図形の性質｜円に内接する四角形について
円に内接する四角形を扱った問題を解いてみよう
次の問題を考えてみましょう。
問１(1)の解答・解説
問１(1)
図 $(1)$ において、角 $x$ を求めよ。
問１は、角ｘ，ｙを求める問題です。円周角と中心角の関係や、円に内接する四角形の性質を利用します。
問１(1)では、円に内接する四角形ＡＢＣＤが対角線ＢＣによって、△ＡＢＣと△ＢＤＣの２つの三角形に分割されています。
△ＡＢＣに注目すると、３つの内角のうち２つがすでに分かっています。三角形の内角の和から、残りの内角である∠ＢＡＣを求めます。
問１(1)の解答例 1⃣
\begin{align*} \quad \angle ABC = 50^{\circ} \ , \ \angle ACB = 60^{\circ} \end{align*}であるので、三角形の内角の和より
\begin{align*} \quad \angle BAC = 180^{\circ} – ( 50^{\circ} + 60^{\circ} ) \end{align*}よって
\begin{align*} \quad \angle BAC = 70^{\circ} \end{align*}∠ＢＡＣは△ＡＢＣの内角でしたが、四角形ＡＢＣＤの内角でもあります。このことを利用するために、四角形ＡＢＣＤに注目します。
四角形ＡＢＣＤは円に内接しているので、円に内接する四角形の対角の和を利用します。
問１(1)の解答例 2⃣
\begin{align*} &\vdots \\[ 7pt ] \quad \angle BAC &= 70^{\circ} \end{align*}また、円に内接する四角形の性質より
\begin{align*} \quad \angle BAC + \angle BDC = 180^{\circ} \end{align*}よって
\begin{align*} \quad \angle BDC = 180^{\circ} – \angle BAC \end{align*}求めたい角ｘは∠ＢＤＣのことなので、∠ＢＤＣを求めます。
問１(1)の解答例 3⃣
\begin{align*} &\vdots \\[ 7pt ] \quad \angle BAC &= 70^{\circ} \\[ 7pt ] &\vdots \end{align*} \begin{align*} \quad \angle BDC &= 180^{\circ} – \angle BAC \\[ 7pt ] &= 180^{\circ} – 70^{\circ} \end{align*}$\angle BDC =x$ より
\begin{align*} \quad x = 110^{\circ} \end{align*}問１(1)のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。
問１(2)の解答・解説
問１(2)
図 $(2)$ において、角 $y$ を求めよ。
問１(2)では、△ＡＢＥが線分ＣＤによって四角形ＡＢＣＤと△ＣＤＥに分割されています。四角形ＡＢＣＤは円に内接しているので、円に内接する四角形の性質を利用します。
問１(2)の解答例 1⃣
円に内接する四角形の性質から
\begin{align*} \quad \angle BAD + \angle BCD = 180^{\circ} \end{align*}$\angle BCD = 120^{\circ}$ より
\begin{align*} \quad \angle BAD = 60^{\circ} \end{align*}次は、求めたい角ｙは∠ＡＥＢのことなので、△ＡＢＥに注目します。３つの内角のうち２つは大きさが分かっているので、三角形の内角の和を利用します。
問１(2)の解答例 2⃣
\begin{align*} &\vdots \\[ 7pt ] \quad \angle BAD &= 60^{\circ} \end{align*}$\triangle ABE$ において、内角の和から
\begin{align*} \quad \angle AEB &= 180^{\circ} – \left( \angle ABE + \angle BAE \right) \\[ 7pt ] &= 180^{\circ}- \left( 80^{\circ} + 60^{\circ} \right) \end{align*}$\angle AEB =y$ より
\begin{align*} \quad y = 40^{\circ} \end{align*}問１(2)のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。
問２の解答・解説
問２
図において $AB \parallel CD$であることを証明せよ。
問２は、２つの線分ＡＢ，ＣＤが平行であることを証明する問題です。円に内接する四角形があるので、その性質を利用します。
ところで、２つの直線や線分が平行であるための条件を覚えていますか？ いくつかありますが、よく利用するのが以下の条件です。
２つの直線や線分が平行であるための条件
- 同位角が等しい
- 錯角が等しい
- 隣り合う内角の和が１８０°である
※同位角や錯角は角の位置関係を表す用語。「同位角（錯角）＝平行」ではない。「同位角（錯角）が等しい＝平行」であることに注意しよう。
円に内接する四角形があるので、その性質を利用して大きさの等しい角に記号を書き込んでいくと、どの条件を使うべきかが分かってくるでしょう。
四角形ＡＢＦＥに注目します。１つの内角とその対角の外角の関係を利用します。
問２の解答例 1⃣
四角形 $ABFE$ において
\begin{align*} \quad \angle BAE = \angle EFC \quad \cdots \text{①} \end{align*}
次に、四角形ＣＤＥＦに注目します。円に内接する四角形の対角の和を利用します。
問２の解答例 2⃣
\begin{align*} &\vdots \\[ 7pt ] \quad \angle BAE &= \angle EFC \quad \cdots \text{①} \end{align*}四角形 $CDEF$ において
\begin{align*} \quad \angle EFC + \angle CDE = 180^{\circ} \quad \cdots \text{②} \end{align*}①，②式から、∠ＢＡＥと∠ＣＤＥの関係を導きます。
問２の解答例 3⃣
