整数の性質|n進数の各位の数や桁数、記数法の決定について

数学A

数学A 整数の性質

n進数の各位の数や桁数、記数法の決定を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

(1) ある自然数 $N$ を $5$ 進法で表すと $3$ 桁の数 $abc_{(5)}$ となり、$3$ 倍して $9$ 進法で表すと $3$ 桁の数 $cba_{(9)}$ となる。$a \ , \ b \ , \ c$ を求めよ。また、$N$ を $10$ 進法で表わせ。

(2) $n$ は $2$ 以上の自然数とする。$3$ 進数 $1212_{(3)}$ を $n$ 進法で表すと $101_{(n)}$ となるような $n$ の値を求めよ。

(3) $5$ 進法で表すと $3$ 桁になるような自然数 $N$ は何個あるか。

問(1)の解答・解説

問(1)

ある自然数 $N$ を $5$ 進法で表すと $3$ 桁の数 $abc_{(5)}$ となり、$3$ 倍して $9$ 進法で表すと $3$ 桁の数 $cba_{(9)}$ となる。$a \ , \ b \ , \ c$ を求めよ。また、$N$ を $10$ 進法で表わせ。

問(1)は、各位の数字を求めたり、ある自然数を10進法で表したりする問題です。

まず、記数法の底が分かっているので、各位の数字が満たす条件を求めることができます。

問(1)の解答例 1⃣

$abc_{(5)}$ と $cba_{(9)}$ はともに $3$ 桁の数であり、$5 \lt 9$ であるので

\begin{align*} \quad 1 \leqq a \leqq 5 \ , \ 0 \leqq b \leqq 5 \ , \ 1 \leqq c \leqq 5 \end{align*}

各位の数字が満たす条件は、9進法(0~8の数字)よりも5進法(0~4の数字)の方を優先しましょう。

自然数Nが5進法と9進法で表されているので、10進法で表して記数法の底を統一します。

問(1)の解答例 2⃣

\begin{align*} \quad \vdots \end{align*}

$abc_{(5)}$ と $cba_{(9)}$ を $10$ 進法で表す。

\begin{align*} \quad abc_{(5)} = a \cdot 5^{2} + b \cdot 5^{1} + c \cdot 5^{0} \end{align*}

よって

\begin{align*} \quad N = 25a + 5b + c \quad \cdots \text{①} \end{align*}

また

\begin{align*} \quad cba_{(9)} = c \cdot 9^{2} + b \cdot 9^{1} + a \cdot 9^{0} \end{align*}

この式は自然数 $N$ を $3$ 倍した数を表すので

\begin{align*} \quad N = \frac{a + 9b + 81c}{3} \quad \cdots \text{②} \end{align*}

自然数Nを3倍してから9進法で表していることに注意しましょう。

①,②を連立すると、a,b,cについての関係式を導出することができます。

問(1)の解答例 3⃣

\begin{align*} &\qquad \vdots \\[ 7pt ] &\quad N = 25a + 5b + c \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\qquad \vdots \\[ 7pt ] &\quad N = \frac{a + 9b + 81c}{3} \quad \cdots \text{②} \end{align*}

①,②より

\begin{align*} \quad 25a + 5b + c = \frac{a + 9b + 81c}{3} \end{align*}

これを整理すると

\begin{align*} &\quad 75a + 15b + 3c = a + 9b + 81c \\[ 7pt ] &\quad 74a = 78c-6b \\[ 7pt ] &\quad 37a = 39c-3b \\[ 7pt ] &\quad 37a = 3( 13c – b ) \quad \cdots \text{③} \end{align*}

いつもなら未知のものの個数と同じだけ関係式を必要とします。しかし、ここでは各位の数字が満たす条件があるので、③式だけでも解くことができます。

③式において、3と37が互いに素であることを利用します。

問(1)の解答例 4⃣

\begin{align*} &\qquad \vdots \\[ 7pt ] &\quad 37a = 3( 13c – b ) \quad \cdots \text{③} \end{align*}

$3$ と $37$ は互いに素であるので、$a$ は $3$ の倍数である。

$1 \leqq a \leqq 5$ より

\begin{align*} \quad a = 3 \quad \cdots \text{④} \end{align*}

aの値を求めることができました。次は③,④式を用いて、残りのb,cの値を求めます。

問(1)の解答例 5⃣

\begin{align*} &\qquad \vdots \\[ 7pt ] &\quad 37a = 3( 13c – b ) \quad \cdots \text{③} \\[ 7pt ] &\qquad \vdots \\[ 7pt ] &\quad a = 3 \quad \cdots \text{④} \end{align*}

