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数学A|合同式を使って入試問題を解いてみよう

入試問題にチャレンジ!数学A

以前の記事で、合同式を紹介しました。その合同式を使って、国立大学の2次試験で実際に出題された問題を解いてみましょう。

2次試験の問題と言われると、記述形式なのでとても難しそうな感じがします。しかし、すべてが難易度の高い問題というわけではありません。もちろん、易しすぎるわけでもないので、油断は禁物です。

典型的な問題も出題されるので、そのような問題を確実に解けるように演習をこなしておくことが大切です。

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過去問を解いてみよう

まずは力試しに自力で解いてみると良いでしょう。

問題
\begin{align*}
&\quad \text{以下の問いに答えよ。ただし、$(1)$ については、結論のみを書けばよい。} \\[ 5pt ]
&\text{$(1) \ n$ を正の整数とし、$3^{\scriptsize{n}}$ を $10$ で割った余りを $a_{\scriptsize{n}}$ とする。$a_{\scriptsize{n}}$ を求めよ。} \\[ 5pt ]
&\text{$(2) \ n$ を正の整数とし、$3^{\scriptsize{n}}$ を $4$ で割った余りを $b_{\scriptsize{n}}$ とする。$b_{\scriptsize{n}}$ を求めよ。} \\[ 5pt ]
&\text{$(3)$ 数列 $\{ x_{\scriptsize{n}} \}$ を次のように定める。} \\[ 5pt ]
&\qquad x_{\scriptsize{1}}=1 \ , \ x_{\scriptsize{n+1}}=3^{x_{\scriptsize{n}}} \quad (n=1,2,3,\cdots) \\[ 5pt ]
&\quad \text{$x_{\scriptsize{10}}$ を $10$ で割った余りを求めよ。}
\end{align*}

さいごに数列が出てきていますが、数列の知識がなくても解くことができます。これでも一応、数学Aのジャンルに分類される問題です。

問題(1)の解答・解説

問題(1)
\begin{equation*}
\text{$(1) \ n$ を正の整数とし、$3^{\scriptsize{n}}$ を $10$ で割った余りを $a_{\scriptsize{n}}$ とする。$a_{\scriptsize{n}}$ を求めよ。}
\end{equation*}

問題(1)は、$3^{\scriptsize{n}}$ を $10$ で割ったときの余り $a_{\scriptsize{n}}$ を考える問題です。与式だけだと抽象的な印象のままなので、問題の意図を掴みにくいです。最初は手探りになるのは当たり前なので、方針を決めるためにも具体化してみましょう。

具体化して情報を整理しよう

実際に $n=1,2,3,\cdots$ を代入して余りを求めます。$n$ に代入する値が多ければ多いほど、多くの情報を得ることができます。中途半端に代入せず、何かしらの規則性が見つかるまで求めましょう。

実際に $10$ で割って、余り $a_{n}$ を求めた結果は以下のようになります。

具体化して規則性を探す
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}
n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \cdots \\
\hline
3^{\scriptsize{n}} & 3 & 9 & 27 & 81 & 243 & 729 & \cdots \\
\hline
a_{\scriptsize{n}} & 3 & 9 & 7 & 1 & 3 & 9 & \cdots
\end{array}

指数で分類しよう

余り $a_{\scriptsize{n}}$ の結果から、4つの数 $3,9,7,1$ を1セットにして繰り返すことが分かります。ですから、$3^{n}$ を $10$ で割ったときの余り $a_{\scriptsize{n}}$ は $3,9,7,1$ のいずれかになることが分かります。

センター試験などでも数列の問題で、余りが繰り返すことを利用する問題が出題されている。扱い方に慣れておこう。

余り $a_{\scriptsize{n}}$ が4つの数を1セットにして繰り返すことから、$n$ の値が分かれば余り $a_{\scriptsize{n}}$ も分かります。この関係を利用して、余り $a_{\scriptsize{n}}$ を $n$ で分類します。

