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式と証明|不等式の証明について(平方の差をつくる)

数学2 式と証明アイキャッチ03 数学II

今回は不等式の証明の応用について学習しましょう。不等式の証明では、差をつくることが基本です。ただ、問題によっては差をつくっても大小を比較することができないものがあります。

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根号や絶対値を含む不等式の証明

不等式を証明する問題において、式が根号や絶対値を含むとき、単に差をつくっても大小を比較することができません。

差をつくっても計算が進まない
\begin{align*}
&5\sqrt{a+b}-\Bigl(3\sqrt{a}+4\sqrt{b} \Bigr) \\[ 10pt ]
&\sqrt{a-b}-\Bigl(\sqrt{a}-\sqrt{b} \Bigr)
\end{align*}

根号や絶対値があると、差をつくることはできても、それ以上、計算することができないことが原因です。

根号や絶対値を含む式の大小比較

式に根号や絶対値が含まれる場合、式の大小比較では以下の性質を利用します。

正の数の大小と平方の大小
\begin{align*}
&A \geqq 0 \ , \ B \geqq 0 \quad \text{のとき} \\[ 10pt ]
&A \gt B \ \Leftrightarrow \ A^{\scriptsize{2}} \gt B^{\scriptsize{2}} \ \Leftrightarrow \ A^{\scriptsize{2}} – B^{\scriptsize{2}} \gt 0
\end{align*}

比較する2数が、ともに0以上である(または正である)ことが条件で、この条件は問題文に必ず明記されています。この条件がないと、利用できない性質なので注意しましょう。もし、左辺や右辺が0以上である(または正である)という条件が明記されていなければ、自分で断りを入れましょう

例題を解いてみよう

例題から不等式の証明でのポイントを確認してみましょう。

例題
\begin{align*}
&\text{次の不等式が成り立つことを証明せよ。} \\[ 5pt ]
&\text{また、(1)の等号が成り立つのはどのようなときか。} \\[ 10pt ]
&(1) \quad \text{$a \geqq 0 \ , \ b \geqq 0$ のとき} \quad 5\sqrt{a+b} \geqq 3\sqrt{a}+4\sqrt{b} \\[ 10pt ]
&(2) \quad \text{$a \gt b \gt 0$ のとき} \sqrt{a-b} \gt \sqrt{a}-\sqrt{b}
\end{align*}

例題(1)の解答・解説

例題(1)
\begin{align*}
&\text{次の不等式が成り立つことを証明せよ。} \\[ 5pt ]
&\text{また、(1)の等号が成り立つのはどのようなときか。} \\[ 10pt ]
&(1) \quad \text{$a \geqq 0 \ , \ b \geqq 0$ のとき} \quad 5\sqrt{a+b} \geqq 3\sqrt{a}+4\sqrt{b}
\end{align*}

例題(1)は、根号を含む不等式の証明です。根号を含みますが、条件から平方の差をつくれば大小比較ができそうです。

与式から左辺と右辺が等しくなるか、左辺の方が右辺よりも大きくなることが分かります。ですから、(左辺)2-(右辺)2≧0を導くことができれば、不等式を証明することができます。

平方の差をつくります。

平方の差をつくる
\begin{align*}
&\bigl(\text{左辺}\bigr)^{\scriptsize{2}}-\bigl(\text{右辺}\bigr)^{\scriptsize{2}} \\[ 5pt ]
= \ &\Bigl(5\sqrt{a+b} \Bigr)^{\scriptsize{2}}-\Bigl(3\sqrt{a}+4\sqrt{b} \Bigr)^{\scriptsize{2}}
\end{align*}

