熱中症に気をつけよう! 数学の公式・定理集あります。物理のヒント集始めました。
スポンサーリンク

式と証明|部分分数への分解について

数学2 式と証明アイキャッチ02数学II

今回は部分分数への分解について学習しましょう。部分分数は、この後に学習する恒等式や数列の単元でも扱われます。特に、数列ではよく利用するので、しっかりマスターしておきましょう。

スポンサーリンク

部分分数

部分分数とは、1つの分数式から分解された、2つ以上の分数式のことです。ですから、部分分数への分解とは、1つの分数式を、それ以上、簡単にできない2つ以上の分数式の和として表すことです。

例えば、以下のような式への変形が、部分分数への分解です。

部分分数の分解の一例
\begin{align*}
&(1) \quad \frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \\[ 10pt ]
&(2) \quad \frac{2x-1}{x(x-1)} = \frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}
\end{align*}

例から分かるように、1つの分数式が複数の分数式に分解されています。このように部分分数に分解するためには、分母が因数分解されていることが条件です。

また、2つ以上の分数式の和として表すと言っても、例(1)のように、正の数と負の数の和、つまり分数式の差の場合もあるので注意しましょう。

1つの分数式を複数の分数式の和に分解するので、単項式から多項式へ変形することになります。項の数が増えてしまうのが欠点と言えるかもしれません。しかし、部分分数の分解を利用することで、計算がとても簡単になります。

分数式を部分分数に分解する

部分分数を扱った計算を例を挙げて確認してみましょう。

例題
\begin{align*}
&\text{次の計算をせよ。} \\[ 10pt ]
&(1) \quad \frac{1}{b-a} \biggl( \frac{1}{x+a} – \frac{1}{x+b} \biggr) \\[ 10pt ]
&(2) \quad \frac{1}{n(n+1)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} + \frac{1}{(n+2)(n+3)}
\end{align*}

例題(1)の計算例

例題(1)
\begin{align*}
&\text{次の計算をせよ。} \\[ 10pt ]
&(1) \quad \frac{1}{b-a} \biggl( \frac{1}{x+a} – \frac{1}{x+b} \biggr)
\end{align*}

カッコの中の計算を優先します。通分して1つの分数式にまとめます。

例題(1)の計算例
\begin{align*}
\frac{1}{b-a} \biggl( \frac{1}{x+a} – \frac{1}{x+b} \biggr) &= \frac{1}{b-a} \biggl\{ \frac{1 \times (x+b)}{(x+a)(x+b)} – \frac{1 \times (x+a)}{(x+b)(x+a)} \biggr\} \\[ 10pt ]
&= \frac{1}{b-a} \biggl\{ \frac{(x+b)-(x+a)}{(x+a)(x+b)} \biggr\} \\[ 10pt ]
&= \frac{1}{b-a} \cdot \frac{b-a}{(x+a)(x+b)} \\[ 10pt ]
&= \frac{1}{(x+a)(x+b)}
\end{align*}

例題(1)は、部分分数を1つの分数にまとめる問題です。部分分数に分解できるようになることが、この単元での目標なので、部分分数に分解するときは、右辺から左辺になるように変形します。

部分分数に分解する場合、ほとんどがこの例題の式の形になっています。ですから、この形の式が出てくれば、まずは公式に当てはめて変形してみましょう。なお、基本的な公式として覚えておくと良いでしょう。

部分分数の公式
\begin{align*}
&\quad \frac{1}{(x+a)(x+b)} = \frac{1}{b-a} \biggl( \frac{1}{x+a} – \frac{1}{x+b} \biggr) \\[ 10pt ]
&\text{ただし、$a \neq b$ のとき}
\end{align*}
数列では、この形の分数式が出てくる。覚えておこう。

例題(2)の計算例

例題(2)
\begin{align*}
&\text{次の計算をせよ。} \\[ 10pt ]
&(2) \quad \frac{1}{n(n+1)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} + \frac{1}{(n+2)(n+3)}
\end{align*}

例題(2)は、部分分数に分解する問題です。先ほどの例題(1)の結果を利用すると、簡単に分解できます。

例題(2)の計算例
\begin{align*}
&\frac{1}{n(n+1)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} + \frac{1}{(n+2)(n+3)} \\[ 10pt ]
= \ &\frac{1}{(n+1)-n} \biggl( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} \biggr) + \frac{1}{(n+2)-(n+1)} \biggl( \frac{1}{n+1} – \frac{1}{n+2} \biggr) + \frac{1}{(n+3)-(n+2)} \biggl( \frac{1}{n+2} – \frac{1}{n+3} \biggr) \\[ 10pt ]
= \ &\biggl( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} \biggr) + \biggl( \frac{1}{n+1} – \frac{1}{n+2} \biggr) + \biggl( \frac{1}{n+2} – \frac{1}{n+3} \biggr) \\[ 10pt ]
= \ &\frac{1}{n} – \frac{1}{n+3}
\end{align*}

部分分数を扱った計算では、分母が、n(n+1)のように、隣り合う2数の積であることが多いのが特徴です。このような分母であれば、一般に、小さい数を前の分数式に、大きい数を後ろの分数式にして分解します。

部分分数に分解すると、2番目の分数式以降、符号だけが異なる分数式の組ができます。結局、最初と最後の分数式だけが残ります。もちろん、通分しても計算できますが、分数式が多くなると、部分分数に分解した方が計算しやすいです。工夫することによって、計算を簡単にできる良い例です。なお、例題(2)のような部分分数は、数列の単元でよく用いられます。

知識は使いこなしてこそ。覚えることが目的ではない。

最後に2つの分数式を通分して、1つの分数式にまとめます。

例題(2)の計算例つづき
\begin{align*}
&\frac{1}{n(n+1)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} + \frac{1}{(n+2)(n+3)} \\[ 10pt ]
= \ &\quad \vdots \\[ 10pt ]
= \ &\frac{1}{n} – \frac{1}{n+3} \\[ 10pt ]
= \ &\frac{1 \times (n+3)}{n(n+3)} – \frac{1 \times n}{(n+3) \cdot n} \\[ 10pt ]
= \ &\frac{(n+3)-n}{n(n+3)} \\[ 10pt ]
= \ &\frac{3}{n(n+3)}
\end{align*}

次は、部分分数を用いる計算を実際に解いてみましょう。

スポンサーリンク
Amazon ノート・メモ帳ランキング
楽天市場 学習参考書ランキング
スポンサーリンク
スポンサーリンク
気になる教材があればコチラで探せます。
数学II
この記事が気に入ったら
いいね!しよう
最新情報をお届けします。
フォローする
ちょっとど忘れしたときの公式・定理集

数学で覚えるべき公式や定理は、一覧で眺めてみるとそれほど多くはありません。大切なことは覚えることではなく、「公式や定理をどのように使うか」です。

公式・定理集で確認しつつ、演習で積極的に使っていきましょう。

日々是鍛錬 ひびこれたんれん
タイトルとURLをコピーしました