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図形の性質|メネラウスの定理、チェバの定理について

数学A 図形の性質数学A

今回はメネラウスの定理とチェバの定理について学習しましょう。旧課程のセンター試験ではほとんど出題されませんでしたが、新課程ではよく出題される問題の1つになりました。

近年では2017年のセンター試験で出題されています。ほぼ出題されると思って対策を立てておいた方が無難でしょう。

メネラウスの定理やチェバの定理を扱った問題は、図形を見るとすぐにピンとくるのが特徴です。図形と定理をセットで覚えるように心掛けましょう。

なお、記事の画像が見辛いときはクリックすると拡大できます。

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メネラウスの定理とチェバの定理

メネラウスの定理とチェバの定理は、三角形の3辺について、内分比や外分比によって得られる比の値の積が $1$になる定理です。

式を覚えるのはコツがあるので、それほど苦労しません。ただ、これらの定理が成り立つ図形を作図する方法や、定理を導出する方法を知っておくことは大切です。

メネラウスの定理とチェバの定理のまとめ

メネラウスの定理が成り立つ図形を作図しよう

メネラウスの定理が成り立つ図

以下の手順でメネラウスの定理が成り立つ図形を作図します。

  1. 三角形の1辺の延長線上に外分点をとる。
  2. 外分点を通り、他の2辺と交わる直線ℓを引く(内分点が2つできる)。

メネラウスの定理が成り立つ図形では、三角形の頂点を通る直線は出てきません。また、内分点だけでなく外分点が出てくるので注意が必要です。

作図から分かるように、新たにできた内分点や外分点は、同一直線上にあるのが特徴です。また、図形の見た目が矢じりのようになっているので、一目で気付くことができます。

メネラウスの定理が成り立つ図は矢じり型

チェバの定理が成り立つ図形を作図しよう

チェバの定理が成り立つ図

以下の手順でチェバの定理が成り立つ図形を作図します。

  1. 三角形の内部に点を1つとる。
  2. 内部の点と三角形の頂点とを通る直線をひき、辺と交点をつくる(内分点が3つできる)。

三角形の内部にとった点は、内部ならどこでも構いません。作図から分かるように、三角形の内部に自分で点を先に作ってしまうので、外心や重心などの五心とはでき方が根本的に異なります

特に、重心と混同する人がいるようですが、見た目は似ていても全く別物です。

メネラウスの定理を表す式を導出しよう

メネラウスの定理を表す式を導出してみましょう。式の成り立ちが分かれば立式しやすくなります。

メネラウスの定理が成り立つ図

△ABCにおいて、辺ACの延長上に外分点Eを取ります。この点Eを通り、他の2辺AB ,BCと交わるように直線ℓを引きます。2辺AB , BCと直線ℓとの交点をそれぞれF , Dとします。

平行線と線分の比の関係を利用しよう

先ほどの図に補助線を加えます。点Cを通り、直線ℓに平行な直線を引き、この直線と辺ABとの交点をPとします。

メネラウスの定理を導出する図

定理の導出には様々な方法がありますが、ここでは中学で学習した平行線と線分の比の関係を利用します。この関係を利用すると比例式が得られます。さらに、この比例式から①式が得られます。

平行線と線分の比を利用する
\begin{align*}
AF:PF &= AE:CE \\[ 5pt ]
AF \cdot CE &= PF \cdot AE \\[ 5pt ]
\frac{AF}{PF} &= \frac{AE}{CE} \quad \text{…①}
\end{align*}

①式は線分の比の値が右側と左側の辺で等しいことを表しています。このことを知っていれば、わざわざ比例式から導出する必要はありません。

他の線分に注目すると、同じようにして②式が得られます。

メネラウスの定理を導出する図2

平行線と線分の比の関係を利用する
\begin{align*}
PF:FB &= CD:DB \\[ 5pt ]
PF \cdot DB &= FB \cdot CD \\[ 5pt ]
\frac{PF}{FB} &= \frac{CD}{DB} \quad \text{…②}
\end{align*}

2つの式を辺々掛けて整理しよう

\begin{align*}
\frac{AF}{PF} &= \frac{AE}{CE} \quad \text{…①} \\[ 5pt ]
\frac{PF}{FB} &= \frac{CD}{DB} \quad \text{…②}
\end{align*}

①,②式を辺々掛けて整理します。2つの式を辺々掛けるというのは、左辺どうし、右辺どうしをそれぞれ掛けるということです。なお、2つの式はともに等式なので、辺々掛けても等式は成り立ちます。

①,②式を辺々掛けて整理する
\begin{align*}
\frac{AF}{PF} \cdot \frac{PF}{FB} &= \frac{AE}{CE} \cdot \frac{CD}{DB} \\[ 5pt ]
\frac{AF}{FB} &= \frac{AE}{CE} \cdot \frac{CD}{DB} \\[ 5pt ]
\frac{AF}{FB} \cdot \frac{DB}{CD} \cdot \frac{CE}{AE} &= 1 \\[ 5pt ]
\therefore \ \frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} &= 1
\end{align*}

2行目から3行目では、右辺が1になるように変形しています。3行目から4行目では、アルファベットの並びを変えています。

左辺において、左側の分数から順に、分母⇒分子⇒分母…とアルファベットの並びに注目すると、非常に特徴的な式になっていることに気付きます。その際、図形と合わせて見るともっと分かります。

メネラウスの定理の覚え方

分母⇒分子⇒分母…の順に合わせて頂点や内分点(外分点)を見ていくと、頂点と内分点(外分点)が交互になるように辿っていることが分かります。そして、最終的には図形を1周するようにして元の頂点に戻ってきます。

このルールさえ守れば、頂点A以外からのスタートでも定理で表される式を導出することができます。しりとりのようになっているので、比較的覚えやすい式です。以上をまとめると以下のようになります。

メネラウスの定理の導出まとめ

頂点と内分点(外分点)を交互に辿りながら、1周して元の頂点に戻るように線分を選ぶのが立式のルール。ルールを守れば、定理で表された式以外でも成り立つことに注意しよう。

次はチェバの定理を導出してみましょう。

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ちょっとど忘れしたときの公式・定理集

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