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式と証明|多項定理について

数学2 式と証明 数学II

今回は多項定理について学習しましょう。多項定理も二項定理と同じように式の展開に関する定理です。この定理を利用すれば、展開後の式を求めることができます。ただ、展開式を求める問題ではなく、どちらかと言うと特定の項における係数を求める問題がよく出題されます。

考え方は二項定理に準ずるので、多項定理のことを理解できなければ、一旦、二項定理の方へ戻ってみると良いでしょう。

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多項定理について

多項定理は、二項定理における二項式を多項式に対して一般化したものです。ここでは、三項式を扱い、展開式よりもその一般項をどのように表すかに注目して学習します。

多項定理における一般項
\begin{align*}
&\text{$( a+b+c )^{\scriptsize{n}}$ の一般項は} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{n!}{p!q!r!} a^{\scriptsize{p}} \ b^{\scriptsize{q}} \ c^{\scriptsize{r}} \\[ 10pt ]
&\text{ただし、$p \ , \ q \ , \ r$ は整数で、} \\[ 5pt ]
&\quad p \geqq 0 \ , \ q \geqq 0 \ , \ r \geqq 0 \ , \ p + q + r = n
\end{align*}

係数が階乗を用いた式になっていますが、組合せの考え方を利用して導出されています。それを確認してみましょう。

多項定理の一般項の導出

多項式a+b+cn乗の展開を考えます。この累乗は、多項式a+b+cn個乗算する計算です。

多項式の展開
\begin{align*}
&(a+b+c)^{\scriptsize{n}} \\[ 5pt ]
= &(a+b+c) \times (a+b+c) \times (a+b+c) \times \cdots \cdots \times (a+b+c)
\end{align*}

この計算では、カッコの中からそれぞれa , b , cのいずれかを取り出し、それらを掛け合わせて和を求めます。そうすることで、多項式a+b+cn乗の展開式になります。

このことから、一般項の係数は、n個のカッコの中からap個、bq個、cr個選ぶ場合の数となります。このときの場合の数の求め方は2通りあります。

カッコの中の項の選び方

  • 組合せを考えた場合の数
  • 同じものを含む順列を考えた場合の数

組合せを考えた場合の数は以下のようになります。

組合せを考えた場合の数
\begin{align*}
&\text{$n$ 個の $(a+b+c)$ から $a$ を取り出す $p$ 個の選び方は} \\[ 5pt ]
&\quad {}_n \mathrm{ C }_p \quad \text{(通り)} \\[ 10pt ]
&\text{残りの $(n-p)$ 個の $(a+b+c)$ から $b$ を取り出す $q$ 個の選び方は} \\[ 5pt ]
&\quad {}_{n-p} \mathrm{ C }_q \quad \text{(通り)} \\[ 10pt ]
&\text{残りの $(n-p-q)$ 個の $(a+b+c)$ からすべて $c$ を取り出す選び方は} \\[ 5pt ]
&\quad {}_{n-p-q} \mathrm{ C }_{n-p-q} = 1 \quad \text{(通り)} \\[ 10pt ]
&\text{であるので、$(a+b+c)^{\scriptsize{n}}$ の係数は} \\[ 5pt ]
&\quad {}_n \mathrm{ C }_p \times {}_{n-p} \mathrm{ C }_q \times 1 \quad \text{(通り)}
\end{align*}

この場合の数を整理すると、以下のようになります。

組合せを考えた場合の数
\begin{align*}
&{}_n \mathrm{ C }_p \times {}_{n-p} \mathrm{ C }_q \times 1 \\[ 10pt ]
= &\frac{n!}{p!(n-p)!} \cdot \frac{(n-p)!}{q!(n-p-q)!} \\[ 10pt ]
= &\frac{n!}{p!q!(n-p-q)!} \\[ 10pt ]
= &\frac{n!}{p!q!r!} \quad ( \because n-p-q = r)
\end{align*}

これが一般項の係数となります。同じものを含む順列で考えた場合であれば、式を整理することもなく一発で導出することができます。

同じものを含む順列を考えた場合の数
\begin{align*}
&\text{$n$ 個のうち $a$ が$p$ 個、$b$ が $q$ 個、$c$ が $r$ 個あるときの順列の総数は} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{n!}{p!q!r!} \quad \text{(通り)}
\end{align*}

次は、多項定理を扱った問題を実際に解いてみましょう。

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