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集合と論理|必要条件と十分条件、同値について

集合と論理数学I

今回は「必要条件や十分条件、同値」について学習しましょう。

特に必要・十分条件を扱った問題は、センター試験でも毎年出題されるほど頻出です。それにも関わらず、意外と苦手にしている人が多いのも事実です。ですから、ここを得点源にできるとだいぶ有利になるので、しっかりマスターしておきましょう。

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必要条件・十分条件

すでに学習済みですが、命題のうち $x$ や $a$ などの変数を含む文や式のことを特に「条件」と言います。

そして、このような条件を2つ用いて1つの命題にしたものが、命題「 $p \Rightarrow q$」でした。なお、命題「 $p \Rightarrow q$ 」において、条件 $p$ を仮定、条件 $q$ を結論と言います。

必要条件や十分条件は、2つの条件からなる命題「 $p \Rightarrow q$ 」における条件 $p \ , \ q$ の関係を表す用語です。

十分条件

命題「 $p \Rightarrow q$ 」が真であるとします。このとき、仮定である条件 $p$ は、結論である条件 $q$ が成り立つには十分な仮定になります。

このことから、結論 $q$ に対する仮定 $p$ のことを「十分条件」と言います。一般に、命題「 $p \Rightarrow q$ 」が真であるとき「 $p$ は $q$ であるための十分条件である」と言います。

仮定は結論にとって十分であっても必要ではない。
十分条件の一例
条件 $p \ , \ q$ について、
$\quad p: \ x \geqq 5$
$\quad q: \ x \geqq 1$
であるとする。

十分条件の一例

数直線からも分かるように、条件 $x \geqq 1$ が成り立つために、条件 $x \geqq 5$ で十分ではありますが、それが必要かと言われれば、他にも候補( $x \geqq 3$ など)があるのでそうとは言い切れません。

このことから「 $x \geqq 5$ は $x \geqq 1$ であるための十分条件ではあるが、必要条件ではない」と言えます。

必要条件

同じように、命題「 $p \Rightarrow q$ 」が真であるとします。このとき、結論である条件 $q$ は、仮定である条件 $p$ から必然的に導かれる結論になります。

このことから、仮定 $p$ に対する結論 $q$ のことを「必要条件」と言います。一般に、命題「 $p \Rightarrow q$ 」が真であるとき「 $q$ は $p$ であるための必要条件である」と言います。

結論は仮定の行きつく先なので仮定にとって必要な条件。
必要条件の一例
条件 $p \ , \ q$ について、
$\quad p: \ x \geqq 3$
$\quad q: \ x \geqq 7$
であるとする。

必要条件の一例

数直線からも分かるように、条件 $x \geqq 7$ が成り立つために、条件 $x \geqq 3$ が必要ではありますが、それで十分かと言われれば、他にも候補( $x \geqq 4$ など)があるのでそうとは言い切れません。

このことから「 $x \geqq 3$ は $x \geqq 7$ であるための必要条件ではあるが、十分条件ではない」と言えます。

必要条件と十分条件は図解しよう

十分条件や必要条件は集合や要素で考えよう

この単元で頭を悩ませるのは、2つの条件 $p \ , \ q$ が必要条件や十分条件のどちらになるかということです。しかし、集合や要素に置き換え、さらにベン図を使えば、その悩みは解決します。

仮定である条件 $p$ が真となる変数の値を要素とする集まりを集合 $P$、結論である条件 $q$ が真となる変数の値を要素とする集まりを集合 $Q$ とします。

命題が真であるときの集合の関係

命題「 $p \Rightarrow q$ 」が真であるとき、集合 $P \ , \ Q$ の関係を考えてみましょう。すでに学習済みですが、集合 $P$ は集合 $Q$ の部分集合になります。ですから、2つの集合には $P \subset Q$ という包含関係があります。

命題「 $p \Rightarrow q$ 」が真である
⇔ 集合 $P \ , \ Q$ には $P \subset Q$ という包含関係がある

十分条件や必要条件を集合や要素で考える

このような関係において、集合 $P$ から選んだ要素は、集合 $Q$ の要素でもあります。ただし、集合 $Q$ は集合 $P$ 以外の部分集合をもつので、集合 $P$ 以外から要素を選んでも集合 $Q$ の要素になります。

$P \subset Q$ という包含関係があるとき、集合 $P$ から要素を選べば、それは必然的に集合 $Q$ の要素になります。ですから、集合 $P$ にとって集合 $Q$ は必要な集合になります。それに対して、集合 $Q$ には集合 $P$ に属さない要素があるので、集合 $Q$ にとって集合 $P$ は十分な集合になります。

このように集合 $P \ , \ Q$ をベン図で図解して考えると、それに対応する2つの条件 $p \ , \ q$ の関係も分かってきます。

包含関係のある大小2つの条件

包含関係のある大小2つの条件では、小条件であれば大条件を必ず満たします。しかし、小条件以外にも大条件を満たすものがあります。ですから、小条件は、大条件を満たすのに十分であっても、大条件にとって必要な条件ではありません

それに対して大条件は、小条件であれば結果的に大条件となるので、小条件にとって代用できない条件です。つまり大条件は、小条件にとって外せない必要な条件になります。

相手の条件にとって十分か必要かといった視点で考えてみると判別がつく。

命題「 q ⇒ p 」が真であるときの十分条件・必要条件

先ほどは、命題「 $p \Rightarrow q$ 」が真であるときを考えました。

命題が真であるときの十分・必要条件

次は命題「 $q \Rightarrow p$ 」が真であるときを考えます。命題「 $q \Rightarrow p$ 」では、仮定が条件 $q$、結論が条件 $p$です。

仮定と結論が逆になっているので注意しよう。

仮定と結論が逆になっていることから、集合での関係も逆になります。ここに気づけば十分条件と必要条件の立場も逆になることが分かります。

命題の逆が真であるときの十分・必要条件

したがって、命題「 $q \Rightarrow p$ 」が真であるとき、 $q$ は $p$ であるための十分条件、$p$ は $q$ であるための必要条件となります。

次は必要十分条件や同値についてです。

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