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数学I・A|2017センター試験・第1問を解いてみよう

数学I

今回は、2017年1月14・15日に実施された、センター試験の数学I・Aの第1問についてです。

難易度は去年並みの評価のようです。ただ、単元によっては過去問に類似した問題が出題されていました。過去問で充分に対策を立てていた人にとっては易しく感じたのではないかと思います。

やはり過去問を解いておくことは大切です。

1,2年生の中には、この時季から本格的に受験対策を始める人もいます。受験に成功する人に共通するのは、準備に取り掛かるのが早いことです。

また、受験に成功する人は、日常的に受験に直結する学習をしています。その場しのぎではなく、3カ月後、半年後、1年後の自分の学力を意識しながら学習するのが大切ではないかと思います。

大学進学の意思があれば、ぜひセンター試験を解き、自分の現在の学力を客観的に把握しましょう。要求される学力と自分の学力とのギャップを埋めるのが受験対策です。

模範解答とは言えませんが解き方や考え方の参考になれば幸いです。あくまでも一例なので鵜呑みにせず、自分なりの解答例を考えてみて下さい。なお、記事の画像が見辛いときはクリックすると拡大できます。

参考 数学I・A|2017センター試験・第2問を解いてみよう
参考 数学I・A|2017センター試験・第3問を解いてみよう
参考 数学I・A|2017センター試験・第4問を解いてみよう

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数学I・Aの第1問について

第1問は、数Iの「数と式」と「2次関数」の単元からの出題でした。各単元の出題内容をまとめると以下のようになります。

「数と式」からの出題内容
前半:「式の値」に関する問題
後半:「集合と命題」に関する問題
「2次関数」からの出題内容
式変形や最小値に関する問題

どちらの単元も教科書例題レベルなので、ぜひ完答したい問題です。

「数と式」の計算では、このレベルの数式を余裕で扱えないと、完全に準備不足です。「2次関数」の式変形でも、数学II・Bのことを考えると、煩雑ではありますが、それほど難しい変形ではないでしょう。

数学の効果的な対策としては、例題を反復し、確実にかつ速やかに解けるまで仕上げることが遠回りのようで実は近道。例題は定石の中でも初歩的な部類に入る

60分間で解かなければならないので、「確実に」だけでは足りません。「確実に」解けるようになったら、次は「速やかに」解けるようにしましょう。

数学の学力として計算力がベースにあるかを問われている。準備では計算のスピードも意識しよう。

第1問〔1〕について

第1問〔1〕は「数や式」を扱った問題でした。

設問を読みながら条件などが目立つようにしましょう。条件や押さえておきたい事柄には線引きしたり、囲んだりすると見落としがありません。

解くことに集中しているとどうしても視野が狭くなる。ヒントになる条件は解くときに必ず利用するので、見落とさない工夫をしよう。

設問全体を俯瞰してみると「さらに」や「また」という言葉があるので、3部構成になっていることが分かります。第1問〔1〕は小問3つから構成されています。

解答欄アイ

小問を通してすべて「式の値」に関する問題です。設問を整理すると以下のようになります。

条件
\begin{align*}
&x \ \text{は正の実数} \\[ 10pt ]
&{x}^{2} + \frac{4}{{x}^{2}} = 9 \ \text{を満たす}
\end{align*}
求めるもの
\begin{equation*}
{\left( x + \frac{2}{x} \right)}^{2} \ \text{の値}
\end{equation*}

条件式を利用するために、与式を乗法公式で展開します。分数を扱っていますが、慌てず丁寧に展開しましょう。

条件式を変形して与式を作っても良いが、分数を扱っているので、展開の方が解きやすいだろう。
\begin{align*}
&{\left( x + \frac{2}{x} \right)}^{2} \\[ 5pt ]
= \ &{x}^{2} + 2 \cdot x \cdot \frac{2}{x} + {\left( \frac{2}{x} \right)}^{2} \\[ 5pt ]
= \ &{x}^{2} + \frac{4}{{x}^{2}} + 4
\end{align*}

展開して整理すると、条件式に対応する箇所が出てきます。条件式に対応する箇所を数に置き換えて計算すると、解を得ることができます。

\begin{align*}
&\vdots \\[ 5pt ]
= \ &{x}^{2} + \frac{4}{{x}^{2}} + 4 \\[ 5pt ]
= \ &9 + 4 \\[ 5pt ]
= \ &13 \quad \cdots \text{アイ}
\end{align*}

小問の1つ目はもう少し続いています。すでに解答は分かっていますが、求めておきます。

求めるもの
\begin{equation*}
x + \frac{2}{x} \ \text{の値}
\end{equation*}

条件によれば、$x$ は正の数であるので、$x+2/x \gt 0$であることが分かります。これを利用して平方根を求めます。

\begin{align*}
&{\left( x + \frac{2}{x} \right)}^{2} = 13 \\[ 5pt ]
&\text{ここで} \ x+\frac{2}{x} \gt 0 \ \text{より} \\[ 5pt ]
&x + \frac{2}{x} = \sqrt{13}
\end{align*}
平方根には正の平方根と負の平方根の2つがある。変数の条件に注意しよう。

