整数の性質｜ｎ進法の小数について

09/13/2023数学Ａ

n進法の小数を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

問

$(1) \ 21.201_{(5)}$ を $10$ 進数で表わせ。

$(2) \ 10$ 進数 $0.375$ を $5$ 進数で表わせ。

$(3) \ \frac{7}{9}$ を $3$ 進法、$8$ 進法の小数でそれぞれ表わせ。

問(1)の解答・解説

問(1)

$21.201_{(5)}$ を $10$ 進数で表わせ。

問(1)は、５進数から１０進数への変換を扱った問題です。基本的な問題なので、しっかり解けるようにしておきましょう。

２１.２０１₍₅₎は、ある１０進数を底５で位取りして得られる数字の配列を表します。１０進数で表すには、底５で位取りしたときの式に戻します。

２１.２０１₍₅₎から底５で位取りした式を導出します。通分するとき、計算ミスをしないように気をつけましょう。

問(1)の解答例

$21.201_{(5)}$ は

\begin{align*} \quad 2 \cdot 5^{1} + 1 \cdot 5^{0} + \frac{2}{5^{1}} + \frac{0}{5^{2}} + \frac{1}{5^{3}} \end{align*}

を意味する。

これを整理すると

\begin{align*} \quad \frac{2 \cdot 5^{4} + 1 \cdot 5^{3} + 2 \cdot 5^{2} + 1 }{5^{3}} = \frac{1426}{125} \end{align*}

よって、求める小数は

\begin{align*} \quad 21.201_{(5)} = 11.408 \end{align*}

解答例にもあるように、２１.２０１₍₅₎には小数部分だけでなく整数部分もあるので注意しましょう。

また、分数の分母１２５は、５だけを素因数にもつので、有限小数が得られます。

１０進数を底５で位取りし、各位の数字を抜き出した。抜き出した結果が５進数２１.２０１₍₅₎

⇒５進数の各位の数をもとに、位取りしたときの式に戻して整理すると１０進数。

問(2)の解答・解説

問(2)

$10$ 進数 $0.375$ を $5$ 進数で表わせ。

問(2)は、１０進数から５進数へ変換する問題です。これも問(1)と同じく基本的な問題なので、しっかり解けるようにしておきましょう。

１０進数から５進数へ変換するには、手早く行う解法であれば、５を掛ける掛け算を繰り返す解法があります。この解法では、２回目以降の掛け算では小数部分に５を掛けることに注意しましょう。

問(2)の解答例 1⃣

\begin{align*} \quad 0.375 \times 5 &= 1.875 \\[ 7pt ] \quad 0.875 \times 5 &= 4.375 \\[ 7pt ] \quad 0.375 \times 5 &= 1.875 \\[ 7pt ] \quad 0.875 \times 5 &= 4.375 \\[ 7pt ] &\vdots \end{align*}

掛け算を繰り返しても、小数部分が０になることはありません。

このような場合、循環小数になっているはずです。慌てずに整数部分を上から順に確認してみましょう。

問(2)の解答例 2⃣

積の整数部分は上から順に

\begin{align*} \quad 1 \ , \ 4 \ , \ 1 \ , \ 4 \ \cdots \end{align*}

を繰り返すので

\begin{align*} \quad 0.375 = 0.\dot{1} \dot{4}_{(5)} \end{align*}

筆算でやると以下のようになります。２回目以降の掛け算では、整数部分と掛け算しないように注意しましょう。

ちなみに、数学Ａの範囲では、底が１０以外の記数法（ｎ進数）で表される循環小数を、１０進数に変換する問題は出題されません。

また、以下の検算では、変換後の５進数がもとの１０進数に戻るかどうかを調べています。検算するには、数学３の知識（数列の極限）が必要です。

問(2)の検算

$0.\dot{ 1 } \dot{ 4 }_{(5)}$ は

\begin{align*} \quad \frac{1}{5^{1}} + \frac{4}{5^{2}} + \frac{1}{5^{3}} + \frac{4}{5^{4}} + \ \cdots \end{align*}

