text{②,③より} \\[ 10pt ]
&\quad abcd \geqq \bigl(a+b \bigr) \bigl(c+d \bigr) \gt a+b+c+d \\[ 10pt ]
&\text{より} \\[ 10pt ]
&\quad abcd \gt a+b+c+d
\end{align*}

②式と③式の関係から得られる不等式については、不等式の性質を理解していれば導くことができます。

覚えておきたい不等式の性質
\begin{align*}
&\text{$A \geqq B \ , \ B \gt C$ ならば} \\[ 10pt ]
&\quad A \gt C
\end{align*}

結果を利用すること自体は問題ありませんが、結果から得られる不等式の扱い方を知らないと、その後の処理に差が出ます。手順を大まかにまとめると、以下のようになります。

不等式の証明の拡張の手順

  1. 与式(A > B)を導くために、すでに証明された結果を利用する。
  2. 結果から得られた不等式を用いて、左辺を与式に揃える(A > C を導く)。
  3. 右辺に注目して、与式の右辺を導く(C > B を導く)。
  4. 2つの不等式をまとめて、与式を導く(A > B を導く)。

大まかな手順なので、問題によっては細かい部分が異なるかもしれません。また、式変形もそれぞれ異なります。できるだけ演習をこなして、自分なりに手順をまとめておくと良いでしょう。

等式の証明よりも、不等式の証明の方が難しいので、自分なりに手順をまとめておこう。
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第6章 曇りなき思考で見定め、決める
第7章 教科ごとの特徴をつかめ
第8章 合格の先、不合格の先

さいごにもう一度まとめ

  • 似た不等式の証明では、すでに証明した結果を利用しよう。
  • 結果から得られた不等式を用いて、与式と共通の左辺をもつ不等式を導こう。
  • さらに与式と共通の右辺をもつ不等式を導こう。
  • 導いた2つの不等式を1つにまとめて、与式を導こう。
  • 文字の種類が増えても、慌てずに1文字に見立てるなど工夫しよう。
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