丁寧な解答例は以下のようになります。

解答欄ウエオカ

小問の2つ目は3乗公式を扱った問題です。現在の教科書では、3乗公式は発展問題扱いになっているようですが、教科書で扱っているのでしっかりマスターしておきましょう。

既知のもの
\begin{align*}
&{x}^{2} + \frac{4}{{x}^{2}} = 9 \\[ 5pt ]
&{\left( x + \frac{2}{x} \right)}^{2} = 13 \\[ 5pt ]
&x + \frac{2}{x} = \sqrt{13}
\end{align*}

求めるもの
\begin{equation*}
{x}^{3} + \frac{8}{{x}^{3}} \ \text{の値}
\end{equation*}

発展の内容でも、数学II・Bや数学IIIのことを考えてマスターしておこう。

解答欄を考慮に入れると、次の3乗公式を利用できることが分かります。

\begin{equation*}
{a}^{3}+{b}^{3} = \left( a+b \right) \left( {a}^{2}-ab+{b}^{2} \right)
\end{equation*}

この3乗公式に当てはめて整理します。

\begin{align*}
&a=x \ , \ b= \frac{2}{x} \ \text{より} \\[ 5pt ]
&{x}^{3} + \frac{8}{{x}^{3}} \\[ 5pt ]
= \ &\left( x + \frac{2}{x} \right) \left( {x}^{2}-x \cdot \frac{2}{x} +\frac{4}{{x}^{2}} \right) \\[ 5pt ]
= \ &\left( x + \frac{2}{x} \right) \left( {x}^{2} +\frac{4}{{x}^{2}} -2 \right) \quad \cdots \text{ウ}
\end{align*}

これまでの式に対応する箇所が出てくるので、そこに数を代入して整理します。

\begin{align*}
&\vdots \\[ 5pt ]
= \ &\left( x + \frac{2}{x} \right) \left( {x}^{2} +\frac{4}{{x}^{2}} -2 \right) \\[ 5pt ]
= \ &\sqrt{13} \cdot \left( 9 -2 \right) \\[ 5pt ]
= \ &7\sqrt{13} \quad \cdots \text{エオカ}
\end{align*}

解答例は以下のようになります。

先に求めた値も利用するので、計算ミスで全滅しないように。答案の書き方にも気を付けよう。

解答欄キク

小問の3つ目は、4次の項が出てきています。4乗公式は習っていないので、これまでに分かっているもので何とかできないかを考えます。

既知のもの
\begin{align*}
&{x}^{2} + \frac{4}{{x}^{2}} = 9 \\[ 5pt ]
&{\left( x + \frac{2}{x} \right)}^{2} = 13 \\[ 5pt ]
&x + \frac{2}{x} = \sqrt{13} \\[ 5pt ]
&{x}^{3} + \frac{8}{{x}^{8}} = 7\sqrt{13}
\end{align*}

求めるもの
\begin{equation*}
{x}^{4} + \frac{16}{{x}^{4}} \ \text{の値}
\end{equation*}

設問で与えられていた条件式の両辺を2乗すると、4次の項が出てくることに気づくと注意するのは計算ミスだけでした。

条件式の両辺を2乗して、等式を変形すれば解を求めることができます。

\begin{align*}
{\left( {x}^{2} + \frac{4}{{x}^{2}} \right)}^{2} &= {9}^{2} \\[ 5pt ]
{x}^{4} +2 \cdot {x}^{2} \cdot \frac{4}{{x}^{2}} + {\left( \frac{4}{{x}^{2}} \right)}^{2} &= 81 \\[ 5pt ]
{x}^{4} +8 + \frac{16}{{x}^{4}} &= 81 \\[ 5pt ]
{x}^{4} + \frac{16}{{x}^{4}} &= 73 \quad \cdots \text{キク}
\end{align*}

展開の工夫と言っても良いですが、一度は見かけたことのある問題なので、難易度はそれほど高くありません。

なお、解答例のように、乗法公式を変形した形を使って解を求めても良いでしょう。

乗法公式を変形した式を使う場合
\begin{equation*}
{a}^{2}+{b}^{2} = {\left( a+b \right)}^{2} -2ab
\end{equation*}

解答例は以下のようになります。

全体を通して、一見してすぐに方針の立つ計算問題なので、ミスなく速やかに解きたい問題です。早い人だと5分掛からないのではないでしょうか。

これまでをまとめると以下のようになります。 ポイントや注意点などもまとめてあります。ノートにまとめるときの参考になれば幸いです。

次は、第1問〔2〕を解いてみましょう。

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ちょっとど忘れしたときの公式・定理集

数学で覚えるべき公式や定理は、一覧で眺めてみるとそれほど多くはありません。大切なことは覚えることではなく、「公式や定理をどのように使うか」です。

公式・定理集で確認しつつ、演習で積極的に使っていきましょう。

日々是鍛錬 ひびこれたんれん
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