Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/room8810/hibikore-tanren.com/public_html/wp-content/plugins/wordpress-ping-optimizer/cbnet-ping-optimizer.php on line 533
頑張れ!受験生! 数学の公式・定理集あります。物理のヒント集始めました。
スポンサーリンク

数学I・A|2017センター試験・第5問を解いてみよう

数学I

今回は2017年センター試験の数学I・Aの第5問についてです。

第5問は「図形の性質」に関する問題です。第2問と同じように図形の問題では作図が必須です。日頃から作図しながら問題を解いているかで勝負が決まりそうです。

ここ数年では作図なしでは解けないだろうと思われる問題の割合が増えており、作図の重要度は高い。記述のことを考えて作図しようと思えばできる状態にはしておきたい。

日常的な学習では、個別試験(2次試験)にも対応できるような学習を心掛けましょう。

参考 数学I・A|2017センター試験・第1問を解いてみよう
参考 数学I・A|2017センター試験・第2問を解いてみよう
参考 数学I・A|2017センター試験・第3問を解いてみよう
参考 数学I・A|2017センター試験・第4問を解いてみよう

なお、記事の画像が見辛いときはクリックすると拡大できます。

スポンサーリンク
スポンサーリンク

数学I・Aの第5問について

第5問は、数Aの「図形の性質」の単元からの出題でした。出題内容をまとめると以下のようになります。

「図形の性質」からの出題内容

  • 三角形と円に関する問題
  • 三角形の内心に関する問題
  • 方べきの定理やメネラウスの定理を利用する問題

図形が複数出てくるので、やはり作図が必要な問題です。そうは言ってもほとんどが教科書例題レベルなので、ぜひ完答を目指したい問題です。

「図形の性質」の単元は、中学校で学習した、三角形・四角形などの図形の性質や、合同・相似など図形どうしの関係についての知識がベースになっています。

色々と定理や公式が出てきますが、それらも中学で学習した内容の延長です。

図形に関する問題なので、何度も言いますが作図することが大切です。作図することによってイメージがより具体的になり、場合によっては様々な気付きを与えてくれます。

図形の性質は図形で理解する。そのための作図。デメリットはないと言っても良いので、日頃から作図を心掛けよう。

第5問は以下のような問題でした。

2017年センター試験数学1A第5問

全体を俯瞰してみると、(1) , (2)の小問形式になっています。他の選択問題と比べると格段に易しかったので、図形に対して苦手意識がある人にとってはラッキーな問題だったかもしれません。

なお、必答問題の2問を解いた後、第5問へと進むと時間配分が上手くいったのではないかと思います。

第5問(1)について

小問(1)は、三角形と外接円に関わる問題、そしてメネラウスの定理を扱った問題で構成されています。ともに特に捻った問題でもなかったので、あっさり解けた人が多かったかもしれません。

問題文を読みながら正しく作図しましょう。そうしないと、何の外接円か分からなくなってしまうので注意したいところです。今回は△ABCではなく、△ABDの外接円です。

解答欄アイ,ウエ

解答欄アイ,ウエ
条件1:△ABCにおいて、$AB=3 \ , \ BC=8 \ , \ AC=7$ 。
条件2:辺AC上に $AD=3$ となる点Dをとる。
条件3:△ABDの外接円と直線BCの交点でBと異なるものをEとする。
このとき、

  • $BC \cdot CE$ の値(解答欄アイ)
  • $CE$ の値(解答欄ウエ)

与えられた条件で作図をすると分かりますが、点Dは辺AC上にでき、点Eは辺BC上にできます。

第5問(1)の作図その1

また、△ABDの外接円は、その円周上に4つの点 $A , B , E , D$があるので、四角形ABEDの外接円でもあります。

さて、作図して色々と分かったところで問題を解いていきます。

解答欄アイに関する問題は、2つの線分 $BC \ , \ CE$ の長さの積 $BC \cdot CE$を求める問題です。

また、解答欄ウエに関する問題は、 $BC \cdot CE$ の値を利用して $CE$の値を求める問題です。

2つの線分の積が出てきている時点で「方べきの定理」が候補に挙がりますが、外接円も出てきたので「方べきの定理」で確定です。

方べきの定理

方べきの定理を用いると、長さの積 $BC \cdot CE$ の値を求めることができます。

\begin{align*}&\text{方べきの定理より} \\[ 5pt ]
&BC \cdot CE = AC \cdot CD \\[ 5pt ]
&BC \cdot CE = 7 \cdot 4 \\[ 5pt ]
&BC \cdot CE = 28\end{align*}

