図形と計量｜余弦定理について
今回は、余弦定理について学習しましょう。「正弦定理」が正弦を使った定理だったので、「余弦定理」は余弦を使った定理になるのは想像できます。
想像できることは良いことですが、どんな条件で成り立つのかを問われると答えられない人が多いです。そうならないように図と一緒に定理を考えていきましょう。
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三角比の余弦を用いた定理
余弦定理とは、その名の通り、３つある三角比のうち余弦に関する定理です。図形に関わる定理なので、作図しながら定理を確認していきましょう。
余弦定理で扱う図形は三角形だけです。正弦定理では外接円が出てきましたが、余弦定理では三角形が１つだけなので、条件に違いが付いていて覚えやすいと思います。
具体的には、三角形の３辺と、１つの内角（に対する余弦）との関係を式で表したのが余弦定理です。
この余弦定理を導出するとき、三角比の定義はもちろんですが、中学で学習した三平方の定理も利用します。式変形の力が付くので、定理の導出にぜひ挑戦してみて下さい。
余弦定理の導出
三角形の中に直角三角形を作る
鋭角三角形を使って、余弦定理を導出してみましょう。図のような鋭角三角形（△ＡＢＣ）を使います。
余弦定理の導出 1⃣
$\triangle ABC$ において
\begin{align*} &\quad \angle BAC = A \ , \ \angle ABC = B \ , \ \angle ACB = C \\[ 7pt ] &\quad AB=c \ , \ BC=a \ , \ CA=b \end{align*}とする。
鋭角三角形では三角比の定義も三平方の定理も使えないので、自分で直角三角形を作ります。
直角を作るには頂点から垂線を下ろす
直角三角形を作るためには、直角が必要です。たとえば、頂点Ｃから対辺ＡＢに垂線を下ろします。
すると、垂線と対辺ＡＢに交点ができるので、それを点Ｈとします。ちなみに、この交点のことを垂線の足と言うこともあります。
余弦定理の導出 2⃣
頂点 $C$ から辺 $AB$ に垂線を下ろし、交点を $H$ とする。
このとき、$CH$ ⊥ $AB$
垂線ＣＨによって、△ＡＢＣの中に２つの直角三角形（△ＡＣＨ，△ＢＣＨ）ができます。これで三角比の定義や三平方の定理を使うことができます。
直角三角形を作るには垂線を下ろす。できた交点のことを垂線の足と言う。
△ＡＣＨの辺を三角比を使って表す
直角三角形である△ＡＣＨについて、∠Ａに対する正弦と余弦を考えてみましょう。
余弦定理の導出 3⃣
$\triangle ACH$ において
\begin{align*} &\quad \sin A = \frac{CH}{AC} \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \cos A = \frac{AH}{AC} \quad \cdots \text{②} \end{align*}①より
\begin{align*} \quad CH=AC \sin A \end{align*}$AC=b$ より
\begin{align*} \quad CH=b \sin A \end{align*}②より
\begin{align*} \quad AH=AC \cos A \end{align*}$AC=b$ より
\begin{align*} \quad AH=b \cos A \end{align*}三角比の定義から、①，②式を導き、これらを辺ＣＨ，ＡＨについてそれぞれ変形しておきます。
直角三角形の底辺や高さは、斜辺と余弦または正弦を使って表すことができる。
△ＢＣＨで成り立つ三平方の定理を使う
次に、△ＢＣＨに目を向けます。辺ＢＨの長さは、辺ＡＨを利用すると求めることができます。
余弦定理の導出 4⃣
$\triangle BCH$ において
\begin{align*} \quad BH = AB – AH \end{align*}$AB=c \ , \ AH=b \cos A$ より
\begin{align*} \quad BH = c-b \cos A \end{align*}三平方の定理より
\begin{align*} \quad BC^{2} = CH^{2} + BH^{2} \quad \cdots \text{③} \end{align*}△ＢＣＨは直角三角形なので、三平方の定理が成り立ちます。三平方の定理から導いた式を整理します。
余弦定理の導出 5⃣
③を整理すると
\begin{align*} &\quad a^{2} = \left(b \sin A \right)^{2} + \left(c-b \cos A \right)^{2} \\[ 7pt ] &\quad a^{2} = b^{\scriptsize{2}} \left(\cos^{2}{A} + \sin^{2}{A} \right) + c^{2} -2bc \cos A \end{align*}ここで
