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数学I・A|2017センター試験・第3問を解いてみよう

数学I

今回は2017年センター試験数学I・Aの第3問を解いてみましょう。

例年と比べると、出題の形式や内容が履修内容の理解度を問われるものだったように感じます。ですから、暗記で終わっている人には難しく感じたのではないかと思われます。

「本質を理解する」という意味では、良問ではないかと思います。このようなレベルの問題を日頃からこなせるようになりたいものです。

なお、記事の画像が見辛いときはクリックすると拡大できます。

参考 数学I・A|2017センター試験・第1問を解いてみよう
参考 数学I・A|2017センター試験・第2問を解いてみよう
参考 数学I・A|2017センター試験・第4問を解いてみよう

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数学I・Aの第3問について

第3問は、数A「場合の数と確率」の単元からの出題でした。出題の題材や内容をまとめると以下のようになります。

出題内容(題材:3人が順番に引くくじ引き)

  • 少なくとも1人が当たりくじを引く問題
  • 事象を排反な3つの事象に分割して考える問題
  • 3種類の条件付き確率の大小関係に関する問題

頻出の余事象を扱った確率や条件つき確率をはじめ、「排反」の言葉の意味を理解しているかなどの問題が出題されました。

これまでの出題内容や形式とは若干趣が異なったので、特に「排反」に関する問題では面食らった人が多かったかもしれません。ただ何となく確率を求めていた人には完答するのが難しかったと思われます。

本質の理解」の大切さを改めて感じさせる問題なので、日頃から数多く解いておきたい。

第3問の全体像を掴もう

第3問は以下のような問題でした。

2017センター試験・第3問を解いてみよう

全体を俯瞰してみると、(1)~(5)の小問形式になっています。特に最後の問題は、それまでが解けていないと正しい選択肢を選ぶことができない問題です。

問題を解くのに共通していたのは、与えられた条件を満たす場合をすべて書き出せたかどうかだと思います。

日頃から事象を書き出す習慣の有無が得点に大きく影響したのではないかと思います。手を動かしてイメージを膨らませる習慣はどの科目でも有効なので、ぜひとも習慣にしておきましょう。

第3問で扱われている題材とそのルール

当たり2本、はずれ2本の合計4本のくじを、A,B,Cの順番に1本ずつ引く。ただし、引いたくじは戻さない。」このような条件で色々な確率を求める。
引いたくじは戻さないので、反復試行ではない。

解答欄アイ

小問(1)は解答欄アイに関する問題です。

問題:A,Bの少なくとも一方があたりのくじを引く事象 $E_{1}$ の確率

少なくとも」という文言があるので、余事象を利用して求めます。

少なくとも」という文言を見たら、余事象を使ってみよう。

事象 $E_{1}$ の余事象は「A,Bがともにはずれのくじを引く事象」です。この余事象の確率は、「Aがはずれを引く確率」×「Bがはずれを引く確率」×「Cがあたりを引く確率」で求めることができます。

「Aがはずれを引く確率」は、4本のくじのうちはずれの2本のどちらかを引けば良いので、$2/4=1/2$ です。次に「Bがはずれを引く確率」は、Aが引いて3本になった状態から、残ったはずれの1本を引けば良いので、$1/3$ です。

最後に「Cがあたりを引く確率」は、当たりだけしか残っておらず、何を引いても問題ないので、$2/2=1$ です。これらの積を取れば、余事象が起こる確率です。

余事象の確率を求めた後は、$1-$ (余事象の確率)を計算すれば事象 $E_{1}$ の確率を得ることができます。

解答例は以下のようになります。

第3問(1)の解答例

解答例の解き方は実は条件付き確率を利用した解き方

複数の試行を行っていても反復試行でない場合、次の試行の結果は前の試行の結果に影響を受けます(独立ではない)。

この場合、前の試行の結果が起こったことを前提に次の試行の結果を考えているので、条件付き確率を考えていることになります。

この考え方で解かない場合、3人がくじを引いた結果(場合の数)を数えあげて確率を求めることになります。

3人のくじの引き方:全部で $4 \times 3 \times 2=24$ 通り
A,Bがともにはずれを引き、Cがあたりを引く引き方(余事象):全部で $2 \times 1 \times 2=4$
余事象の確率:$4/24=1/6$

A,Bの少なくとも一方があたりのくじを引く事象 $E_{1}$ の確率:$1-1/6=5/6$

余事象を利用しないで求める場合

もちろん、余事象を利用せずに、直接的に事象 $E_{1}$ の確率を求めることもできます。

「A,Bの少なくとも一方があたりのくじを引く」事象をすべて書き出します。

(A , B , C)=(当 , 当 , は) , ( 当, は , 当) , (当 , は , は) , (は , 当 , 当) , (は , 当 , は)

