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積分法|区分求積法を扱った入試問題を解いてみよう

入試問題にチャレンジ! 数学III

以前の記事で、区分求積法について紹介しました。今回は、区分求積法を扱った入試問題を紹介します。

入試問題ということもあって、やはり一筋縄ではいきません。すぐには解けなくて解答を見たくなりますが、そこをグッと堪え、じっくり時間を掛けて解いてみましょう。

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過去問を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

問題
\begin{align*}
&\text{次の極限} \\[ 5pt ]
&\quad \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{2n} (-1)^{\scriptsize{k}} \ \biggl( \frac{k}{2n} \biggr)^{\scriptsize{100}} \\[ 10pt ]
&\text{を求めよ。}
\end{align*}

問題の解答・解説

極限(リミット)、和(シグマ)、$k/n$ の3つが揃っていれば、区分求積法と定積分の関係を利用できそうだと予想できます。

区分求積法と定積分の関係
\begin{align*}
&\quad \int_{a}^{b} {f \left( x \right) dx} = \lim_{n \to \infty}{\frac{b-a}{n}} \sum_{k=1}^{\scriptsize{n}}{f \left( a + \frac{b-a}{n} k \right)} \\[ 10pt ]
&\text{特に、$a=0 \ , \ b=1$ のとき、} \\[ 5pt ]
&\quad \int_{0}^{1} {f \left( x \right) dx} = \lim_{n \to \infty} {\frac{1}{n}} \sum_{k=1}^{\scriptsize{n}} {f \left(\frac{k}{n} \right)}
\end{align*}

さっそく利用したいところですが、まずは与式をよく観察しましょう。

和の変数や累乗に注目しよう

与式
\begin{equation*}
\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{2n} (-1)^{\scriptsize{k}} \ \biggl( \frac{k}{2n} \biggr)^{\scriptsize{100}}
\end{equation*}

与式を見ると、和の変数が $k=1 \ , \ 2 \ , \cdots , \ 2n$となっています。$n$ までではないことに注意しましょう。

また、 $(-1)$ の累乗 $(-1)^{\scriptsize{k}}$ があります。$k$ の値によって、$-1$ と $1$ の値を交互にとる累乗です。

$(-1)$ の累乗 $(-1)^{\scriptsize{k}}$ をそのままにしておくと、そのときの $k$ の値によって累乗の値が変わってしまい、扱いづらいです。ですから、$-1$ の値だけの場合と $1$ の値だけの場合に分けます。

$k$ の値が偶数であれば $1$奇数であれば $-1$ となります。$k$ は $1$ から $2n$ までの値を取るので、偶数と奇数はそれぞれ $n$ 個ずつに分けることができます。

$2n$ 個のものを $n$ 個ずつに分ける処理は、数列でもよく扱われる。覚えておこう。

$k$ を偶数と奇数に分けるために、新しい変数(ここでは $l$ )を用いて場合分けします。

$2n$ 個の自然数を偶数と奇数に分ける
\begin{align*}
&\text{$k=1 \ , \ 2 \ , \cdots , \ 2n$ のとき、$l=1 \ , \ 2 \ , \cdots , \ n$ とすると、} \\[ 5pt ]
&\quad k=
\begin{cases}
2l \\
2l-1
\end{cases}
\end{align*}

これを利用して、与式を変形します。変数が $k$ から $l$ へ変わるので注意しましょう。

問題の解答例①
\begin{align*}
&\sum_{k=1}^{2n} (-1)^{\scriptsize{k}} \ \biggl( \frac{k}{2n} \biggr)^{\scriptsize{100}} \\[ 10pt ]
= \ &\sum_{l=1}^{n} \biggl\{ (-1)^{\scriptsize{2l}} \ \biggl( \frac{2l}{2n} \biggr)^{\scriptsize{100}} + (-1)^{\scriptsize{2l-1}} \ \biggl( \frac{2l-1}{2n} \biggr)^{\scriptsize{100}} \ \biggr\}
\end{align*}

