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頑張れ!受験生! 数学の公式・定理集あります。物理のヒント集始めました。
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数と式|不等式について

不等式をはじめから学びなおす 数学I

今回は「一次不等式」について学習します。その中でも基本となる不等式の扱い方についてです。

不等式の扱い方は基本的に等式の扱い方と変わりません。ですから、等式の扱いと違う点に注目すると覚えやすいです。

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大小関係のある式が不等式

等式は2つの数量が等しいことを表す式でした。それに対して、不等式は2つの数量が等しいときもありますが、2つの数量に大小関係があることを表す式です。

等式と不等式の違い

等式や不等式を見たとき、天秤の様子を思い浮かべると2つの数量の関係をイメージしやすい。

不等式の記号は4種類

不等式に使われ、大小関係を表す記号のことを不等号と言います。不等号には、単純な大小関係を表す$\gt$ (大なり)、$\lt$ (小なり)と、等号の付いた $\geqq$ (大なりイコール)、$\leqq$ (小なりイコール)の4種類があります。

不等式を扱うとき、式を言葉に置き換えて考えると、大小関係を間違いにくくなります。

  • $a \gt b$ は「 $a$ 大なり $b$ 」「$a$ は $b$ より大きい
  • $a \lt b$ は「 $a$ 小なり $b$ 」「$a$ は $b$ より小さい
  • $a \geqq b$ は「 $a$ 大なりイコール $b$ 」「$a$ は $b$ 以上
  • $a \leqq b$ は「 $a$ 小なりイコール $b$ 」「$a$ は $b$ 以下

等式と同じように、不等号の左側を左辺、右側を右辺と言います。以上、以下などは、左辺と右辺に大小関係があるとき、または左辺と右辺が等しいときであるので注意が必要です。

「大 $\gt$ 小」「小 $\lt$ 大」と覚えよう。「~は~より大きい」などの言い回しの方が間違えにくい。

不等式の性質

等式の性質と同じように、不等式にもいくつか性質があります。この性質を利用して、不等式を変形することができます。基本的には等式の性質と同じですが、異なるのは負の数がかかわるときです。

両辺に正負の数を加算しても不等式は成り立つ

等式の性質では減算も扱いますが、減算は負の数の加算と考えると、不等式では1つの性質で説明できます。マイナスの符号を見て、減算と間違わないようにしましょう。

両辺に同じ正負の数を加算しても不等式は成り立つ

具体的な数を使うとこの性質が成り立つことが分かります。この性質は、等式と同じように移項が成り立つ根拠になります。

移項の仕組み
\begin{align*} a + b &\gt c +d \\[ 5pt ]
a + b + \left( -b \right) &\gt c + d + \left( -b \right) \\[ 5pt ]
a &\gt c + d -b \end{align*}

両辺に $\left( -b \right)$ を加算して左辺を整理すると、左辺にあった項 $+b$ が右辺に移動したように見えます。このことから「移項」と呼んでいます。

両辺に正の数を乗算しても不等式は成り立つ

等式の性質では除算も扱いますが、除算は逆数の乗算と考えると、不等式では1つの性質で説明できます。
両辺に同じ正の数を乗算しても不等式は成り立つ

具体的な数を使うとこの性質も成り立つことが分かります。この性質は、等式と同じように式変形の最後でよく用いられる性質です。

両辺を負の数で乗算すると、大小関係が変化する

等式では2つの数量が等しい関係だったので、両辺に対して同じ処理をしても2つの数量の関係が変わることはありませんでした。しかし、不等式では、負の数を乗算すると2つの数量の大小関係が変化します
両辺に負の数を乗算すると、不等式の大小関係が逆になる
両辺に負の数を乗算すると、数量が正の数から負の数へ、または負の数から正の数へと変わります。両辺の正負が逆転することによって、大小関係も逆転してしまいます。これは除算でも同じです。

両辺に負の数を乗除算すると、不等号の向きは逆になる。

この性質も式変形に用いられますが、不等式の性質の中でも特に間違えやすい性質です。符号の付け忘れはもちろんですが、不等号の向きを変え忘れることが多いので注意しましょう。

さいごに、もう一度まとめ

  • 不等号の記号は4種類。
  • 不等式を言葉で言い換えよう。
  • 不等式の性質は3つあり、不等式の変形に用いられる。
  • 両辺を負の数で乗除算するとき、不等号の向きに注意する。
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