\begin{align*} \quad \cos^{2}{A} + \sin^{2}{A} = 1 \end{align*}より
\begin{align*} \quad a^{2} = b^{2} + c^{2}-2bc \cos A \end{align*}これで△ＡＢＣの３辺と１つの内角（に対する余弦）との関係を表す式を導出できました。これが余弦定理です。
余弦定理の導出 6⃣
③を整理すると
\begin{align*} &\quad a^{2} = \left(b \sin A \right)^{2} + \left(c-b \cos A \right)^{2} \\[ 7pt ] &\quad a^{2} = b^{2} \left(\cos^{2}{A} + \sin^{2}{A} \right) + c^{2} -2bc \cos A \end{align*}ここで
\begin{align*} \quad \cos^{2}{A} + \sin^{2}{A} = 1 \end{align*}より
\begin{align*} \quad a^{2} = b^{2} + c^{2}-2bc \cos A \end{align*}このような関係を表す式は、他の内角∠Ｂ，∠Ｃに対する余弦でも同じように導くことができます。その結果、１つの三角形に対して、余弦定理の式は３つあることになります。
余弦定理の式は３通り
\begin{align*} &\quad a^{2} =b^{2} + c^{2} -2bc \cos A \\[ 7pt ] &\quad b^{2} =a^{2} + c^{2}-2ac\cos B \\[ 7pt ] &\quad c^{2} =a^{2} +b^{2} -2ab\cos C \end{align*}導出の仕組みが分かったら、あとは覚えるだけです。アルファベットの対応関係に注目すれば覚えやすいでしょう。
鈍角三角形でも導出できるのか
鋭角三角形で導出しましたが、鈍角三角形でも同じ式を導出できるのかを確かめてみましょう。
∠Ａが鈍角である△ＡＢＣを考えます。最初に与えられている条件は以下の通りです。
鈍角三角形のときの余弦定理の導出 1⃣
$\triangle ABC$ において
\begin{align*} &\quad \angle BAC = A \ , \ \angle ABC = B \ , \ \angle ACB = C \\[ 7pt ] &\quad AB=c \ , \ BC=a \ , \ CA=b \end{align*}とする。
直角三角形を作るために、頂点Cから対辺ABに垂線を下ろします。このとき、頂点によっては対辺を延長する補助線を引く必要があります。
鈍角三角形のときの余弦定理の導出 2⃣
頂点 $C$ から直線 $AB$ に垂線を下ろし、交点を $H$ とする。
このとき、$CH$ ⊥ $AB$
頂点Ｃから下した垂線の足を点Ｈとすると、△ＡＣＨ，△ＢＣＨが直角三角形になります。先ほど同じ流れで直角三角形の辺の長さを求めていきます。
△ＡＣＨの辺の長さを三角比を使って表す
直角三角形である△ＡＣＨに注目します。このとき、∠ＢＡＣ＝Ａ，∠ＣＡＨ≠Ａであることに注意しましょう。
∠ＣＡＨに対する正弦と余弦を考えます。
鈍角三角形のときの余弦定理の導出 3⃣
$\triangle ACH$ において
\begin{align*} &\quad \sin {\angle CAH} = \frac{CH}{AC} \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \cos {\angle CAH} = \frac{AH}{AC} \quad \cdots \text{②} \end{align*}①より
\begin{align*} \quad CH=AC \sin {\angle CAH} \end{align*}$AC=b \ , \ \angle CAH=180^{\circ}-A$ より
\begin{align*} \quad CH=b \sin \left(180^{\circ}-A \right) \end{align*}②より
\begin{align*} \quad AH=AC \cos {\angle CAH} \end{align*}$AC=b \ , \ \angle CAH=180^{\circ}-A$ より
\begin{align*} \quad AH=b \cos \left(180^{\circ}-A \right) \end{align*}三角比の定義から、①，②式を導き、これらを辺ＣＨ，ＡＨについてそれぞれ変形しておきます。このとき、∠ＣＡＨ＝１８０°－Ａであることに注意します。
どの角に対する三角比なのかを意識しよう。
さらに、三角比の拡張を利用して変形します。すると、∠Ａに対する正弦や余弦を使った式が得られます。
鈍角三角形のときの余弦定理の導出 4⃣