\begin{align*} &\vdots \\[ 7pt ] \quad \angle BAE &= \angle EFC \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\vdots \\[ 7pt ] \quad \angle EFC &+ \angle CDE = 180^{\circ} \quad \cdots \text{②} \end{align*}①，②より
\begin{align*} \quad \angle BAE + \angle CDE = 180^{\circ} \quad \cdots \text{③} \end{align*}③から四角形 $ABCD$ の隣り合う内角の和が $180^{\circ}$ になるので、$AB$ と $CD$ は平行である。
③式は、四角形ＡＢＣＤの隣り合う内角の和が１８０°であることを示しています。このことから、ＡＢとＣＤが平行であることを示すことができました。
問２のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。
問３(i)の解答・解説
問３(i)
図において、次のことを証明せよ。
四角形 $AEDF$ は円に内接する。
問３は、四角形が円に内接することを証明する問題です。四角形が円に内接するための条件は２つあります。
四角形が円に内接するための条件
- 対角の和が１８０°であること。
- １つの内角とその対角の外角が等しいこと。
図をよく観察しながら、どちらの条件に当てはまるかを考えましょう。
問３(i)では、四角形ＡＥＤＦが円に内接することを示します。予め分かっていることは、∠ＡＥＤ＝∠ＡＦＤ＝∠ＡＤＣ＝９０°であることです。
証明するにあたって、円を書き込んでみると角の関係が分かりやすくなるでしょう。
円を書き込んでみると、四角形ＡＥＤＦにおいて、∠ＡＥＤと∠ＡＦＤは対角の関係であることが分かります。円に内接する四角形の対角の和を利用します。
問３(i)の解答例
\begin{align*} \quad \angle AED = \angle AFD = 90^{\circ} \end{align*}より、四角形 $AEDF$ において
\begin{align*} \quad \angle AED + \angle AFD = 180^{\circ} \end{align*}③より、四角形 $AEDF$ において、対角の和は $180^{\circ}$ になる。
よって、四角形 $AEDF$ は円に内接する。
問３(i)のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。
問３(ii)の解答・解説
問３(ii)
図において、次のことを証明せよ。
四角形 $BCFE$ は円に内接する。
問３(ii)も(i)と同じようにして、証明するための条件を考えます。場合によっては(i)の結果も利用します。
問３(i)の結果から、四角形ＡＥＤＦが円に内接するので、円周角の定理を利用することができます。
問３(ii)の解答例 1⃣
$(i)$ より、四角形 $AEDF$ は円に内接する。
よって、円周角の定理より
\begin{align*} \quad \angle AEF = \angle ADF \quad \cdots \text{①} \end{align*}
∠ＡＥＦと∠ＡＤＦは、弧ＡＦに対する円周角です。
次に、直角三角形である△ＡＣＤと△ＡＤＦに注目します。
問３(ii)の解答例 2⃣
\begin{align*} &\vdots \\[ 7pt ] \quad \angle AEF &= \angle ADF \quad \cdots \text{①} \end{align*}$\triangle ACD$ と $\triangle ADF$ において
\begin{align*} &\quad \angle ADC = \angle AFD = 90^{\circ} \\[ 7pt ] &\quad \angle CAD = \angle DAF \end{align*}より
\begin{align*} \quad \triangle ACD \ \text{∽} \ \triangle ADF \end{align*}よって
\begin{align*} \quad \angle ACD = \angle ADF \quad \cdots \text{②} \end{align*}
問３(ii)の最大のポイントは、△ＡＣＤと△ＡＤＦが相似の関係であることを導けるかどうかです。これを導ければ、∠ＡＣＤ＝∠ＡＤＦも導くことができます。
①，②式から、∠ＡＣＤと∠ＡＥＦの関係を導きます。
問３(ii)の解答例 3⃣
\begin{align*} &\vdots \\[ 7pt ] \quad \angle AEF &= \angle ADF \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\vdots \\[ 7pt ] \quad \angle ACD &= \angle ADF \quad \cdots \text{②} \end{align*}①，②より
\begin{align*} \quad \angle ACD = \angle AEF \quad \cdots \text{③} \end{align*}③より、四角形 $BCFE$ において、$1$ つの内角とその対角の外角が等しくなる。
よって、四角形 $BCFE$ は円に内接する。
③式は、四角形ＢＣＦＥにおいて、１つの内角である∠ＡＣＤと、その対角の外角である∠ＡＥＦが等しいことを示します。このことから、四角形ＢＣＦＥが円に内接することを示すことができました。
問３(ii)のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。
問３(ii)がこの中では一番難易度の高い問題です。このようなレベルの問題では、知識があっても解けるとは限りません。
知識の使い方を知っておかなければ、初見では解くのが難しい問題です。様々な証明問題を解いて、知識の使い方を知っておくことが大切です。
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- 四角形が円に内接するとき、対角の和は１８０°である。
- 四角形が円に内接するとき、１つの内角とその対角の外角は等しい。
- 四角形の対角の和が１８０°になるとき、四角形は円に内接する。
- １つの内角とその対角の外角が等しくなるとき、四角形は円に内接する。