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2次関数|2次関数のグラフとx軸との位置関係について

2次関数のグラフとx軸との関係について数学I

今回は2次関数のグラフと $x$ 軸との位置関係について学習しましょう。

今回の話を理解するには、2次方程式の解についての知識が必要です。

なお、記事の画像が見辛いときはクリックすると拡大できます。

参考 2次関数|2次方程式の解の判別について

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グラフとx軸との位置関係は3パターン

2次方程式の解のことやその判別の方法を学習しました。これらの知識を利用すると、グラフと $x$ 軸との位置関係を知ることができます。

グラフと $x$ 軸との位置関係は、グラフと $x$ 軸との交点の数で場合分けされます。

  • 交点が2個のとき
  • 交点が1個のとき
  • 交点が0個のとき

それぞれの場合になるには、どのような条件が必要なのかを理解しましょう。

2次関数の式と2次方程式との関係

2次関数の式と2次方程式との関係を考えてみましょう。

\begin{align*}
&y = a{x}^{2} +bx +c \qquad \text{2次関数} \\[ 5pt ]
&a{x}^{2} +bx +c = 0 \qquad \text{2次方程式}
\end{align*}

2次関数は、変数 $y$ が 変数 $x$ の2次式で表される式です。2つの変数 $x \ , \ y$ の関係を表すのが関数でした。

この2次関数の式において、$y=0$としたときに得られるのが、変数 $x$ についての2次方程式です。

つまり2次方程式は、2次関数の式から得られる式の1つということです。

2次方程式は、2次関数では $y=0$ のときに得られる式。

2次関数のグラフと2次方程式の解との関係

2次関数において $y=0$ のときの式が、2次方程式です。この2次方程式を解くと、解を得ることができます。

この解は2次関数とどのような関係があるのでしょうか?

2次方程式の解は、2次関数では $y=0$ のときの変数 $x$ の値です。この変数 $x$ の値は、2次関数のグラフで考えると、グラフ上、かつ$x$ 軸上にある点、つまりグラフと $x$ 軸との交点の $x$ 座標です。

2次関数・グラフ・2次方程式の関係
(2次方程式の解)
⇔ (2次関数では $y=0$ のときの変数 $x$ の値)
⇔ (グラフでは $x$ 軸との交点の $x$ 座標)

特に、解が実数解であれば、$y=0$ のときの変数 $x$ の値が存在するので、グラフと $x$ 軸は交点をもつことになります。

2次方程式の実数解が分かれば、$x$ 軸とどこで共有点をもつのかが分かります。また、実数解が分かればその個数も分かるので、共有点の個数も分かります。

グラフと $x$ 軸の交点のことを共有点と言う。2次方程式の実数解の個数は、共有点の個数に等しい。
2次方程式の実数解と共有点との関係
(実数解) = (共有点の $x$ 座標)
(実数解の個数) = (共有点の個数)

実数解の有無や個数は、判別式によって判別できます。実数解と共有点との関係から、共有点の有無や個数も判別式で判別できることが分かります。

たとえば、2次方程式の判別式 $D$ が $D \gt 0$であれば、2次方程式は異なる2つの実数解をもちます。

このことから、共有点の $x$ 座標は2つ得られるので、共有点は2個あることが分かります。

このように、判別式は、実数解の個数だけでなく、共有点の個数も教えてくれます。共有点の個数が分かれば、$x$ 軸に対するグラフの位置も分かるので、作図に利用できます。

2次方程式の実数解と共有点との関係

2次関数のグラフとx軸との位置関係

2次関数のグラフと $x$ 軸との位置関係は、判別式の値によって場合分けできます。2次方程式の実数解の個数が共有点の個数に等しいからです。

位置関係は凸の向きに関わらず3パターンです。式や言葉だけでなく、グラフとセットで覚えることが大切です。

グラフとx軸との位置関係

注意したいのは、2次方程式が重解をもつときです。グラフと $x$ 軸との位置関係は「接する」という言葉で表現します。

一覧表にすると以下のようになります。図表を活用して、2次関数・2次方程式・グラフの関係を把握しましょう。

2次関数・2次方程式・グラフの関係

実数解の個数と判別式との関係はもちろんですが、グラフと $x$ 軸の位置関係も併せて覚えることが大切です。

覚えるときは、判別式の値で場合分けして、それぞれの場合ごとに2次関数・2次方程式・グラフの関係を覚えよう。

次は問題を解いて理解度を確かめてみましょう。

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