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複素数と方程式|重解や虚数解をもつ条件について

数学II

今回は、2次方程式が重解や虚数解をもつときの条件について学習しましょう。前回と同じように、2次方程式の係数や定数項に文字を含むとき、2次方程式が特定の解をもつためにはどのような条件となれば良いのかを考えます。

2次方程式の解についての話であれば、判別式を利用します。判別式を上手に用いて、重解や虚数解をもつ条件を導きます。

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2次方程式の解の種類と判別式の値との関係

2次方程式の解が重解や虚数解であるとき、どのような条件を満たせば良いでしょうか。2次方程式の解の種類は、判別式の値によって分かります。ですから、解の種類と判別式の値との関係をしっかり連携させておかなければなりません。

2次方程式において、解の種類と判別式の値との関係は以下のようにまとめることができます。

解の種類と判別式
\begin{align*}
&\text{2次方程式 $ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0$ の判別式を $D$ とすると} \\[ 5pt ]
&(1) \quad \text{異なる2つの実数解をもつ} \ \Longleftrightarrow \ D \gt 0 \\[ 7pt ]
&(2) \quad \text{重解をもつ} \ \Longleftrightarrow \ D = 0 \\[ 7pt ]
&(3) \quad \text{異なる2つの虚数解をもつ} \ \Longleftrightarrow \ D \lt 0 \\[ 10pt ]
&\text{なお、(1)と(2)をまとめて} \\[ 7pt ]
&\quad \text{実数解をもつ} \ \Longleftrightarrow \ D \geqq 0
\end{align*}

ここでは、重解や虚数解をもつ条件を考えるので、(1)と(2)の関係を利用します。

2次方程式が重解をもつとき

2次方程式が重解をもつには、判別式の値が0でなければなりません。この条件を満たすとき、2次方程式は重解をもちます。

重解と判別式の値
\begin{align*}
&\text{2次方程式 $ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0$ の判別式を $D$ とすると} \\[ 5pt ]
&\quad \text{重解をもつ} \ \Longleftrightarrow \ D = 0
\end{align*}

また、2次方程式が重解をもつとき、その解はどのように表されるでしょうか。重解を求めるには、2次方程式を解くことが直接的な解法です。しかし、毎回、方程式を解くのは面倒です。時間の短縮や計算ミスを防ぐためにも、以下のことを覚えておくと良いでしょう。

判別式は、解の公式において、根号の中の式を表します。2次方程式が重解をもつ条件は、判別式の値が0となることです。これを解の公式に代入すると、重解を得ることができます。

解の公式と重解
\begin{align*}
&\text{2次方程式 $ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0$ の解は} \\[ 5pt ]
&\quad x= \frac{-b \pm \sqrt{b^{\scriptsize{2}}-4ac}}{2a} \\[ 7pt ]
&\text{ここで、判別式は} \\[ 5pt ]
&\quad D = b^{\scriptsize{2}}-4ac \\[ 7pt ]
&\text{であり、重解となるのは $D=0$ である。} \\[ 5pt ]
&\text{このときの解、つまり重解は} \\[ 5pt ]
&\quad x= \frac{-b \pm \sqrt{0}}{2a} \\[ 7pt ]
&\text{より} \\[ 5pt ]
&\quad x = -\frac{b}{2a} \\[ 5pt ]
&\text{と表せる。}
\end{align*}

2次方程式が重解をもつときの問題では、そのほとんどが「そのときの解(重解)を求めよ」と指示されます。ですから、重解を求めるために、毎回、方程式を解くのではなく、上述の式を利用して簡単に求めてしまいましょう。

2次方程式が重解や虚数解をもつときの条件

次の例題を解いてみましょう。

例題
\begin{align*}
&\text{2次方程式 $x^{\scriptsize{2}}+(5-m)x-2m+7 = 0$ について} \\[ 10pt ]
&(1) \quad \text{$m$ が整数のとき、虚数解をもつような定数 $m$ の値を求めよ。} \\[ 7pt ]
&(2) \quad \text{重解をもつような $m$ の値と、そのときの重解を求めよ。}
\end{align*}

2次方程式の係数や定数項に文字が含まれることに気付きます。判別式は、係数や定数項を用いて表されるので、判別式の値の条件から、定数 m の値の条件に置き換えることができます。

例題(1)の解答・解説

例題(1)
\begin{align*}
&\text{2次方程式 $x^{\scriptsize{2}}+(5-m)x-2m+7 = 0$ について} \\[ 10pt ]
&(1) \quad \text{$m$ が整数のとき、虚数解をもつような定数 $m$ の値を求めよ。}
\end{align*}

2次方程式の係数や定数項を用いて、判別式を表します。

例題(1)の解答例①
\begin{align*}
&\text{与式の判別式を $D$ とすると} \\[ 5pt ]
&\quad D = \bigl( 5-m \bigr)^{\scriptsize{2}}-4 \cdot 1 \cdot \bigl( -2m+7 \bigr) \\[ 5pt ]
&\qquad =25-10m+m^{\scriptsize{2}}+8m-28 \\[ 5pt ]
&\qquad = m^{\scriptsize{2}}-2m-3 \\[ 5pt ]
&\qquad = \bigl( m+1 \bigr) \bigl( m-3 \bigr)
\end{align*}

