式と証明｜多項定理について

06/08/2021数学２

多項定理を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

問１

次の展開式における $[ \ ]$ 内に示した項の係数を求めよ。

\begin{align*} &(1) \quad (a+b+c)^{\scriptsize{5}} \quad [ \ ab^{\scriptsize{2}}c^{\scriptsize{2}} \ ] \\[ 7pt ] &(2) \quad (x+2y+3z)^{\scriptsize{4}} \quad [ \ x^{\scriptsize{3}}z \ ] \end{align*}

問１は、３つの項からなる多項式を展開する問題です。

４次式や５次式の展開なので、多項定理を利用します。また、特定の項の係数を求めるために、一般項を利用します。

問１(1)の解答・解説

問１(1)

次の展開式における $[ \ ]$ 内に示した項の係数を求めよ。

\begin{align*} \quad (a+b+c)^{\scriptsize{5}} \quad [ \ ab^{\scriptsize{2}}c^{\scriptsize{2}} \ ] \end{align*}

与式を見ると、カッコ内にある３つの項の係数がすべて１です。このような多項式の展開であれば、それほど難しくありません。

一般項と求めたい項を比べて、対応関係を調べます。

問１(1)の解答例 1⃣

\begin{align*} &(a+b+c)^{\scriptsize{n}} \quad \text{の一般項} \\[ 5pt ] &\quad \frac{n!}{p!q!r!} a^{\scriptsize{p}} \ b^{\scriptsize{q}} \ c^{\scriptsize{r}} \\[ 7pt ] &(a+b+c)^{\scriptsize{5}} \quad \text{の求めたい項} \\[ 5pt ] &\quad ({\scriptsize{\text{係数}}}) \ ab^{\scriptsize{2}}c^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\text{これらを比べると} \\[ 5pt ] &\quad n=5 \ , \ p=1 \ , \ q=2 \ , \ r=2 \end{align*}

比べた結果から、求めたい項の係数を求めます。

問１(1)の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \frac{n!}{p!q!r!} a^{\scriptsize{p}} \ b^{\scriptsize{q}} \ c^{\scriptsize{r}} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad n=5 \ , \ p=1 \ , \ q=2 \ , \ r=2 \\[ 7pt ] &ab^{\scriptsize{2}}c^{\scriptsize{2}} \ \text{の項の係数は} \end{align*} \begin{align*} \quad \frac{5!}{1!2!2!} &= \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{1 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2!} \\[ 7pt ] &= 30 \end{align*} \begin{align*} \text{よって、求める係数は $30$} \end{align*}

別解として、二項定理を利用して解くこともできます。

問１(1)の別解例

$\{ (a+b)+c \}^{\scriptsize{5}}$ において、$c^{\scriptsize{2}}$ を含む項は

\begin{align*} \quad {}_5 \mathrm{ C }_2 (a+b)^{\scriptsize{3}} \ c^{\scriptsize{2}} \end{align*}

また、$(a+b)^{\scriptsize{3}}$ において、$ab^{\scriptsize{2}}$ の項の係数は

\begin{align*} \quad {}_3 \mathrm{ C }_2 \end{align*}

よって、求める項の係数は

\begin{align*} \quad {}_5 \mathrm{ C }_2 \times {}_3 \mathrm{ C }_2 &= 10 \cdot 3 \\[ 7pt ] &= 30 \end{align*}

三項式を二項式に変形して、二項定理を利用するのがポイントです。

自分が解ける形に変形しよう。

問１(2)の解答・解説

問１(2)

次の展開式における $[ \ ]$ 内に示した項の係数を求めよ。

\begin{align*} \quad (x+2y+3z)^{\scriptsize{4}} \quad [ \ x^{\scriptsize{3}}z \ ] \end{align*}

問(2)も多項定理を利用して係数を求める問題です。

問(1)と異なるのは、カッコ内にある項の係数が１ではないものがあることです。このような多項式の展開では、係数を間違いやすいので気を付けましょう。

一般項と求めたい項を比べて、対応関係を調べます。

問１(2)の解答例 1⃣

\begin{align*} &(a+b+c)^{\scriptsize{n}} \quad \text{の一般項} \\[ 5pt ] &\quad \frac{n!}{p!q!r!} a^{\scriptsize{p}} \ b^{\scriptsize{q}} \ c^{\scriptsize{r}} \\[ 7pt ] &(x+2y+3z)^{\scriptsize{4}} \quad \text{の求めたい項} \\[ 5pt ] &\quad ({\scriptsize{\text{係数}}}) \ x^{\scriptsize{3}}z \\[ 7pt ] &\text{これらを比べると} \\[ 5pt ] &\quad n=4 \ , \ p=3 \ , \ q=0 \ , \ r=1 \end{align*}