を意味する。

これより

\begin{align*} \quad \frac{1}{5^{1}} + \frac{4}{5^{2}} + \frac{1}{5^{3}} + \frac{4}{5^{4}} + \ \cdots = \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ \infty } \left(\frac{1}{5^{2k-1}} \right) + \sum_{ k = 1 }^{ \infty } \left(\frac{4}{5^{2k}} \right) \end{align*}

ここで

\begin{align*} &\quad \frac{1}{5^{2k-1}} = \frac{1}{5} {\left( \frac{1}{25} \right)}^{k-1} \\[ 10pt ] &\quad \frac{4}{5^{2k}} = \frac{4}{25} {\left( \frac{1}{25} \right)}^{k-1} \end{align*}

より

\begin{align*} &\quad \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ \infty } \left(\frac{1}{5^{2k-1}} \right) + \sum_{ k = 1 }^{ \infty } \left(\frac{4}{5^{2k}} \right) \\[ 10pt ] &\quad = \frac{\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{25}} + \frac{\frac{4}{25}}{1-\frac{1}{25}} \\[ 10pt ] &\quad = \frac{5}{24} + \frac{4}{24} \\[ 10pt ] &\quad = \frac{3}{8} \\[ 10pt ] &\quad = 0.375 \end{align*}

よって、$0.\dot{ 1 } \dot{ 4 }_{(5)}$ を $10$ 進法で表すと

\begin{align*} \quad 0.\dot{ 1 } \dot{ 4 }_{(5)} = 0.375 \end{align*}

ちゃんと１０進数０.３７５に戻りました。一応、検算の様子を紹介しましたが、参考程度で構いません。

問(3)の解答・解説

問(3)

$\frac{7}{9}$ を $3$ 進法、$8$ 進法の小数でそれぞれ表わせ。

問(3)は、１０進法の分数を３進法や８進法の小数へ変換する問題です。

ところで、与えられた分数の分母９は、２，５以外の素因数をもつので、有限小数にならず、循環小数になります。もし、有限小数になるのであれば、先に小数にしてから掛け算を繰り返した方が良いでしょう。

分数のまま底３，８を掛ける掛け算を繰り返しますが、小数とは異なり、整数部分と少数部分が分かりにくくなります。ですから、掛け算した後に少し工夫を施します。

まず、３進法の小数への変換です。底３を掛ける掛け算を繰り返します。

問(3)の解答例 1⃣

$\frac{7}{9}$ を $3$ 進法の小数で表す。

\begin{align*} \quad \frac{7}{9} \times 3 = \frac{7}{3} = 2 + \frac{1}{3} \end{align*}

より、整数部分は $2$

また、小数部分から

\begin{align*} \quad \frac{1}{3} \times 3 = 1 \end{align*}

より、整数部分は $1$

小数部分が $0$ になったので

\begin{align*} \quad \frac{7}{9} = 0.21_{(3)} \end{align*}

２回目以降の掛け算では、小数部分に底３を掛ける掛け算を繰り返します。ですから、整数部分と小数部分の区別がついていないと困ります。

次は、８進法の小数への変換も同じ要領で行います。

問(3)の解答例 2⃣

$\frac{7}{9}$ を $8$ 進法の小数で表す。

\begin{align*} \quad \frac{7}{9} \times 8 = \frac{56}{9} = 6 + \frac{2}{9} \end{align*}

より、整数部分は $6$

また、小数部分から

\begin{align*} \quad \frac{2}{9} \times 8 = \frac{16}{9} = 1 + \frac{7}{9} \end{align*}

より、整数部分は $1$

同様に小数部分から

\begin{align*} \quad \frac{7}{9} \times 8 = \frac{56}{9} = 6 + \frac{2}{9} \end{align*}

より、整数部分は $6$

これ以後は同じ計算が繰り返されるので

\begin{align*} \quad \frac{7}{9} = 0.\dot{6} \dot{1}_{(8)} \end{align*}

問(3)では、与えられた分数が循環小数になるので、変換後も循環する数になりそうです。

しかし、記数法の底によって、有限の数で表されたり、循環する数で表されたりします。

小数や分数であっても、記数法の変換では決まった手順があります。仮に手順を忘れても、位取りするための式を導出できれば、変換することができます。

最低限、覚えておかなければならない事柄をしっかり見極め、確実に覚えましょう。

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