整数の性質｜ｎ進法について

09/13/2023数学Ａ

ｎ進法を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

問

$(1) \quad 10$ 進数 $47$ を $2$ 進数と $5$ 進数でそれぞれ表わせ。

$(2) \quad 101_{(2)} \ , \ 12021_{(3)}$ をそれぞれ $10$ 進数で表わせ。

$(3) \quad n$ は $3$ 以上の整数とする。$10$ 進法で $(n+1)^{2}$ と表される数を $n$ 進法で表わせ。

問(1)の解答・解説

問(1)

$10$ 進数 $47$ を $2$ 進数と $5$ 進数でそれぞれ表わせ。

問(1)は、１０進数から２進数や５進数への変換で、基本的な問題の１つです。手順通りに割り算を繰り返します。

４７を２で割る割り算を繰り返し、商が０になったら終了します。また、余りを逆順に並べると、２進数が得られます。

また、４７を５進数に変換するときも同じ手順で行います。底となる５で割る割り算を繰り返します。

きちんと変換できたか不安なときは検算しましょう。変換後の２進数や５進数がもとの１０進数に戻るか検算すると、以下のようになります。

問(1)の検算

$101111_{(2)}$ を $10$ 進数に戻すと

\begin{align*} &\quad 1 \cdot 2^{5} + 0 \cdot 2^{4} + 1 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} \\[ 7pt ] &= 32 + 8 + 4 + 2 + 1 \\[ 7pt ] &= 47 \end{align*}

$142_{(5)}$ を $10$ 進数に戻すと

\begin{align*} &\quad 1 \cdot 5^{2} + 4 \cdot 5^{1} + 2 \cdot 5^{0} \\[ 7pt ] &= 25 + 20 + 2 \\[ 7pt ] &= 47 \end{align*}

ちゃんと１０進数である４７に戻りました。１０進数への戻し方も覚えておきましょう。

問(2)の解答・解説

問(2)

$101_{(2)} \ , \ 12021_{(3)}$ をそれぞれ $10$ 進数で表わせ。

問(2)は、２進数や３進数を１０進数へ変換する問題です。これも基本的な問題なので、しっかり解けるようにしておきましょう。

１０１₍₂₎は、各位の数字を上の位から順に抜き出して並べた（位取りした）配列を表します。１０進数に変換するには、２を用いて位取りしたときの式に戻します。

問(2)の解答例 1⃣

$101_{(2)}$ を $10$ 進数に戻すと

\begin{align*} &\quad 1 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} \\[ 7pt ] &= 4 + 1 \\[ 7pt ] &= 5 \\[ 7pt ] &\therefore \ 101_{(2)} = 5 \end{align*}

１０進数を２で位取りし、各位の数字を抜き出した。抜き出した結果が１０１₍₂₎

⇒ ２進数表示をもとに、位取りしたときの式（各位の数字を抜き出すための式）に戻して整理すると１０進数。

１２０２１₍₃₎も同じようにして１０進数に変換します。

問(2)の解答例 2⃣

$12021_{(3)}$ を $10$ 進数に戻すと

\begin{align*} &\quad 1 \cdot 3^{4} + 2 \cdot 3^{3} + 0 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3^{1} + 1 \cdot 3^{0} \\[ 7pt ] &= 81 + 54 + 6 + 1 \\[ 7pt ] &= 142 \\[ 10pt ] &\therefore \ 12021_{(3)} = 142 \end{align*}

１０進数を３で位取りし、各位の数字を抜き出した。抜き出した結果が１２０２１₍₃₎

⇒ ３進数表示をもとに、位取りしたときの式（各位の数字を抜き出すための式）に戻して整理すると１０進数。

問(3)の解答・解説

問(3)

$n$ は $3$ 以上の整数とする。$10$ 進法で $(n+1)^{2}$ と表される数を $n$ 進法で表わせ。

問(3)は、１０進数をｎ進数へ変換する問題です。具体的な数ではありませんが、このような抽象的な問題を解きこなせるようになりたいものです。

ｎ進数に変換するには、底となるｎで位取りすれば良いので、１０進数をｎの累乗を用いて表します。そのために与式を展開します。

問(3)の解答例

与式を展開すると

\begin{align*} \quad (n+1)^{2} = n^{2} + 2n + 1 \end{align*}

これを $n$ で位取りしたことが分かるようにすると

\begin{align*} \quad \text{(与式)} = 1 \cdot n^{2} + 2 \cdot n^{1} + 1 \cdot n^{0} \end{align*}

これは、$n$ が $3$ 以上の整数であることを満たす。

よって、与式を $n$ 進法で表すと

\begin{align*} \therefore \ (n+1)^{2} = 121_{(n)} \end{align*}

各位の数字には条件がありました。ｎ進法であれば、各位の数字はｎ－１以下でなければなりません。

ここでは、ｎは３以上の整数という条件なので、各項の係数は２以下の整数でなければなりません。

展開後の式を見ると、各項の係数は２以下（左から順に１，２，１）になっており、条件をしっかり満たしています。

Recommended books

整数の性質を扱った問題は、難関大なら必修でしたが、センター試験でも扱われるようになりました。

難しく感じる人もいるかもしれませんが、複雑な公式や図形を扱うことがないので、その気になれば得点源にできる単元です。単元別の問題集で集中的に取り組んでマスターしましょう。

これから紹介する教材で気になるものがあれば、ぜひ一読してみて下さい。気に入ったら最後まで徹底的にこなしましょう。

オススメその１

『２週間で完成！整数問題入試対策編』は、教科書レベルから始めて大学入試の実戦レベルまで、最大効率で習得できる問題集です。新課程の整数問題に対応しています。問題数が４７題なので、短期間でこなしたいなら候補に入れて良いでしょう。

【教科書編】
問題数１６題。新課程版教科書「整数の性質」の項目に沿って配置。
教科書編項目:約数と倍数/約数の個数と総和/最大公約数と最小公倍数/剰余による分類/ユークリッドの互除法とディオファントス方程式/ｐ進法/循環小数/合同式/部屋割り論法

【実戦問題のレベル別編】
初級編２０題、中級編５題、上級編６題。
難関大学の整数問題に十分対処できるようにすることを目標として作成。
できる限り数学１・数学Ａの範囲にとどめるように問題を選択。
ただし、二項定理・高次の多項式の因数分解・数列の問題あり。

数学１・Ａの範囲内にとどめるように配慮されているおかげで、数学１・Ａの学習直後から取り組めます。学習したてなら苦手意識がつく前なので、スムーズに取り組めるでしょう。

２週間で完成！整数問題入試対策編

created by Rinker

オススメその２

『教科書だけでは足りない大学入試攻略整数』では、入試の整数問題１０００題から選ばれた問題が収録されています。例題、類題、力試し問題と３ステップで進めていけるので、自分の学力に合わせて周回できます。解答例や解説は、高校までに学んだ知識だけで理解できるように配慮されているので、数学が苦手な人にも取り組みやすくなっています。

整数問題は、難関大入試では頻出で、しかも教科書の問題と入試とではそのレベルの差が激しい分野のひとつです。また、経験値がものをいう問題が多いことも確かです。そこで、ここ数十年の大学入試の整数問題約１０００題の中からぜひやっておきたい問題を例題、類題、力だめし問題として計８１題セレクトしました。

高校までに学んだ知識だけで理解できる解説、解答例を作成しています。

定石を身に付けつつ、入試を想定した問題を解いてみたいのなら候補に入れて良いでしょう。