全部で5通り考えられ、それぞれの事象の確率を求めると、すべて $1/6$ になります。

これらの事象は互いに排反なので、求める確率は和で求めて $5/6$ になります。

今回は後の問題のことを考えると、こちらの方が良かったかもしれません。

解答欄ウエオ,カキ

小問(2)は解答欄ウエオ,カキに関する問題です。

問題:A , B , Cの3人で2本のあたりのくじを引く事象 $E$ に関する問題

「3人で2本のあたりのくじを引く」と言っても、A , Bの場合やA , Cの場合など色々な場合が考えられます。ですから事象 $E$ はいくつかの事象を含むことが分かります。これらの事象は、問題文にもある通り、3つあり、かつ互いに排反です。

「3人で2本のあたりのくじを引く」ときの結果を書き出してみます。

(A , B , C)=(当 , 当 , は) , (当 , は , 当) , (は , 当 , 当)

全部で3通りあることが分かります。

互いに排反な3つの事象
(当 , 当 , は):Cだけがはずれを引く事象
(当 , は , 当):Bだけがはずれを引く事象
(は , 当 , 当):Aだけがはずれを引く事象

これらの結果となる3つの事象は同時に起こらないので、3つの事象は互いに排反であると言えます。

このように事象 $E$ は互いに排反な3つの事象からなるので、3つの事象の和事象になります。

3つの排反な事象が起こる確率はともに $1/6$ です。3つの事象の確率の和が事象 $E$ の確率 $1/2$ になります。

小問(1)で余事象を利用しなければ、各事象の確率 $1/6$ を小問(2)で計算せずに済んだ。

解答例は以下のようになります。

第3問(2)の解答例

解答欄クケ

小問(3)は解答欄クケに関する問題です。

問題:事象 $E_{1}$ が起こるときの事象 $E$ の起こる条件付き確率 $P_{E_{1}}(E)$

条件付き確率の公式を利用したいところです。

事象 $A$ が起こったときの事象 $B$ が起こる条件付き確率 $P_{A}(B)$
\begin{align*}
P_{A}(B) = \ &\frac{n \left(A \cap B \right)}{n \left( A \right)} \\[ 5pt ]
= \ &\frac{P \left(A \cap B \right)}{P \left( A \right)}
\end{align*}
条件付き確率 $P_{A}(B)$ は、事象 $A$ が全事象になり、その事象 $A$ の中で共通部分となる事象 $A \cap B$ が起こる確率を求めたもの。

ただし、公式を使うためには、2つの事象 $E_{1} \ , \ E$ の共通部分 $E_{1} \cap E$ を考える必要があります。

事象 $E_{1}$ が起こるときの事象 $E$ の起こる条件付き確率 $P_{E_{1}}(E)$
\begin{align*}
P_{E_{1}}(E) = \ &\frac{n \left(E_{1} \cap E \right)}{n \left( E_{1} \right)} \\[ 5pt ]
= \ &\frac{P \left(E_{1} \cap E \right)}{P \left( E_{1} \right)}
\end{align*}

共通部分 $E_{1} \cap E$ を考えるとき、これまでの問題で書き出した結果を確認しながら、共通部分 $E_{1} \cap E$ を求めます。

「A,Bの少なくとも一方があたりを引く」ときの結果(事象 $E_{1}$ )を書き出してみます。

(A , B , C)=(当 , 当 , は) , ( 当, は , 当) , (当 , は , は) , (は , 当 , 当) , (は , 当 , は)

全部で5通りあります。

また、「3人で2本のあたりのくじを引く」ときの結果(事象 $E$ )を書き出してみます。

(A , B , C)=(当 , 当 , は) , (当 , は , 当) , (は , 当 , 当)

全部で3通りあります。

これらの共通の結果を探してみると、事象 $E$ に関する結果は、すべて事象 $E_{1}$ に関する結果の中に含まれています。

このことから $E_{1} \cap E=E$であることが分かります。共通部分 $E_{1} \cap E$ が分かったので、あとは公式を使って条件つき確率を求めます。

解答例は以下のようになります。

第3問(3)の解答例

解答欄コサシ,スセ

小問(4)は解答欄コサシ,スセに関する問題です。

問題:B,Cの少なくとも一方があたりのくじを引く事象 $E_{2}$ の確率

小問(2)と似たような形式なので、同じようにして解くことができます。

間違っても「少なくとも~」という文言があるので余事象を利用したいところだが、問題の誘導通りに和事象から求めていこう。

「B,Cの少なくとも一方があたりのくじを引く」ときの結果を書き出してみます。

(A , B , C)=(当 , 当 , は) , (当 , は , 当) , (は , 当 , 当) , (は , 当 , は) , (は , は , 当)