\begin{align*} &\quad \sin \left(180^{\circ}-A \right)=\sin A \\[ 7pt ] &\quad \cos \left(180^{\circ}-A \right)=-\cos A \end{align*}より
\begin{align*} &\quad CH=b \sin A \\[ 7pt ] &\quad AH=-b \cos A \end{align*}三角比の拡張を使うのは、ここではなく、最後の方で行うこともある。解説によって異なるが早いか遅いかの違いだけ。
△ＢＣＨで成り立つ三平方の定理を使う
次に、△ＢＣＨに注目します。辺ＢＨの長さは、辺ＡＨを利用すると求めることができます。
鈍角三角形のときの余弦定理の導出 5⃣
$\triangle BCH$ において
\begin{align*} \quad BH = AB + AH \end{align*}$AB=c \ , \ AH=-b \cos A$ より
\begin{align*} \quad BH = c-b \cos A \end{align*}三平方の定理より
\begin{align*} \quad BC^{2} = CH^{2} + BH^{2} \end{align*}よって
\begin{align*} &\quad a^{2} = \left(b \sin A \right)^{2} + \left(c-b \cos A \right)^{2} \\[ 7pt ] &\quad a^{2} = b^{2} \left(\cos^{2}{A} + \sin^{2}{A} \right) + c^{2} -2bc \cos A \end{align*}$\cos^{2}{A} + \sin^{2}{A} = 1$ より
\begin{align*} \quad a^{2} = b^{2} + c^{2}-2bc \cos A \end{align*}２辺ＡＨ，ＣＨは、鋭角三角形のときと同じ式で表されます。ですから、△ＢＣＨについて、三平方の定理を利用すると同じ結果になります。
鈍角三角形であっても、鋭角三角形と同じように、３辺と１つの内角（に対する余弦）の関係を表す式を導出することができます。
余弦定理の使い方
余弦定理も正弦定理と同じように、与えられる条件によって使えるときとそうでないときがあります。
余弦定理で用いられる数量をしっかりと把握しておけば、与えられた条件と照らし合わせて判断できます。
余弦定理の式を観察すると、３辺の長さと、１つの内角に対する余弦の４つの数量が用いられています。ですから、４つのうち３つの数量が与えられていれば、余弦定理を使って方程式を導くことができます。
三角形の３辺と１つの内角の関係を表す余弦定理
\begin{align*} &\quad a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc \cos A \\[ 7pt ] &\quad b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac \cos B \\[ 7pt ] &\quad c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab \cos C \end{align*}
余弦定理を変形して使おう
辺の長さを求めるとき、３つの式から１つを選んで使います。しかし、余弦の値、または角の大きさを求めるとき、そのままだと使い勝手が悪いです。
そのようなとき、余弦定理の式を変形したものを用いることもあります。
余弦の値、または角の大きさを求めるとき
余弦定理の式を余弦について変形すると
\begin{align*} &\quad \cos A = \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} \\[ 10pt ] &\quad \cos B = \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac} \\[ 10pt ] &\quad \cos C = \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab} \end{align*}共通点や相違点を見つけて効率よく覚えよう
公式や定理の式は、試験中に毎回導出するのは面倒なので、やはり覚えておく必要があります。そのためには、共通点や相違点などの特徴を掴むと覚えやすくなります。自分なりに工夫することが大切です。
余弦定理では、両端の文字は対角と対辺の関係になっています。その間に、残りの２辺の文字があります。
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さいごに、もう一度、頭の中を整理しよう
- 余弦定理は、三角形の３辺と１つの内角（に対する余弦）との関係を表す。
- 余弦定理は、三角比の定義や三平方の定理を利用して導出される。
- 余弦定理の式は、１つの三角形で３つ得られる。
- ３辺と１つの内角の４つの数量のうち３つの数量が分かっていれば、余弦定理を使って方程式を作れる。