図形と方程式｜平行四辺形の頂点の座標について

数学２

図形と方程式 直線上の点、平面上の点

平行四辺形の頂点の座標を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

問

\begin{align*} &\text{$3$ 点 $A(4 \ , \ 5) \ , \ B(6 \ , \ 7) \ , \ C(7 \ , \ 3)$ を頂点とする} \\[ 5pt ] &\text{平行四辺形の残りの頂点 $D$ の座標を求めよ。} \end{align*}

問の解答・解説

平行四辺形の名称がないので、頂点Ｄの座標は３通り考えられます。作図して確認しましょう。

問の平行四辺形の作図
問の作図

例題と同じ要領で解きます。点Ｄの座標を定義して、３通りの平行四辺形を場合分けして解いていきます。

問の解答例 1⃣

\begin{align*} &\quad A(4 \ , \ 5) \ , \ B(6 \ , \ 7) \ , \ C(7 \ , \ 3) \\[ 7pt ] &\text{残りの頂点 $D$ の座標を $(x \ , \ y)$ とする。} \\[ 5pt ] &\text{平行四辺形の頂点の順序は、次の $3$ つの場合がある。} \\[ 5pt ] &\quad (i) \ \text{平行四辺形 $ABCD$} \\[ 5pt ] &\quad (ii) \ \text{平行四辺形 $ABDC$} \\[ 5pt ] &\quad (iii) \ \text{平行四辺形 $ADBC$} \end{align*}

それぞれの平行四辺形において、点Ｄの座標を求めます。２本の対角線の中点が一致することを利用して、方程式を導きます。

まず、平行四辺形ＡＢＣＤの場合です。対角線は、２つの線分ＢＤ，ＡＣです。

問の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad A(4 \ , \ 5) \ , \ B(6 \ , \ 7) \ , \ C(7 \ , \ 3) \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &(i) \ \text{平行四辺形 $ABCD$ の場合} \\[ 5pt ] &\text{線分 $BD$ と線分 $AC$ の中点が一致するので、} \\[ 5pt ] &\quad \frac{x+6}{2}=\frac{4+7}{2} \\[ 7pt ] &\quad \frac{y+7}{2}=\frac{5+3}{2} \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad x=5 \\[ 7pt ] &\quad y=1 \end{align*}

次は、平行四辺形ABDCの場合です。対角線は、線分ADと線分BCです。

問の解答例 3⃣

\begin{align*} &\quad A(4 \ , \ 5) \ , \ B(6 \ , \ 7) \ , \ C(7 \ , \ 3) \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &(ii) \ \text{平行四辺形 $ABDC$ の場合} \\[ 5pt ] &\text{線分 $AD$ と線分 $BC$ の中点が一致するので、} \\[ 5pt ] &\quad \frac{x+4}{2}=\frac{6+7}{2} \\[ 7pt ] &\quad \frac{y+5}{2}=\frac{7+3}{2} \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad x=9 \\[ 7pt ] &\quad y=5 \end{align*}

さいごに、平行四辺形ＡＤＢＣの場合です。対角線は、２つの線分ＣＤ，ＡＢです。

問の解答例 4⃣

\begin{align*} &\quad A(4 \ , \ 5) \ , \ B(6 \ , \ 7) \ , \ C(7 \ , \ 3) \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &(iii) \ \text{平行四辺形 $ADBC$ の場合} \\[ 5pt ] &\text{線分 $CD$ と線分 $AB$ の中点が一致するので、} \\[ 5pt ] &\quad \frac{x+7}{2}=\frac{4+6}{2} \\[ 7pt ] &\quad \frac{y+3}{2}=\frac{5+7}{2} \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad x=3 \\[ 7pt ] &\quad y=9 \\[ 7pt ] &(i) \ , \ (ii) \ , \ (iii) \ \text{より、頂点 $D$ の座標は} \\[ 5pt ] &\quad (5 \ , \ 1) \ , \ (9 \ , \ 5) \ , \ (3 \ , \ 9) \end{align*}

残りの頂点の位置から対角線を把握し、その中点の座標を用いて方程式を導きます。方程式と言っても、１次方程式なので計算量は多くありません。

残りの頂点の位置を把握できれば、間違うことはないでしょう。図を上手に利用して、頂点の位置を把握しましょう。

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さいごにもう一度まとめ

  • 平行四辺形の名称の有無を確認しよう。
  • 図形の名称があれば、頂点の順序はただ１つに定まる。
  • 図形の名称がなければ、頂点の順序を場合分けしよう。
  • 平行四辺形の頂点を扱うときは、対角線の中点を利用しよう。
  • 平行四辺形の２本の対角線の中点は一致する。

数学２座標,平行四辺形,頂点

Posted by kiri