図形と計量｜正弦定理について

12/18/2021数学１

正弦定理の使える状況を知っておこう

正弦定理の式を覚えても、どんな状況で使えるのかを知らなければ、苦労して覚えた知識が無駄になってしまいます。

１つにまとめた等式を観察してみると、正弦の角と辺の長さが対角と対辺の関係にあることに気付きます。

このことから、正弦定理を用いる状況がある程度予想できそうです。たとえば、外接円の半径が話題に出たら、正弦定理を疑ってみると良いでしょう。

また、対角と対辺の関係にある角や辺が話題に出ても正弦定理を使う可能性が高そうです。

外接円の半径を求める問題なら正弦定理一択。また、対角と対辺が１組でも分かっていれば、正弦定理を使う可能性が高い。

正弦定理の使い方

正弦定理を使えそうな状況であれば、次は立式になります。注意したいのは、４つの数量を１つにまとめた等式は、あくまでも便宜上の表記で、そのまま使うわけではありません。

実際には、４つの数量のうち、問題で与えられたヒントをもとに２つの数量を選んで等式を作ります。

この等式に求めたい数量（未知数）が含まれるので、その数量についての方程式になります。そのためにも、求めたい数量以外はすべて数値が分かっていることが条件になります。

たとえば、外接円の半径を求める問題であれば、対角と対辺の関係にある角の大きさと辺の長さが、必ず１組は分かっているはずです。

正弦定理の６パターンを使い分けよう

正弦定理は組み合わせによって、６通りの等式を作ることができます。問題で与えられた条件からどの組み合わせにするかを考える必要があります。

以下の式のどれかを使う場合、外接円の半径、対辺の長さ、対角の大きさのうち、どれか２つは分かっていることが条件です。

正弦定理の式

\begin{align*} &\quad \frac{a}{\sin A} = 2R \\[ 7pt ] &\quad \frac{b}{\sin B} = 2R \\[ 7pt ] &\quad \frac{c}{\sin C} = 2R \end{align*}

以下のどれかを使う場合、対角２つと対辺１つ、または対角１つと対辺２つが分かっていることが条件です。

２組の対角・対辺を用いた場合

\begin{align*} &\quad \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \\[ 7pt ] &\quad \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \\[ 7pt ] &\quad \frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A} \end{align*}

このように与えられる条件によって、等式を使い分けて方程式を導出しましょう。

何かの数量を求める問題では、公式を利用して方程式（条件式）を作ることが多い。公式がどんな数量を用いて導出されているかを知っておこう。

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