余り $a_{\scriptsize{n}}$ を分類する
\begin{align*}
&\text{余り $a_{\scriptsize{n}}$ が $3$ のとき} \\[ 5pt ]
&\quad n=1,5,9,\cdots \\[ 5pt ]
&\Rightarrow \text{$n$ を $4$ で割ると余りが $1$ になる} \\[ 10pt ]
&\text{余り $a_{\scriptsize{n}}$ が $9$ のとき} \\[ 5pt ]
&\quad n=2,6,10,\cdots \\[ 5pt ]
&\Rightarrow \text{$n$ を $4$ で割ると余りが $2$ になる} \\[ 10pt ]
&\text{余り $a_{\scriptsize{n}}$ が $7$ のとき} \\[ 5pt ]
&\quad n=3,7,11,\cdots \\[ 5pt ]
&\Rightarrow \text{$n$ を $4$ で割ると余りが $3$ になる} \\[ 10pt ]
&\text{余り $a_{\scriptsize{n}}$ が $1$ のとき} \\[ 5pt ]
&\quad n=4,8,12,\cdots \\[ 5pt ]
&\Rightarrow \text{$n$ を $4$ で割ると余りが $0$ になる}
\end{align*}

以上のことを踏まえて答案を作成します。なお、問題(1)では結論だけを示せば良いので、分類したことが分かるように記述します。

問題(1)の解答例
\begin{equation*}
a_{n}
=
\begin{cases}
3 & (\text{$n$ を $4$ で割った余りが $1$ になるとき}) \\[ 5pt ]
9 & (\text{$n$ を $4$ で割った余りが $2$ になるとき}) \\[ 5pt ]
7 & (\text{$n$ を $4$ で割った余りが $3$ になるとき}) \\[ 5pt ]
1 & (\text{$n$ を $4$ で割った余りが $0$ になるとき})
\end{cases}
\end{equation*}

問題(1)は結論だけで良いので、何とか解答することができるでしょう。ただ、問題(2)からは過程を省略できないので、筋道立てて説明できる記述力が必要になります。

問題(2)の解答・解説

問題(2)
\begin{equation*}
\text{$(2) \ n$ を正の整数とし、$3^{\scriptsize{n}}$ を $4$ で割った余りを $b_{\scriptsize{n}}$ とする。$b_{\scriptsize{n}}$ を求めよ。}
\end{equation*}

問題(2)は、$3^{\scriptsize{n}}$ を $4$ で割ったときの余り $b_{\scriptsize{n}}$ を考える問題です。問題(1)と同じように、何かしらの規則性が見つかるまで具体化してみましょう。

具体化して情報を整理しよう

実際に余り $b_{\scriptsize{n}}$ を求めると以下のようになります。情報は多い方が良いので、できる限り計算しましょう。

具体化して規則性を探す
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}
n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \cdots \\
\hline
3^{\scriptsize{n}} & 3 & 9 & 27 & 81 & 243 & 729 & \cdots \\
\hline
b_{\scriptsize{n}} & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & \cdots
\end{array}

指数で分類しよう

余り $b_{\scriptsize{n}}$ の結果から、2つの数 $3,1$ を1セットにして繰り返すことが分かります。ですから、$3^{n}$ を $4$ で割ったときの余り $b_{\scriptsize{n}}$ は $3,1$ のいずれかになることが分かります。

余り $b_{\scriptsize{n}}$ が2つの数を1セットにして繰り返すことから、$n$ の値が奇数か偶数のどちらであるのかが分かれば、余り $b_{\scriptsize{n}}$ も分かります。問題(1)と同じようにそのまま分類したいところですが、このままだと経験的に分かったことを記述するだけなので、根拠としては弱いです。