偶数番目の項と奇数番目の項を分けて記述することができました。ここで、$(-1)$ の累乗について、指数がそれぞれ偶数乗 $2l$ と奇数乗 $2l-1$ になっていることから、$(-1)$ の累乗は以下のように処理できます。

偶数乗と奇数乗を利用して累乗を処理
\begin{align*}
&(-1)^{\scriptsize{2l}} = 1 \\[ 5pt ]
&(-1)^{\scriptsize{2l-1}} = -1
\end{align*}

これで $(-1)$ の累乗を定数にすることができました。解答例のつづきは以下のようになります。

問題の解答例②
\begin{align*}
&\sum_{k=1}^{2n} (-1)^{\scriptsize{k}} \ \biggl( \frac{k}{2n} \biggr)^{\scriptsize{100}} \\[ 10pt ]
= \ &\sum_{l=1}^{n} \biggl\{ (-1)^{\scriptsize{2l}} \ \biggl( \frac{2l}{2n} \biggr)^{\scriptsize{100}} + (-1)^{\scriptsize{2l-1}} \ \biggl( \frac{2l-1}{2n} \biggr)^{\scriptsize{100}} \ \biggr\} \\[ 10pt ]
= \ &\sum_{l=1}^{n} \biggl\{ \biggl( \frac{2l}{2n} \biggr)^{\scriptsize{100}} \ – \biggl( \frac{2l-1}{2n} \biggr)^{\scriptsize{100}} \ \biggr\} \\[ 10pt ]
= \ &\sum_{l=1}^{n} \frac{(2l)^{\scriptsize{100}} \ – (2l-1)^{\scriptsize{100}}}{(2n)^{\scriptsize{100}}}
\end{align*}

何とか $(-1)$ の累乗を処理しましたが、このままでは定積分に置き換えることができそうにありません。ですから、もう少し分子に手を加えます。

二項式の累乗に注目しよう

分子の2項目は二項式の累乗です。これが問題です。

2つの項の和の問題点
\begin{align*}
&\text{2つの項の和だと、たとえば} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{1}{2n} \bigl( 2k-1 \bigr) = \frac{k}{n} – \frac{1}{2n} \\[ 5pt ]
&\text{となってしまい、$1/2n$ が邪魔になる。}
\end{align*}

これを処理しつつ、1項目も処理できないかを考えます。式の展開であれば、2乗や3乗の展開公式がありますが、100乗の展開なので二項定理を利用します。

分子の2項目を二項定理で処理
\begin{align*}
&(2l-1)^{\scriptsize{100}} \\[ 5pt ]
= \ &(-1+2l)^{\scriptsize{100}} \\[ 5pt ]
= \ &{}_{100} \mathrm{ C }_{0} (-1)^{\scriptsize{100}} + {}_{100} \mathrm{ C }_{1} (-1)^{\scriptsize{99}} \ (2l) + {}_{100} \mathrm{ C }_{2} (-1)^{\scriptsize{98}} \ (2l)^{\scriptsize{2}} + \\[ 5pt ]
&\quad \cdots + {}_{100} \mathrm{ C }_{99} \ (-1) (2l)^{\scriptsize{99}} + {}_{100} \mathrm{ C }_{100} \ (2l)^{\scriptsize{100}} \\[ 10pt ]
= \ &{}_{100} \mathrm{ C }_{0} (-1)^{\scriptsize{100}} + {}_{100} \mathrm{ C }_{1} (-1)^{\scriptsize{99}} \ (2l) + {}_{100} \mathrm{ C }_{2} (-1)^{\scriptsize{98}} \ (2l)^{\scriptsize{2}} + \\[ 5pt ]
&\quad \cdots + 100 \cdot (-1) (2l)^{\scriptsize{99}} + 1 \cdot (2l)^{\scriptsize{100}} \\[ 10pt ]
= \ &{}_{100} \mathrm{ C }_{0} (-1)^{\scriptsize{100}} + {}_{100} \mathrm{ C }_{1} (-1)^{\scriptsize{99}} \ (2l) + {}_{100} \mathrm{ C }_{2} (-1)^{\scriptsize{98}} \ (2l)^{\scriptsize{2}} + \\[ 5pt ]
&\quad \cdots -100 \cdot (2l)^{\scriptsize{99}} + (2l)^{\scriptsize{100}}
\end{align*}