比べた結果を利用するのは問１(1)と同じですが、係数だけを求めることはしません。

問１(2)の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \frac{n!}{p!q!r!} a^{\scriptsize{p}} \ b^{\scriptsize{q}} \ c^{\scriptsize{r}} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad n=4 \ , \ p=3 \ , \ q=0 \ , \ r=1 \\[ 7pt ] &\text{よって、} x^{\scriptsize{3}}z \ \text{の項は} \\[ 5pt ] &\quad \frac{4!}{3!0!1!} x^{\scriptsize{3}} \ (2y)^{\scriptsize{0}} \ (3z)^{\scriptsize{1}} = \frac{4 \cdot 3!}{3! \cdot 1 \cdot 1} \cdot 3 x^{\scriptsize{3}}z \\[ 7pt ] &\text{したがって、求める係数は} \\[ 5pt ] &\quad \frac{4 \cdot 3!}{3! \cdot 1 \cdot 1} \cdot 3 = 12 \end{align*}

カッコ内にある項の係数が１でなければ、組合せの総数だけでは係数になりません。各項の係数も影響するので、一般項全体を書き出して考えるようにしましょう。

カッコ内にある項の係数が１でなければ、組合せの総数だけで係数を求めてはいけない。一般項全体から係数を求めよう。

次の問題を解いてみましょう。

問２

次の展開式における $[ \ ]$ 内に示した項の係数を求めよ。

\begin{align*} \quad (x^{\scriptsize{2}}+x+1)^{\scriptsize{7}} \quad [ \ x^{\scriptsize{3}} \ ] \end{align*}

問２も多項定理を扱った問題ですが、問１よりも難易度の高い問題です。実際に求めたい項を抜き出してみると違いが分かります。

問２の解答・解説

一般項と求めたい項を比べて、対応関係を調べます。

問２の解答例 1⃣

\begin{align*} &(a+b+c)^{\scriptsize{n}} \quad \text{の一般項} \\[ 5pt ] &\quad \frac{n!}{p!q!r!} a^{\scriptsize{p}} \ b^{\scriptsize{q}} \ c^{\scriptsize{r}} \\[ 7pt ] &(x^{\scriptsize{2}}+x+1)^{\scriptsize{7}} \quad \text{の求めたい項} \\[ 5pt ] &\quad ({\scriptsize{\text{係数}}}) \ x^{\scriptsize{3}} \\[ 7pt ] &\text{これらを比べると} \\[ 5pt ] &\quad n=7 \end{align*}

対応関係から分かるように、カッコ内の１番目と２番目の項はともにｘを含みます。これが原因で、各項をそれぞれ何乗すれば良いのか分からないので、指数ｐ，ｑ，ｒの値が決まりません。

各項を何乗するのかは考えず、一般項の式を用いて求めたい項を表します。

問２の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \frac{n!}{p!q!r!} a^{\scriptsize{p}} \ b^{\scriptsize{q}} \ c^{\scriptsize{r}} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad n=7 \end{align*}

与式において $x^{\scriptsize{3}}$ の項は

\begin{align*} &\quad \frac{7!}{p!q!r!} \left( x^{\scriptsize{2}} \right)^{\scriptsize{p}} \ x^{\scriptsize{q}} \ 1^{\scriptsize{r}} = \frac{7!}{p!q!r!} x^{\scriptsize{2p+q}} \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\text{と表せる。} \end{align*}

一般項を用いて求めたい項を表しましたが、指数を比較してもｐ，ｑの値が定まりません。どうやら、問１と同じ要領で係数を求めることができないようです。

問２は、単に多項定理の式を利用するだけでは解けない問題です。ｐ，ｑの値を定めるには、ｐ，ｑ，ｒに関する条件を利用します。

ここで、多項定理における一般項とその条件を確認しておきましょう。

多項定理における一般項

\begin{align*} &\text{$( a+b+c )^{\scriptsize{n}}$ の一般項は} \\[ 5pt ] &\quad \frac{n!}{p!q!r!} a^{\scriptsize{p}} \ b^{\scriptsize{q}} \ c^{\scriptsize{r}} \\[ 10pt ] &\text{ただし、$p \ , \ q \ , \ r$ は整数で} \\[ 5pt ] &\quad p \geqq 0 \ , \ q \geqq 0 \ , \ r \geqq 0 \\[ 7pt ] &\quad p + q + r = n \end{align*}