ですから、$n$ が奇数であれば余りが必ず $3$ となり、$n$ が偶数であれば余りが必ず $1$ となることを示す必要があります。ここで合同式の出番です。

指数が偶数と奇数の場合に分けて、それぞれで余り $b_{\scriptsize{n}}$ を合同式の性質を利用して求めます。解答例は以下のようになります。

問題(2)の解答例
\begin{align*}
&\text{$n=1,2$ のとき、} \\[ 5pt ]
&\quad 3^{\scriptsize{1}} \equiv 3 \pmod 4 \quad \text{…①} \\[ 5pt ]
&\quad 3^{\scriptsize{2}} \equiv 1 \pmod 4 \quad \text{…②} \\[ 5pt ]
&\text{$m$ を $0$ 以上の整数とすると、②と合同式の性質より、} \\[ 5pt ]
&\quad ( \ 3^{\scriptsize{2}} \ )^{m} \equiv 1^{m} \pmod 4 \\[ 5pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad 3^{\scriptsize{2m}} \equiv 1 \pmod 4 \quad \text{…③} \\[ 5pt ]
&\text{また、①,③と合同式の性質より、} \\[ 5pt ]
&\quad 3^{\scriptsize{2m}} \cdot 3^{1} \equiv 1 \cdot 3 \pmod 4 \\[ 5pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad 3^{\scriptsize{2m+1}} \ \equiv 3 \pmod 4 \quad \text{…④} \\[ 5pt ]
&\text{したがって、③,④より} \\[ 5pt ]
&\quad b_{n}
=
\begin{cases}
3 & (\text{$n$ が奇数のとき}) \\[ 5pt ]
1 & (\text{$n$ が偶数のとき})
\end{cases}
\end{align*}

ちなみに、問題(2)で利用した合同式の性質は以下のようになります。主に、合同式の性質②(3,4)を利用しています。

合同式のまとめ

  1. 合同式
    $a-b$ が $m$ の倍数であるとき、$a \ , \ b$ は $m$ を法として合同であるといい、$a \equiv b \pmod m$ と式で表す。このような式を合同式という。
  2. 合同式の性質①
    1. 反射律 $a \equiv a \pmod m$
    2. 対称律 $a \equiv b \pmod m$ のとき、$b \equiv a \pmod m$
    3. 推移律 $a \equiv b \pmod m \ , \ b \equiv c \pmod m$ のとき、
      $a \equiv c \pmod m$ または $a\equiv b \equiv c \pmod m$
  3. 合同式の性質② $a \equiv b \pmod m \ , \ c \equiv d \pmod m$ のとき、次のことが成り立つ。
    1. $a+c \equiv b+d \pmod m$
    2. $a-c \equiv b-d \pmod m$
    3. $ac \equiv bd \pmod m$
    4. 自然数(0以上の整数も可) $n$ に対し $a^n \equiv b^n \pmod m$

参考 数学A|整数の問題で合同式を使ってみよう

合同式以外の解き方だと数学的帰納法などで解けそうですが、合同式の方が簡潔に解答することができます。

問題(3)の解答・解説

問題(3)
\begin{align*}
&\text{$(3)$ 数列 $\{ x_{\scriptsize{n}} \}$ を次のように定める。} \\[ 5pt ]
&\qquad x_{\scriptsize{1}}=1 \ , \ x_{\scriptsize{n+1}}=3^{x_{\scriptsize{n}}} \quad (n=1,2,3,\cdots) \\[ 5pt ]
&\quad \text{$x_{\scriptsize{10}}$ を $10$ で割った余りを求めよ。}
\end{align*}

最後の問題(3)は、$x_{\scriptsize{10}}$ を $10$ で割った余りを求める問題です。数列の漸化式が与えられていますが、一般項を求めたり、数列の和を求めたりするわけではないので、数列の知識がなくても解ける問題です。それよりもむしろ、問題(1),(2)の結果を活用して解くことを考えなければなりません。

具体化して情報を整理しよう

問題(1),(2)と同じように、何かしらの規則性が見つかるまで具体化してみましょう。$x_{\scriptsize{2}},x_{\scriptsize{3}},\cdots$ については、与式に $n=1,2,\cdots$ を代入して求めます。