全部で5通りあることが分かります。

選択肢を見るとはずれに注目しているので、はずれに注目しながら結果を見ていきます。すると以下のようなことが分かります。

(は , 当 , 当) , (は , 当 , は) , (は , は , 当):「Aがはずれを引く事象」に対応
(当 , 当 , は) :「Bだけがはずれを引く」事象に対応
(当 , は , 当):「Cだけがはずれを引く」事象に対応
「Aが」と「Aだけが」は意味が異なるので注意しよう。

これら3つの事象は互いに排反であると言えるので、この3つの事象の和事象が事象 $E_{2}$であることが分かります。

解答欄コサシの解答例は以下のようになります。

第3問(4)の解答例

3つの事象の確率を求めて和を取れば、和事象の確率、つまり事象 $E_{2}$ の確率を求めることができます。解答欄スセの解答例は以下のようになります。

第3問(4)の解答例

解答欄ソタ

小問(4)の最後は解答欄ソタに関する問題です。

問題:A,Cの少なくとも一方があたりのくじを引く」事象 $E_{3}$ の確率

この問題もこれまでと同じようにして求めるか、余事象を利用して求めます。スピードを求めるなら余事象ですが、小問(5)のことを考えて、結果を書き出しておくと良いでしょう。

「A,Cの少なくとも一方があたりのくじを引く」ときの結果を書き出してみると、

(A , B , C)=(当 , 当 , は) , (当 , は , 当) , (は , 当 , 当) , (当 , は , は) , (は , は , 当)

の5通りあることが分かります。

これらの結果が出てくる事象は、同時に起こることはないので互いに排反です。ですから事象 $E_{3}$ は和事象になり、その確率は5つの排反な事象の確率の和で求めることができます。

解答例は以下のようになります。

第3問(4)の解答例

第3問(1)から(4)までをまとめると以下のようになります。ポイントもまとめてあります。

第3問(1)から(4)までのまとめ

解答欄チ

小問(5)は解答欄チに関する問題です。

問題:3つの条件つき確率 $p_{1} \ , \ p_{2} \ , \ p_{3}$ を求め、それらの値の大小を比較する問題
条件付き確率 $p_{1}$ :事象 $E_{1}$ が起こったときの事象 $E$ の起こる条件つき確率
条件付き確率 $p_{2}$ :事象 $E_{2}$ が起こったときの事象 $E$ の起こる条件つき確率
条件付き確率 $p_{3}$ :事象 $E_{3}$ が起こったときの事象 $E$ の起こる条件つき確率

事象 $E_{1}$ が起こったときの事象 $E$ の起こる条件つき確率 $p_{1}$ は、小問(3)ですでに求めています。残り2つの条件つき確率 $p_{2} \ , \ p_{3}$ も、同じようにして共通部分を考えてから公式で求めます。

共通部分を考えるために、事象 $E \ , \ E_{1} \ , \ E_{2} \ , \ E_{3}$ について結果を書き出して並べると、次のようになります。

条件付き確率のための共通部分を考える

書き並べてみると分かるように、事象 $E$ は、事象 $E_{1} \ , \ E_{2} \ , \ E_{3}$ にそれぞれ含まれています。つまりどの共通部分も事象 $E$ に等しいことが分かります。これより、条件つき確率をそれぞれ求め、3つの値を比較します。

解答例は以下のようになります。

第3問(5)の解答例

条件付き確率は、解答例では確率を用いて計算したが、場合の数が分かっていれば、場合の数で計算した方がラク。

これまでをまとめると以下のようになります。

第3問(5)のまとめ

「場合の数と確率」に関する問題は、例年ならば「具体的で易しい問題から、抽象的で複雑な問題へ」という構成で、徐々に難易度が上がるイメージがありました。

しかし小問(1)~(4)が、最後の小問(5)を考えるための布石のような構成で、場合によっては小問(2)くらいから躓いてしまう可能性がありました。

また、結果を漏れなく書き出し、それをもとに確率を求めるだけでなく、用語の意味を正しく理解しているかも問われた問題でした。ですから、暗記に頼った学習では手も足も出せなかった可能性があります。

何事も覚えることから始まるが、理解につなげる学習を。「暗記でどうこうできるほど甘くない」ということを肝に銘じておこう。
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教科書で確認しておきたい知識

  • 「排反」とは2つの事象が同時に起こらないこと。
  • 排反である2つの事象を含む事象は、和事象となる。
  • 和事象の確率は、排反である2つの事象の確率の和で求めることができる。
  • 条件つき確率を求めるとき、共通部分の事象の確率を考えること。
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