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数と式|連立不等式について

連立不等式をはじめから学びなおす 数学I

今回は連立不等式について学習します。「連立~式」という表現には連立方程式がありました。連立する式が方程式から不等式に変わっただけです。解くときに不等式の性質を利用するので確認しながら進めていくと良いでしょう。

参考 数と式|不等式について
参考 数と式|一次不等式について

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連立不等式について

連立不等式とは複数の不等式を組み合わせた式のことです。

連立方程式の解との違い

中学で学習する連立方程式では、たとえば $x \ , \ y$ などの2種類の文字を使った一次方程式(二元一次方程式)を連立していました。このような二元一次方程式が1つだけでは、解が無数に存在し、 $x \ , \ y$ の値はただ1つに定まりません

それを他の二元一次方程式と連立すると、どちらの方程式も満たす解(共通解)でなければならないので、二元一次方程式を連立したときの解はただ1つに定まります。

未知数が2つあるとき、条件式(二元一次方程式)が1つだけでは求めることができない。求めるためには、条件式を2つ作る必要がある。未知数の数だけ条件式を用意しよう。

それに対して連立不等式では、解は文字(未知数)の取り得る値の範囲で得られる不等式を連立したものです。ですから連立不等式を解いたときの解も、文字(未知数)の取りうる値の範囲になります。

連立方程式とは異なり、連立不等式の解は文字(未知数)の取り得る値の範囲になり、値がただ1つに定まらないと考えておこう。

連立方程式の解き方との違い

また、解き方も異なります。連立方程式では加減法や代入法を利用して解を求めます。しかし、連立不等式では、左辺と右辺に大小関係があるので、加減法や代入法を利用して解きません

連立不等式では加減法や代入法を利用しない。同じ数を両辺に加減算できても、異なる数を両辺に加減算しても不等式が成り立つとは限らない

加減法や代入法を利用しないので、連立不等式ではそれぞれの不等式を個別に解きます。個別に解いたので、それぞれの不等式を満たす解が個別に得られます。

連立不等式について

連立不等式の解の求め方

不等式の解を個別に求めることはできましたが、本当に求めたいのは連立不等式の解です。連立不等式の解は、すべての不等式を満たす解です。

つまり、連立不等式の解は個別に求めた解の共通部分になります。このような連立不等式の解を見つけるには数直線を利用します。

個別に求めた解を図示します。解の不等号から、上限値または下限値を含むのかどうかが分かるように図示します。
不等式の解を数直線で表す

閉じた範囲や開いた範囲などの共通部分ができます。数直線から正しく読み取れるようにしましょう。
連立不等式の解と数直線との関係

連立不等式の解は、各不等式の解の共通部分。数直線を利用して求めよう。

連立不等式の解を求めるまでの流れ

連立不等式を解くときの流れをまとめると以下のようになります。

  1. それぞれの不等式を個別に解く。
  2. 不等式の解の共通部分を求める。
  3. 求めた共通部分が連立不等式の解。

共通部分を探すときのコツ

連立不等式の解を求めるとき、各不等式の解の共通部分を探すために数直線を利用します。不等式を可視化するので把握しやすくなります。

また、共通部分を探すときにちょっとしたコツがあります。このコツを知っているだけでも共通部分を探しやすくなるでしょう。

文字 $x$ についての1次不等式を2つ連立した連立不等式があるとします。このとき、1次不等式の解は2つ得られます。

この2つの解を図示すると、矢印の横線が重なる部分があります。図示した解は2つだったので、共通部分では矢印の横線も2つ重なっているはずです。

連立不等式の解の求め方

共通部分は、(図示した解の数)=(矢印の横線の重なる数)になっている範囲。

次は連立不等式を扱った問題を解いてみましょう。

連立不等式の問題演習

次の連立不等式を解いてみましょう。
連立不等式の演習問題

第1問の解答・解説

\begin{align*}\left\{
\begin{array}{l}
2x + 5 \lt 9 \\
4x + 2 \geqq x-1
\end{array}
\right.\end{align*}

一次不等式を個別に解きます。不等式の性質を利用して式変形し、文字 $x$ についてそれぞれ解きます。

\begin{align*}
2x + 5 &\lt 9 \\[ 5pt ]
2x &\lt 9-5 \\[ 5pt ]
2x &\lt 4 \\[ 5pt ]
x &\lt 2 \\[ 10pt ]
4x + 2 &\geqq x-1 \\[ 5pt ]
4x-x &\geqq -1-2 \\[ 5pt ]
3x &\geqq -3 \\[ 5pt ]
x &\geqq -1
\end{align*}

解(文字 $x$ が取り得る値の範囲)がそれぞれ得られたら、それらを数直線に図示します。すると、解の共通部分が見つかります。この共通部分が連立不等式の解です。

もし重なる部分がない場合、連立不等式の解は「解なし」です。解答例は以下のようになります。
連立不等式の問題演習第1問

共通部分を見つけるとき、先ほどのコツを利用します。また、解が等号を含む場合は●(黒丸)、等号を含まない場合は○(白丸)を忘れないようにしましょう。

第2問の解答・解説

\begin{equation*}
2. \quad 3x \lt 2x-5 \lt 3
\end{equation*}

第2問は、一見、連立不等式のようには見えませんが、連立不等式を1つの不等式で表すこともできます。

第2問のような不等式を連立不等式に書き換えると以下のようになります。

一般に、$A \lt B \lt C$ のとき
\begin{align*}\left\{
\begin{array}{l}
A \lt B \\
B \lt C
\end{array}
\right.\end{align*}

第2問の不等式を連立不等式に書き換えます。この連立不等式への書き換えが第2問のポイントでした。

\begin{align*}\left\{
\begin{array}{l}
3x \lt 2x-5 \\
2x-5 \lt 3
\end{array}
\right.\end{align*}

第1問と同じように、一次不等式を個別に解きます。不等式の性質を利用して式変形し、文字 $x$ についてそれぞれ解きます。

\begin{align*}
3x &\lt 2x-5 \\[ 5pt ]
3x-2x &\lt -5 \\[ 5pt ]
x &\lt -5 \\[ 10pt ]
2x-5 &\lt 3 \\[ 5pt ]
2x &\lt 3+5 \\[ 5pt ]
2x &\lt 8 \\[ 5pt ]
x &\lt 4
\end{align*}

解(文字 $x$ が取り得る値の範囲)をそれぞれ求めたら、数直線を利用して解の共通部分、つまり連立不等式の解を見つけます。解答例は以下のようになります。
連立不等式の演習問題の第2問

連立不等式では不等式を個別に解けば良いので、2つの式を一緒に扱う連立方程式よりも解きやすいかもしれません。連立不等式を解くときに間違えやすいのは、解の共通部分を求めるところです。間違いを防ぐために、数直線に図示する習慣を付けておきましょう。

さいごに、もう一度まとめ

  • 連立不等式は、複数の不等式を組み合わせたもの。
  • 連立不等式では、加減法や代入法を使わずに、不等式を個別に解く。
  • 個別に解いた不等式の解の共通部分が、連立不等式の解。
  • 共通部分を見つけるとき、数直線に図示する。
  • 解の等号の有無に合わせて、図示するときに黒丸や白丸を使い分ける。
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