具体化して規則性を探す
\begin{align*}
&\quad x_{\scriptsize{1}}=1 \\[ 10pt ]
&n=1,2,3,\cdots \ \text{を与式に代入すると、} \\[ 5pt ]
&n=1 \ \text{のとき} \\[ 5pt ]
&\quad x_{\scriptsize{2}}=3^{x_{\scriptsize{1}}}=3^{\scriptsize{1}}=3 \\[ 10pt ]
&n=2 \ \text{のとき} \\[ 5pt ]
&\quad x_{\scriptsize{3}}=3^{x_{\scriptsize{2}}}=3^{3^{\scriptsize{1}}}=27 \\[ 10pt ]
&n=3 \ \text{のとき} \\[ 5pt ]
&\quad x_{\scriptsize{4}}=3^{x_{\scriptsize{3}}}=3^{3^{\scriptsize{3}}}=3^{\scriptsize{27}} \\[ 10pt ]
&n=4 \ \text{のとき} \\[ 5pt ]
&\quad x_{\scriptsize{5}}=3^{x_{\scriptsize{4}}}=3^{3^{\scriptsize{27}}} \\[ 10pt ]
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&n=9 \ \text{のとき} \\[ 5pt ]
&\quad x_{\scriptsize{10}}=3^{x_{\scriptsize{9}}}
\end{align*}

これを表にまとめると以下のようになります。

具体化したものを整理する
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}
n && 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 9 \\
\hline
x_{\scriptsize{n+1}} & x_{\scriptsize{1}} & x_{\scriptsize{2}} & x_{\scriptsize{3}} & x_{\scriptsize{4}} & x_{\scriptsize{5}} & \cdots & x_{\scriptsize{10}} \\
\hline
3^{x_{\scriptsize{n}}} & 1 & 3^{\scriptsize{1}} & 3^{3^{\scriptsize{1}}} & 3^{3^{\scriptsize{3}}} & 3^{3^{\scriptsize{27}}} & \cdots & 3^{x_{\scriptsize{9}}}
\end{array}

このままだと $n$ の値と $x$ の添え字が揃っていないので、対応するように整理し直します。

$n$ の値と $x$ の添え字を対応させる
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}
n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \cdots & 10 \\
\hline
x_{\scriptsize{n}} & x_{\scriptsize{1}} & x_{\scriptsize{2}} & x_{\scriptsize{3}} & x_{\scriptsize{4}} & x_{\scriptsize{5}} & \cdots & x_{\scriptsize{10}} \\
\hline
3^{x_{\scriptsize{n-1}}} & 1 & 3^{\scriptsize{1}} & 3^{3^{\scriptsize{1}}} & 3^{3^{\scriptsize{3}}} & 3^{3^{\scriptsize{27}}} & \cdots & 3^{x_{\scriptsize{9}}}
\end{array}

$x_{\scriptsize{1}}=1$ より $x_{\scriptsize{1}}$ は奇数です。また、$x_{\scriptsize{2}} \ , \ x_{\scriptsize{3}} \ , \ \cdots$ も3の累乗で表されるので、すべて奇数になることが分かります(表3行目)。このことから、$x_{\scriptsize{n}}$ を $10$ で割った余りは、問題(1)より $3,9,7,1$ のいずれかになるだろうと予想できます。しかし、4つの数のどれになるかまでは特定はできません。

指数がどんな数になるのか調べよう

$x_{\scriptsize{n}}$ の値だけでなく、指数にも目を向けてみましょう。$n \geqq 2$ のとき、各数やその指数に $3$ の累乗が現れます。ですから、$3$ の累乗に注目します。なお、問題(1),(2)を利用するために、$3^{0}$ はここでは考えません。

$3$ の累乗に注目すると、以下のことが分かります。

  • $x_{\scriptsize{n}}$ そのものが $3$ の累乗で表されるのは $x_{\scriptsize{2}}$ からで、これらが次の数の指数になる。
  • 指数が $3$ の累乗で表されるのは $x_{\scriptsize{3}}$ の指数から。

このことから $n \geqq 3$ のとき、指数が $3$ の累乗で表されるので、問題(1),(2)の結果を利用して、指数がどんな数になるのか調べることができそうです。

3の累乗に注目する
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}
n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \cdots & 10 \\
\hline
x_{\scriptsize{n}} & x_{\scriptsize{1}} & x_{\scriptsize{2}} & x_{\scriptsize{3}} & x_{\scriptsize{4}} & x_{\scriptsize{5}} & \cdots & x_{\scriptsize{10}} \\
\hline
3^{x_{\scriptsize{n-1}}} & 1 & 3^{\scriptsize{1}} & 3^{3^{\scriptsize{1}}} & 3^{3^{\scriptsize{3}}} & 3^{3^{\scriptsize{27}}} & \cdots & 3^{x_{\scriptsize{9}}}
\end{array}