③,④より

\begin{align*} \quad 13c = b + 37 \quad \cdots \text{⑤} \end{align*}

よって、$b+37$ は $13$ の倍数となる。

$0 \leqq b \leqq 5$ より

\begin{align*} \quad b = 2 \end{align*}

これと⑤から

\begin{align*} \quad c = 3 \end{align*}

これは $1 \leqq c \leqq 5$ を満たす。

\begin{align*} \quad \therefore \ a = 3 \ , \ b = 2 \ , \ c = 3 \end{align*}

最後に、①式または②式を用いて、自然数Nを10進法で表します。

問(1)の解答例 6⃣

\begin{align*} &\qquad \vdots \\[ 7pt ] &\quad N = 25a + 5b + c \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\qquad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \therefore \ a = 3 \ , \ b = 2 \ , \ c = 3 \end{align*}

①より、自然数 $N$ を $10$ 進法で表すと

\begin{align*} \quad N = 25 \cdot 3 + 5 \cdot 2 + 3 = 88 \end{align*}

得られる方程式が③式だけなので、③式を上手く変形するだけでなく、各位の数字が満たす条件も上手に利用する必要があります。

問(1)の記述例は以下のようになります。

問(1)の記述例

$abc_{(5)}$ と $cba_{(9)}$ はともに $3$ 桁の数であり、$5 \lt 9$ であるので

\begin{align*} \quad 1 \leqq a \leqq 5 \ , \ 0 \leqq b \leqq 5 \ , \ 1 \leqq c \leqq 5 \end{align*}

$abc_{(5)}$ と $cba_{(9)}$ を $10$ 進法で表すと

\begin{align*} \quad abc_{(5)} = a \cdot 5^{2} + b \cdot 5^{1} + c \cdot 5^{0} \end{align*}

より

\begin{align*} \quad N = 25a + 5b + c \quad \cdots \text{①} \end{align*}

また

\begin{align*} \quad cba_{(9)} = c \cdot 9^{2} + b \cdot 9^{1} + a \cdot 9^{0} \end{align*}

この式は自然数 $N$ を $3$ 倍した数を表すので

\begin{align*} \quad N = \frac{a + 9b + 81c}{3} \quad \cdots \text{②} \end{align*}

①,②より

\begin{align*} \quad 25a + 5b + c = \frac{a + 9b + 81c}{3} \end{align*}

これを整理すると

\begin{align*} \quad 37a = 3( 13c – b ) \quad \cdots \text{③} \end{align*}

③について、$3$ と $37$ は互いに素であるので、$a$ は $3$ の倍数である。

$1 \leqq a \leqq 5$ より

\begin{align*} \quad a = 3 \quad \cdots \text{④} \end{align*}

③,④より

\begin{align*} \quad 13c = b + 37 \end{align*}

よって、$b+37$ は $13$ の倍数となる。

$0 \leqq b \leqq 5$ より

\begin{align*} \quad b = 2 \end{align*}

また

\begin{align*} \quad c = 3 \end{align*}

これは $1 \leqq c \leqq 5$ を満たす。

\begin{align*} \quad \therefore \ a = 3 \ , \ b = 2 \ , \ c = 3 \end{align*}

これらと①より、自然数 $N$ を $10$ 進法で表すと/p> \begin{align*} &\quad N = 25 \cdot 3 + 5 \cdot 2 + 3 \\[ 7pt ] &\quad \therefore \ N = 88 \end{align*}

問(2)の解答・解説

問(2)

$n$ は $2$ 以上の自然数とする。$3$ 進数 $1212_{(3)}$ を $n$ 進法で表すと $101_{(n)}$ となるような $n$ の値を求めよ。

問(2)は、記数法の底を求める問題です。3進数とn進数が与えられていますが、記数法の底が異なります。ですから、10進法で表して底を統一します。

問(2)の解答例 1⃣

$1212_{(3)}$ と $101_{(n)}$ を $10$ 進法で表すと

\begin{align*} &\quad 1212_{(3)} = 1 \cdot 3^{3} + 2 \cdot 3^{2} + 1 \cdot 3^{1} + 2 \cdot 3^{0} = 50 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad 101_{(n)} = 1 \cdot n^{2} + 0 \cdot n^{1} + 1 \cdot n^{0} = n^{2} + 1 \quad \cdots \text{②} \end{align*}

①式と②式で表される数は、底が等しくなればともに同じ自然数となるはずです。このことからnについての方程式を導出します。

問(2)の解答例 2⃣

\begin{align*} &\qquad \vdots \\[ 7pt ] &\quad 1212_{(3)} = 50 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad 101_{(n)} = n^{2} +1 \quad \cdots \text{②} \end{align*}

①,②より

\begin{align*} \quad n^{2} + 1 = 50 \end{align*}

よって

\begin{align*} \quad n^{2} = 49 \end{align*}

$n \geqq 2$ より

\begin{align*} \quad \therefore \ n = 7 \end{align*}

記数法の底は2以上の自然数(n≧2)であることは暗黙の条件なので、忘れないようにしましょう。各位の数字や底を求めるときには、底を統一することから始めましょう。

問(2)の記述例は以下のようになります。

問(2)の記述例

$1212_{(3)}$ と $101_{(n)}$ を $10$ 進法で表すと

\begin{align*} &\quad 1212_{(3)} = 1 \cdot 3^{3} + 2 \cdot 3^{2} + 1 \cdot 3^{1} + 2 \cdot 3^{0} = 50 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad 101_{(n)} = 1 \cdot n^{2} + 0 \cdot n^{1} + 1 \cdot n^{0} = n^{2} + 1 \quad \cdots \text{②} \end{align*}