誰が見ても差が0以上であると言える形を導かなければなりません。平方して整理します。

平方の差を整理する
\begin{align*}
&\bigl(\text{左辺}\bigr)^{\scriptsize{2}}-\bigl(\text{右辺}\bigr)^{\scriptsize{2}} \\[ 5pt ]
= \ &\Bigl(5\sqrt{a+b} \Bigr)^{\scriptsize{2}}-\Bigl(3\sqrt{a}+4\sqrt{b} \Bigr)^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ]
= \ &25\bigl(a+b\bigr) – \bigl(9a+24\sqrt{ab}+16b\bigr) \\[ 10pt ]
= \ &16a-24\sqrt{ab}+9b \\[ 10pt ]
= \ &\Bigl(4\sqrt{a}-3\sqrt{b}\Bigr)^{\scriptsize{2}}
\end{align*}

平方の差を整理すると、平方完成して多項式の2乗を得ることができました。a , b はともに0以上の実数ですから、カッコの中の多項式も実数です。つまり、平方の差を整理すると、実数の2乗を得ることができたということです。

実数の性質を利用する
\begin{align*}
&\quad \Bigl(5\sqrt{a+b} \Bigr)^{\scriptsize{2}}-\Bigl(3\sqrt{a}+4\sqrt{b} \Bigr)^{\scriptsize{2}} = \Bigl(4\sqrt{a}-3\sqrt{b}\Bigr)^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ]
&\text{ここで、$a \ , \ b$ はともに $0$ 以上の実数であるので} \\[ 5pt ]
&\text{$4\sqrt{a}-3\sqrt{b}$ も実数である。} \\[ 5pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad \Bigl(4\sqrt{a}-3\sqrt{b}\Bigr)^{\scriptsize{2}} \geqq 0 \quad \text{…①} \\[ 10pt ]
&\text{より} \\[ 5pt ]
&\quad \Bigl(5\sqrt{a+b} \Bigr)^{\scriptsize{2}} \geqq \Bigl(3\sqrt{a}+4\sqrt{b} \Bigr)^{\scriptsize{2}}
\end{align*}

これで、平方の差が0以上であること、すなわち左辺の平方と右辺の平方との大小関係を示すことができました。これを利用して、平方する前の左辺と右辺の大小関係を示します。

もとの左辺と右辺の大小関係を示す
\begin{align*}
&\quad \Bigl(5\sqrt{a+b} \Bigr)^{\scriptsize{2}} \geqq \Bigl(3\sqrt{a}+4\sqrt{b} \Bigr)^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ]
&\text{$5\sqrt{a+b} \geqq 0 \ , \ 3\sqrt{a}+4\sqrt{b} \geqq 0$ であるので} \\[ 5pt ]
&\quad 5\sqrt{a+b} \geqq 3\sqrt{a}+4\sqrt{b}
\end{align*}

平方する前の左辺と右辺の大小関係を示すとき、もとの左辺と右辺が0以上である(または0より大きい)ことを必ず記述しておきましょう。

さいごに、等号が成立するときを考えます。等号が成り立つのは、差が0となるときです。

等号成立の条件
\begin{align*}
&\text{また、等号が成立するのは、①より} \\[ 5pt ]
&\quad \Bigl(4\sqrt{a}-3\sqrt{b}\Bigr)^{\scriptsize{2}} = 0 \\[ 10pt ]
&\text{となるときである。} \\[ 5pt ]
&\text{このとき} \\[ 5pt ]
&\quad 4\sqrt{a}-3\sqrt{b} = 0 \\[ 10pt ]
&\text{より} \\[ 5pt ]
&\quad 4\sqrt{a} = 3\sqrt{b} \quad \text{すなわち} \ 16a=9b \\[ 10pt ]
&\text{のとき、等号が成り立つ。}
\end{align*}

根号を含む不等式の証明では、平方してから証明しますが、平方する前の左辺と右辺の条件を必ず記述するようにしましょう。

例題(2)の解答・解説

例題(2)
\begin{align*}
&\text{次の不等式が成り立つことを証明せよ。} \\[ 10pt ]
&(2) \quad \text{$a \gt b \gt 0$ のとき} \sqrt{a-b} \gt \sqrt{a}-\sqrt{b}
\end{align*}