判別式は、文字 m についての2次式で表されます。次は、虚数解をもつための条件を考えます。

例題(1)の解答例②
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\quad D = \bigl( m+1 \bigr) \bigl( m-3 \bigr) \\[ 5pt ]
&\text{虚数解をもつための条件は} \\[ 5pt ]
&\quad D \lt 0 \quad \text{すなわち} \quad \bigl( m+1 \bigr) \bigl( m-3 \bigr) \lt 0
\end{align*}

虚数解をもつための条件は、判別式の値が負であることから、定数 m についての2次不等式であることが分かります。

この2次不等式の解を求めれば、定数 m の値の範囲を得ることができます。

例題(1)の解答例③
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\quad \bigl( m+1 \bigr) \bigl( m-3 \bigr) \lt 0 \\[ 5pt ]
&\text{これを解くと} \\[ 5pt ]
&\quad -1 \lt m \lt 3
\end{align*}

判別式の値の条件から、定数 m の値の範囲を得ることができました。これが虚数解をもつための条件となります。

大抵の問題であれば、定数 m の値の範囲が出てくれば終了ですが、ここでは、定数 m の値を求めなければなりません。定数 m の条件をよく確認しましょう。

例題(1)の解答例④
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\quad -1 \lt m \lt 3 \\[ 5pt ]
&\text{ここで $m$ は整数であるので} \\[ 5pt ]
&\quad m = 0 \ , \ 1 \ , \ 2
\end{align*}

例題(2)の解答・解説

例題(2)
\begin{align*}
&\text{2次方程式 $x^{\scriptsize{2}}+(5-m)x-2m+7 = 0$ について} \\[ 10pt ]
&(2) \quad \text{重解をもつような $m$ の値と、そのときの重解を求めよ。}
\end{align*}

例題(1)と同じように、2次方程式の係数や定数項を用いて、判別式を表します。

例題(2)の解答例①
\begin{align*}
&\text{与式の判別式を $D$ とすると} \\[ 5pt ]
&\quad D = \bigl( 5-m \bigr)^{\scriptsize{2}}-4 \cdot 1 \cdot \bigl( -2m+7 \bigr) \\[ 5pt ]
&\qquad =25-10m+m^{\scriptsize{2}}+8m-28 \\[ 5pt ]
&\qquad = m^{\scriptsize{2}}-2m-3 \\[ 5pt ]
&\qquad = \bigl( m+1 \bigr) \bigl( m-3 \bigr)
\end{align*}

判別式は、文字 m についての2次式で表されます。次は、重解をもつための条件を考えます。

例題(2)の解答例②
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\quad D = \bigl( m+1 \bigr) \bigl( m-3 \bigr) \\[ 5pt ]
&\text{重解をもつための条件は} \\[ 5pt ]
&\quad D = 0 \quad \text{すなわち} \quad \bigl( m+1 \bigr) \bigl( m-3 \bigr) = 0
\end{align*}

重解をもつための条件は、判別式の値が0であることから、定数 m についての2次方程式であることが分かります。

この2次方程式の解を求めれば、定数 m の値を得ることができます。

例題(2)の解答例③
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\quad \bigl( m+1 \bigr) \bigl( m-3 \bigr) = 0 \\[ 5pt ]
&\text{これを解くと} \\[ 5pt ]
&\quad m = -1 \ , \ 3 \\[ 5pt ]
&\text{これは定数 $m$ が整数であることを満たす。}
\end{align*}

判別式の値の条件から、定数 m の値を得ることができました。これが重解をもつための条件となります。

重解に関する問題の場合、重解を求めることまでがセットになっています。忘れずに重解を求めましょう。

例題(2)の解答例④
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\text{また、重解は} \\[ 5pt ]
&\quad x=-\frac{5-m}{2} \\[ 5pt ]
&\text{と表せる。} \\[ 5pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad m=-1 \quad \text{のとき} \quad x=-3 \\[ 5pt ]
&\quad m=3 \quad \text{のとき} \quad x=-1
\end{align*}

重解を求めるとき、与式に定数 m の値を代入し、2次方程式を解くことで求めることもできます。

例題(2)の解答例⑤(別解)
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\text{また、重解は $m=-1$ のとき、与式は} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}+6x+9 = 0 \\[ 5pt ]
&\text{より、} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl( x+3 \bigr)^{\scriptsize{2}} = 0 \quad \text{ゆえに} \quad x=-3 \\[ 5pt ]
&\text{同様に $m=3$ のとき、与式は} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}+2x+1 = 0 \\[ 5pt ]
&\text{より、} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl( x+1 \bigr)^{\scriptsize{2}} = 0 \quad \text{ゆえに} \quad x=-1 \\[ 5pt ]
&\text{したがって} \\[ 5pt ]
&\quad m=-1 \quad \text{のとき} \quad x=-3 \\[ 5pt ]
&\quad m=3 \quad \text{のとき} \quad x=-1
\end{align*}

定数 m の値に応じて2次方程式をそれぞれ解けば、重解を得ることができます。重解をもつので、与式を必ず2乗の形に因数分解できます。計算自体は難しくありませんが、重解の公式に代入した方が明らかに簡単です。

「2次方程式が重解をもつ」=「2次方程式を必ず2乗の形に因数分解できる」

次は、重解や虚数解をもつ条件を扱った問題を実際に解いてみましょう。

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