但し書きの部分がｐ，ｑ，ｒに関する条件です。この条件を利用して、ｐ，ｑの値を定めます。

問２の解答例 3⃣

ここで、①が $x^{\scriptsize{3}}$ の項となるのは

\begin{align*} &\quad 2p+q=3 \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\quad q=3-2p \\[ 7pt ] &\text{のときである。} \\[ 5pt ] &\text{$q \geqq 0$ より} \\[ 5pt ] &\quad 3-2p \geqq 0 \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\quad p \leqq \frac{3}{2} \\[ 7pt ] &\text{これと $p \geqq 0$ より} \\[ 5pt ] &\quad 0 \leqq p \leqq \frac{3}{2} \\[ 7pt ] &\text{$p$ は整数であるので} \\[ 5pt ] &\quad p = 0 \ , \ 1 \\[ 7pt ] &\text{また、$q=3-2p \ , \ r=7-p-q$ より} \\[ 5pt ] &\quad p=0 \ \text{のとき} \quad q=3 \ , \ r=4 \\[ 7pt ] &\quad p=1 \ \text{のとき} \quad q=1 \ , \ r=5 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad (p \ , \ q \ , \ r) = (0 \ , \ 3 \ , \ 4) \ , \ (1 \ , \ 1 \ , \ 5) \end{align*}

少し長くなりましたが、やっとｐ，ｑ，ｒの値が定まりました。

ｐ，ｑ，ｒの組が複数あるのは、カッコ内にある１番目と２番目の項に、同じ文字ｘが使われているからです。どちらの場合でも、指示された項が得られます。

多項定理を扱った問題では、問２のような問題の方が多く出題されるので、ｐ，ｑ，ｒの組が１通りに定まらない場合もあると覚えておきましょう。

各組ごとに係数を求めます。各組ごとに得られる項は同類項になるので、それらの和が求めたい項になります。

問２の解答例 4⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \frac{7!}{p!q!r!} \left( x^{\scriptsize{2}} \right)^{\scriptsize{p}} \ x^{\scriptsize{q}} \ 1^{\scriptsize{r}} = \frac{7!}{p!q!r!} x^{\scriptsize{2p+q}} \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad (p \ , \ q \ , \ r) = (0 \ , \ 3 \ , \ 4) \ , \ (1 \ , \ 1 \ , \ 5) \\[ 7pt ] &(p \ , \ q \ , \ r) = (0 \ , \ 3 \ , \ 4) \ \text{のとき} \end{align*} \begin{align*} \quad \frac{7!}{0!3!4!} \left( x^{\scriptsize{2}} \right)^{\scriptsize{0}} \cdot x^{\scriptsize{3}} \cdot 1^{\scriptsize{4}} &= \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{6 \cdot 4!} x^{\scriptsize{3}} \\[ 7pt ] &= 35x^{\scriptsize{3}} \end{align*} \begin{align*} (p \ , \ q \ , \ r) = (1 \ , \ 1 \ , \ 5) \ \text{のとき} \end{align*} \begin{align*} \quad \frac{7!}{1!1!5!} \left( x^{\scriptsize{2}} \right)^{\scriptsize{1}} \cdot x^{\scriptsize{1}} \cdot 1^{\scriptsize{5}} &= \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{5!} x^{\scriptsize{3}} \\[ 7pt ] &= 42x^{\scriptsize{3}} \end{align*} \begin{align*} &\text{よって、$x^{\scriptsize{3}}$ の項の係数は} \\[ 5pt ] &\quad 35 + 42 = 77 \end{align*}

多項定理を扱った問題は、特定の項の係数を求める問題が基本です。展開式を求める問題はまず出題されないので、一般項を利用した係数の求め方をしっかりマスターしておきましょう。

また、一般項を利用する問題では、指数法則の知識が必須です。指数法則は、どの単元でもよく利用されるので、しっかり使えるようにしておきましょう。