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頑張れ!受験生! 数学の公式・定理集あります。物理のヒント集始めました。
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数と式|二重根号について

二重根号をはじめから学びなおす 数学I

平方根を扱ったものに二重根号があります。この二重根号を扱った問題も頻出です。二重根号の扱い方にはコツがあるので、そのコツをしっかりマスターしましょう。

参考 数と式|平方根について

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二重根号を外そう

二重根号とは、根号の中に根号があるような、根号が二重になった数や式のことです。分母の有理化と同じように、優先的に処理します。

どちらの根号を外すか?

二重根号があるとき、根号の重複を無くして、根号が1つだけの数や式に書き換えます。

根号の重複をなくすために、二重に重なった根号のうち、外側の根号を外します。この外側の根号を外すには、平方根の性質を利用します。

絶対値の記号を上手に扱う

平方根の性質についておさらいしておきます。

平方根の性質から根号の中で2乗の形ができれば、根号のない数や式で表せます。

平方根の性質その1

外側の根号を外すには、根号の中で2乗の形を作ればよい。

ただし、$\sqrt{a}$ は正の平方根なので、根号がなくても正の数として扱わなければなりません。そのための絶対値の記号を忘れないようにしましょう。

参考 数と式|平方根について
参考 数と式|絶対値について

例1のように、単項式の場合が絶対値の記号を外すときの基本の形です。

単項式の2乗の平方根

例2の多項式の場合でも、多項式を1つの文字として扱えば、例1と同じように根号を外せます。
多項式の2乗の平方根

実際の計算では、根号を外した後、正負の判断をしてから絶対値の記号まで外します。多項式のときは間違えやすいので注意しましょう。

計算では、根号を外し、絶対値の記号を外すという2つのステップを踏む。また、例2で図解しているように、正負の吟味は、予め2乗の形を作るときにしておくと、絶対値の記号を外すときにラク。

乗法公式を利用して根号を外す

多項式が二重根号の中にあるとき、多項式を乗法公式を利用して因数分解します。因数分解することによって、2乗の形を作ります。

根号の中の多項式は、基本的に平方根を含む項と定数項の2つからなっています。そのような多項式を因数分解するために、展開の前後の式をよく見比べてみましょう。

平方根をもつ多項式と乗法公式

2項からなる多項式の2乗を展開するとき、乗法公式で展開することができました。

\begin{equation*}
{\left( a+b \right)}^{2} = \ {a}^{2} +2ab +{b}^{2}
\end{equation*}

この乗法公式で、$a = \sqrt{a} \ , \ b = \sqrt{b}$ と置き換えます。

\begin{align*}&{\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)}^{2} \\[ 5pt ]
= \ &{\left( \sqrt{a} \right)}^{2} +2\sqrt{a}\sqrt{b} +{\left( \sqrt{b} \right)}^{2} \\[ 5pt ]
= \ &a +2\sqrt{ab} +b \\[ 5pt ]
= \ &\left( a+b \right) +2\sqrt{ab}\end{align*}
\begin{equation*}\therefore \ \left( a+b \right) +2\sqrt{ab} = \ {\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)}^{2}\end{equation*}

二重根号を外す問題では、$\left( a+b \right) +2\sqrt{ab}$ が根号の中に入っています。この $\left( a+b \right) +2\sqrt{ab}$ を因数分解して2乗の形にすることによって、外側の根号を外します。

因数分解するためには、数 $a \ , \ b$ が左辺と右辺でどのように対応しているかを知っておく必要があります。

数 $a \ , \ b$ の関係

  • 因数分解前の和 $a+b$が、因数分解後の根号の中にある数 $a \ , \ b$
  • 因数分解前の積 $ab$が、因数分解後の根号の中にある数 $a \ , \ b$

このような和と積の関係を利用して、数 $a \ , \ b$ の組み合わせを決めて因数分解します。また、展開後の根号の前にある $2$も大切です。根号の前に $2$ がないと、2乗の形に因数分解することができません。

まとめると以下のようになります。
根号を含む多項式の2乗の展開

次は、二重根号を扱った問題を実際に解いてみましょう。

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