①,②より

\begin{align*} \quad n^{2} + 1 = 50 \end{align*}

よって

\begin{align*} \quad n^{2} = 49 \end{align*}

$n \geqq 2$ より

\begin{align*} \quad \therefore \ n = 7 \end{align*}

問(3)の解答・解説

問(3)

$5$ 進法で表すと $3$ 桁になるような自然数 $N$ は何個あるか。

問(3)は、桁数を利用して自然数の個数を求める問題です。指数と桁数の関係に気をつけましょう。

問(3)の解答例 1⃣

自然数 $N$ は $5$ 進法で表すと $3$ 桁になるので

\begin{align*} \quad 5^{3-1} \leqq N \lt 5^{3} \end{align*}

よって

\begin{align*} \quad 25 \leqq N \lt 125 \end{align*}

3桁の5進数について、最も高い位は53ではなく52の位です。53の位が最高位であれば、4桁の5進数になってしまいます。

不等式から分かるように、10進数25が3桁の5進数のうち最小値になり、10進数125が4桁の5進数のうち最小値になります。この不等式を利用して個数を求めます。

問(3)の解答例 2⃣

\begin{align*} &\qquad \vdots \\[ 7pt ] &\quad 25 \leqq N \lt 125 \end{align*}

この不等式を満たす自然数 $N$ の個数は

\begin{align*} \quad 125 – 25 = 100 \ \text{(個)} \end{align*}

125は4桁の5進数なので含めてはいけません。ですから個数を求めるときに1を足す必要はありません。

なお、24や124が何桁の5進数になるのかを確認してみましょう。

26や126を5進数で表す

\begin{align*} \quad 24 &=20+4 \\[ 7pt ] &=4 \cdot 5^{1}+4 \cdot 5^{0} \\[ 7pt ] &=44_{(5)} \\[ 10pt ] \quad 25 &=5^{2} \\[ 7pt ] &=1 \cdot 5^{2}+0 \cdot 5^{1}+0 \cdot 5^{0} \\[ 7pt ] &=100_{(5)} \\[ 10pt ] \quad 124 &=100+20+4 \\[ 7pt ] &=4 \cdot 5^{2}+4 \cdot 5^{1}+4 \cdot 5^{0} \\[ 7pt ] &=444_{(5)} \\[ 10pt ] \quad 125 &=5^{3} \\[ 7pt ] &=1 \cdot 5^{3}+0 \cdot 5^{2}+0 \cdot 5^{1}+0 \cdot 5^{0} \\[ 7pt ] &=1000_{(5)} \end{align*}

比較のために25や125も5進数で表しています。24は2桁の5進数となるので、25が3桁の5進数の最小値となります。

また、124は3桁の5進数となるので、125が4桁の5進数の最小値となります。このことから、自然数Nの取り得る範囲が正しいことが分かります。

問(3)の記述例は以下のようになります。

問(3)の記述例

自然数 $N$ は $5$ 進法で表すと $3$ 桁になるので

\begin{align*} \quad 5^{3-1} \leqq N \lt 5^{3} \end{align*}

よって

\begin{align*} \quad 25 \leqq N \lt 125 \end{align*}

この不等式を満たす自然数 $N$ の個数は

\begin{align*} \quad 125 – 25 = 100 \ \text{(個)} \end{align*}

問(3)の別解

別解として、場合の数を用いて求める方法もあります。

問(3)の別解例

$5$ 進法で表すと $3$ 桁になる数について、各位の数字を考えると

$\quad 5^{2}$ の位:$1$~$4$ の $4$ 通り

$\quad 5^{1}$ の位:$0$~$4$ の $5$ 通りずつ

$\quad 5^{0}$ の位:$0$~$4$ の $5$ 通りずつ

の場合がある。

したがって、積の法則より

\begin{align*} \quad 4 \cdot 5 \cdot 5 = 100 \ \text{(個)} \end{align*}

どちらで解いてもそれほど難易度は変わりません。n進法では、とにかく10進法で表すことを優先しましょう。

n進法では、記数法の底を自在に変換できることがマスターへの近道!

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さいごにもう一度まとめ

  • 各位の数字が満たす条件を意識しよう。
  • 桁数をもとに、求めたい自然数が取りうる範囲を考えよう。
  • 記数法の決定では、底を統一しよう。
  • 底を統一する場合、10進法で表そう。
  • 記数法の底を自由自在に変換できるようにしておこう。