ここで、$1/n$ や $k/n$ をつくることを考えると、$2l$ の $100$ 乗よりも $99$ 乗の方が必要です。二項定理による展開式において、$2l$ の $100$ 乗と $99$ 乗の2つ以外の指数は不要なので、シグマを用いてまとめてしまいます。ここで、新たな変数 $p$ を用いたので注意しましょう。

分子の2項目を二項定理で処理つづき
\begin{align*}
&(2l-1)^{\scriptsize{100}} \\[ 5pt ]
= \ &(-1+2l)^{\scriptsize{100}} \\[ 5pt ]
= \ &\quad \vdots \\[ 5pt ]
= \ &{}_{100} \mathrm{ C }_{0} (-1)^{\scriptsize{100}} + {}_{100} \mathrm{ C }_{1} (-1)^{\scriptsize{99}} \ (2l) + {}_{100} \mathrm{ C }_{2} (-1)^{\scriptsize{98}} \ (2l)^{\scriptsize{2}} + \\[ 5pt ]
&\quad \cdots -100 \cdot (2l)^{\scriptsize{99}} + (2l)^{\scriptsize{100}} \\[ 5pt ]
= \ &\sum_{p=0}^{98} {}_{100} \mathrm{ C }_{p} \ (-1)^{\scriptsize{100-p}} \ (2l)^{\scriptsize{p}} -100 \cdot (2l)^{\scriptsize{99}} + (2l)^{\scriptsize{100}}
\end{align*}

二項定理による展開式は規則性があるので、このような項の和であればシグマを用いて簡潔に記述することができます。

規則性のある多項式があれば、シグマを利用して記述しよう。

なお、二項定理を用いて展開したことによって、全体で見れば項が増えて扱いづらくなった印象があります。しかし、もとの2つの項の関係を考えると、和から積へと変わっています。

2つの項の和から積へ
\begin{align*}
&\text{2つの項の積だと、たとえば} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{1}{2n} \cdot 2k \cdot (\pm 1) = \pm \frac{k}{n} \\[ 5pt ]
&\text{となる。}
\end{align*}

二項定理による展開式を与式の分子に代入すると、解答例の続きは以下のようになります。

問題の解答例③
\begin{align*}
&\sum_{k=1}^{2n} (-1)^{\scriptsize{k}} \ \biggl( \frac{k}{2n} \biggr)^{\scriptsize{100}} \\[ 10pt ]
= \ &\quad \vdots \\[ 10pt ]
= \ &\sum_{l=1}^{n} \frac{(2l)^{\scriptsize{100}} \ – (2l-1)^{\scriptsize{100}}}{(2n)^{\scriptsize{100}}} \\[ 10pt ]
= \ &\sum_{l=1}^{n} \frac{1}{(2n)^{\scriptsize{100}}} \Biggl[ (2l)^{\scriptsize{100}} \ – \biggl\{ \sum_{p=0}^{98} {}_{100} \mathrm{ C }_{p} \ (-1)^{\scriptsize{100-p}} \ (2l)^{\scriptsize{p}} -100 \cdot (2l)^{\scriptsize{99}} + (2l)^{\scriptsize{100}} \biggr\} \Biggr] \\[ 10pt ]
= \ &\sum_{l=1}^{n} \frac{1}{(2n)^{\scriptsize{100}}} \biggl\{ 100 \cdot (2l)^{\scriptsize{99}} \ – \sum_{p=0}^{98} {}_{100} \mathrm{ C }_{p} \ (-1)^{\scriptsize{100-p}} \ (2l)^{\scriptsize{p}} \biggr\} \\[ 10pt ]
= \ &\sum_{l=1}^{n} \biggl\{ 100 \cdot \frac{(2l)^{\scriptsize{99}}}{(2n)^{\scriptsize{100}}} \ – \frac{1}{(2n)^{\scriptsize{100}}} \sum_{p=0}^{98} {}_{100} \mathrm{ C }_{p} \ (-1)^{\scriptsize{100-p}} \ (2l)^{\scriptsize{p}} \biggr\}
\end{align*}