$BC$ の長さが分かっているので、式を変形して $CE$ の長さを求めます。解答例は以下のようになります。

第5問(1)の解答欄アイ,ウエの解答例

ところで、方べきの定理を利用できる図形には3パターンあるので、使い分けができるようにしておきましょう。

方べきの定理の使い分け

解答欄オカキ,クケコ

解答欄オカキ,クケコ
条件1:△ABCにおいて、$AB=3 \ , \ BC=8 \ , \ AC=7$ 。
条件2:辺AC上に $AD=3$ となる点Dをとる。
条件3:△ABDの外接円と直線BCの交点でBと異なるものをEとする。
条件4:$CE=7/2$
条件5:直線ABと直線DEの交点をFとする。
このとき、

  • $BF/AF$ の値(解答欄オカキ)
  • $AF$ の値(解答欄クケコ)

第5問(1)の作図その2

解答欄オカキに関する問題は、2つの線分 $BF \ , \ AF$ の長さの比の値 $BF/AF$を求める問題です。また、解答欄オカキ,クケコに関する問題は $AF$ の値を求める問題です。

長さ比の値を利用したものとしては「メネラウスの定理」や「チェバの定理」があります。作図の様子から、メネラウスの定理を利用できそうです。

メネラウスの定理とチェバの定理のまとめ

メネラウスの定理が利用できるとき、図形は「矢じり型」のようになっている。チェバの定理よりもメネラウスの定理の方が出題率が高いので、図形とセットで覚えておこう。

作図した図を参考にして、メネラウスの定理を使って立式します。

\begin{align*}
\frac{CE}{EB} \cdot \frac{BF}{FA} \cdot \frac{AD}{DC} &= 1 \\[ 5pt ]
\frac{BF}{FA} &= \frac{EB}{CE} \cdot \frac{DC}{AD} \\[ 5pt ]
\frac{FB}{FA} &= \frac{BE}{CE} \cdot \frac{CD}{AD}
\end{align*}

あとは、右辺に4つの線分の長さを代入し、 $BF/AF$ について整理します。ただし、 $BF/AF$ の値を求めるために、線分 $BE \ , \ CD$ の長さは自分で求めておく必要があります。

第5問(1)の解答欄オカキ,クケコの解答例

線分 $BE \ , \ CD$ の長さを求めたら、$BF/AF$ の値を求めます。また、$AF$ の値は、これと $BF=AF+AB$ であることに注意して解きます。小問(1)は基本的レベルの問題なので、手早く解いてしまいましょう。

第5問(1)の解答欄オカキ,クケコの解答例

なお、チェバの定理やメネラウスの定理では、その覚え方にコツがあります。どちらの定理も、スタートした頂点に必ず戻ってくるように、またアルファベットが連続するように式を作ることができます。矢印を書き込んで立式すると、間違いを減らせます。

メネラウスの定理とチェバの定理を覚えるコツ

第5問(1)の解答例とポイントをまとめると以下のようになります。

第5問(1)の解答例とポイントのまとめ

次は第2問(2)を解いてみましょう。

スポンサーリンク
Amazon ノート・メモ帳ランキング
楽天市場 学習参考書ランキング
スポンサーリンク
スポンサーリンク
気になる教材があればコチラで探せます。
数学I数学A
この記事が気に入ったら
いいね!しよう
最新情報をお届けします。
フォローする
スポンサーリンク
ちょっとど忘れしたときの公式・定理集

数学で覚えるべき公式や定理は、一覧で眺めてみるとそれほど多くはありません。大切なことは覚えることではなく、「公式や定理をどのように使うか」です。

公式・定理集で確認しつつ、演習で積極的に使っていきましょう。

日々是鍛錬 ひびこれたんれん
kiri

このサイトでは、できるだけ図や表を使い、丁寧な過程を記述することを心掛けながら解説しています。このサイトの記事が、苦手意識や壁を取り除くきっかけになれば幸いです。

中学生の先取り学習や高校生の受験対策、社会人の学び直しなどに役立てて下さいませ。

フォローする
タイトルとURLをコピーしました