例題(2)も基本的な方針は例題(1)と変わりません。平方の差をつくり、(左辺)2-(右辺)2>0を導くことができれば、不等式を証明することができます。

平方の差をつくります。

平方の差をつくる
\begin{align*}
&\bigl(\text{左辺}\bigr)^{\scriptsize{2}}-\bigl(\text{右辺}\bigr)^{\scriptsize{2}} \\[ 5pt ]
= \ &\Bigl(\sqrt{a-b} \Bigr)^{\scriptsize{2}}-\Bigl(\sqrt{a}-\sqrt{b} \Bigr)^{\scriptsize{2}}
\end{align*}

誰が見ても差が0より大きいと言える形を導かなければなりません。平方して整理します。

平方の差を整理する
\begin{align*}
&\bigl(\text{左辺}\bigr)^{\scriptsize{2}}-\bigl(\text{右辺}\bigr)^{\scriptsize{2}} \\[ 5pt ]
= \ &\Bigl(\sqrt{a-b} \Bigr)^{\scriptsize{2}}-\Bigl(\sqrt{a}-\sqrt{b} \Bigr)^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ]
= \ &\bigl(a-b \bigr) – \bigl(a-2\sqrt{ab}+b \bigr) \\[ 10pt ]
= \ &2\sqrt{ab}-2b \\[ 10pt ]
= \ &2\sqrt{b} \Bigl(\sqrt{a}-\sqrt{b} \Bigr)
\end{align*}

平方の差を整理すると、例題(1)のように、平方完成して2乗の形を得ることができません。このような場合、a , b の条件を利用できる形に変形します。平方の差を調べます。

平方の差を調べる
\begin{align*}
&\quad \Bigl(\sqrt{a-b} \Bigr)^{\scriptsize{2}}-\Bigl(\sqrt{a}-\sqrt{b} \Bigr)^{\scriptsize{2}} = \ 2\sqrt{b} \Bigl(\sqrt{a}-\sqrt{b} \Bigr) \\[ 10pt ]
&\text{ここで、$a \gt b \gt 0$ であるので} \\[ 5pt ]
&\quad 2\sqrt{b} \Bigl(\sqrt{a}-\sqrt{b} \Bigr) \gt 0 \\[ 5pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad \Bigl(\sqrt{a-b} \Bigr)^{\scriptsize{2}}-\Bigl(\sqrt{a}-\sqrt{b} \Bigr)^{\scriptsize{2}} \gt 0 \\[ 5pt ]
&\text{より} \\[ 5pt ]
&\quad \Bigl(\sqrt{a-b} \Bigr)^{\scriptsize{2}} \gt \Bigl(\sqrt{a}-\sqrt{b} \Bigr)^{\scriptsize{2}}
\end{align*}

これで、平方の差が0より大きいこと、すなわち左辺の平方と右辺の平方との大小関係を示すことができました。これを利用して、平方する前の左辺と右辺の大小関係を示します。

もとの左辺と右辺の大小関係を示す
\begin{align*}
&\quad \Bigl(\sqrt{a-b} \Bigr)^{\scriptsize{2}} \gt \Bigl(\sqrt{a}-\sqrt{b} \Bigr)^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ]
&\text{$\sqrt{a-b} \gt 0 \ , \ \sqrt{a}-\sqrt{b} \gt 0$ であるので} \\[ 5pt ]
&\quad \sqrt{a-b} \gt \sqrt{a}-\sqrt{b}
\end{align*}

平方する前の左辺と右辺の大小関係を示すとき、もとの左辺と右辺が0以上である(または0より大きい)ことを必ず記述しておきましょう。

正の数の大小と平方の大小
\begin{align*}
&A \geqq 0 \ , \ B \geqq 0 \quad \text{のとき} \quad \Leftarrow \ \text{(絶対に記述すること!)}\\[ 10pt ]
&A \gt B \ \Leftrightarrow \ A^{\scriptsize{2}} \gt B^{\scriptsize{2}} \ \Leftrightarrow \ A^{\scriptsize{2}} – B^{\scriptsize{2}} \gt 0
\end{align*}

次は、根号を含む不等式の証明を扱った問題を実際に解いてみましょう。

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