$x_{\scriptsize{2}} \ , \ x_{\scriptsize{3}} \ , \ \cdots$ は、$3$ の累乗 $3^{\scriptsize{1}} \ , \ 3^{\scriptsize{3}} \ , \ \cdots$ で表されます。そして、その指数は、1乗、3乗…、であり、すべて奇数です。

ここで、問題(2)において、指数が奇数になる $3$ の累乗を $4$ で割った余りは $3$ となることがすでに分かっています。

このことから、$x_{\scriptsize{2}} \ , \ x_{\scriptsize{3}} \ , \ \cdots$ は、すべて指数が奇数である3の累乗となるので、これらを $4$ で割った余りは必ず $3$ となることが分かります。このような数が、次の数の指数になります。したがって、$x_{\scriptsize{3}} \ , \ x_{\scriptsize{4}} \ , \ \cdots$ の指数は、すべて $4$ で割った余りが必ず $3$ となる数になります。

各数について分かったこと
$x_{\scriptsize{2}} \ , \ x_{\scriptsize{3}} \ , \ \cdots$
= どの数も指数が奇数である $3$ の累乗
= どの数も $4$ で割った余りは $3$ となる
= これらは次の数の指数になる
= $x_{\scriptsize{3}}$ 以降の指数は、すべて $4$ で割った余りは $3$ となる

これで $x_{\scriptsize{3}}$ 以降の指数がどんな数になるのかを知ることができました。$x_{\scriptsize{10}}$ は $x_{\scriptsize{3}}$ 以降の数なので、その指数はもちろん $4$ で割った余りが $3$ になる数です。ですから、問題(1)の結果を参考にすると、$10$ で割った余りが分かります。解答例は以下のようになります。

問題(3)の解答例
\begin{align*}
&\text{与えられた条件より、$x_{\scriptsize{n}}$ はすべて奇数である。} \\[ 5pt ]
&\text{よって、$n \geqq 2$ のときは、(2)の結果より、$x_{\scriptsize{n}}$ は $4$ で割ると $3$ 余る数である。} \\[ 5pt ]
&\text{したがって、$n \geqq 3$ のとき、(1)の結果より、$x_{\scriptsize{n}}$ は $10$ で割ると $7$ 余る数である。} \\[ 5pt ]
&\text{$\therefore \ x_{\scriptsize{10}}$ を $10$ で割った余りは $7$ である。} \\[ 5pt ]
\end{align*}

指数が累乗で表されるせいで分かりにくくなっていますが、問題(1),(2)を意識しながら解くことが大切です。

問題について

問題(1),(2)については、具体例を挙げることで、結論を予想することができます。特に、問題(2)では、その予想を示すために、合同式を利用しました。

また、問題(3)では、具体例を挙げることはもちろんですが、問題(1),(2)がどのような意味でヒントになっているのかを見抜くことがポイントです。大問形式の問題では、それまでに解いた問題が布石になっていることがほとんどです。もし、手が止まってしまったら、これまでに解いた問題を振り返ってみると良いでしょう。その際には「出題者が自分に何をさせたいのか」という視点に立って問題を眺めると、きっかけを得られるかもしれません。

実は、この問題は、東京大学の2次試験に出題された問題(2016年・文科)です。予備校などの評価では、難易度は標準レベルのようです。

参考 東京大学のサイトでは平成28~30年(2016~2018年)まで閲覧できます。
東京大学:過去問題

東京大学のサイトでは過去問題が掲載されていますが、解答や解説などは一切公表されていません。上述した解答例はあくまでも一例なのでご了承下さい。なお、模範解答は赤本や青本などで確認できます。

東京大学(理科・2019)

東京大学(文科・2019)

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整数の合同を最初に研究したのはガウスだそうです。研究内容は、1801年に出版されたガウスの『Disquisitiones Arithmeticae (整数論)』に収録されています。

整数の合同だけでなく、奥の深い整数。興味のある方は読んでみてはいかがでしょうか。

これで整数問題は怖いものなしです。

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日々是鍛錬 ひびこれたんれん
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