次は、波括弧の中に注目して、1項目と2項目をそれぞれ変形します。1項目の変形はそれほど難しくありませんが、2項目は難しいので気を付けましょう。

波括弧の中の変形
\begin{align*}
&100 \cdot \cfrac{(2l)^{\scriptsize{99}}}{(2n)^{\scriptsize{100}}} \ – \cfrac{1}{(2n)^{\scriptsize{100}}} \sum_{p=0}^{98} {}_{100} \mathrm{ C }_{p} \ (-1)^{\scriptsize{100-p}} \ (2l)^{\scriptsize{p}} \\[ 10pt ]
= \ &100 \cdot \frac{1}{2n} \Bigl( \frac{2l}{2n} \Bigr)^{\scriptsize{99}} \ – \cfrac{1}{2^{\scriptsize{100}} \cdot n^{\scriptsize{100}}} \sum_{p=0}^{98} {}_{100} \mathrm{ C }_{p} \ (-1)^{\scriptsize{100-p}} \cdot 2^{\scriptsize{p}} \cdot l^{\scriptsize{p}} \\[ 10pt ]
= \ &\frac{50}{n} \Bigl( \frac{l}{n} \Bigr)^{\scriptsize{99}} \ – \sum_{p=0}^{98} {}_{100} \mathrm{ C }_{p} \ (-1)^{\scriptsize{100-p}} \cdot \cfrac{2^{\scriptsize{p}}}{2^{\scriptsize{100}}} \cdot \cfrac{l^{\scriptsize{p}}}{n^{\scriptsize{100}}} \\[ 10pt ]
= \ &\frac{50}{n} \Bigl( \frac{l}{n} \Bigr)^{\scriptsize{99}} \ – \sum_{p=0}^{98} {}_{100} \mathrm{ C }_{p} \ (-1)^{\scriptsize{100-p}} \cdot \cfrac{1}{2^{\scriptsize{100-p}}} \cdot \cfrac{l^{\scriptsize{p}}}{n^{\scriptsize{100-p}} \cdot n^{\scriptsize{p}}} \\[ 10pt ]
= \ &\frac{50}{n} \Bigl( \frac{l}{n} \Bigr)^{\scriptsize{99}} \ – \sum_{p=0}^{98} {}_{100} \mathrm{ C }_{p} \ (-1)^{\scriptsize{100-p}} \cdot \cfrac{1}{2^{\scriptsize{100-p}}} \cdot \cfrac{1}{n^{\scriptsize{100-p}}} \cdot \Bigl(\frac{l}{n} \Bigr)^{\scriptsize{p}}
\end{align*}

指数法則を上手に利用して変形します。これを与式の波括弧の中に代入します。

問題の解答例④
\begin{align*}
&\sum_{k=1}^{2n} (-1)^{\scriptsize{k}} \ \biggl( \frac{k}{2n} \biggr)^{\scriptsize{100}} \\[ 10pt ]
= \ &\quad \vdots \\[ 10pt ]
= \ &\sum_{l=1}^{n} \biggl\{ 100 \cdot \frac{(2l)^{\scriptsize{99}}}{(2n)^{\scriptsize{100}}} \ – \frac{1}{(2n)^{\scriptsize{100}}} \sum_{p=0}^{98} {}_{100} \mathrm{ C }_{p} \ (-1)^{\scriptsize{100-p}} \ (2l)^{\scriptsize{p}} \biggr\} \\[ 10pt ]
= \ &\sum_{l=1}^{n} \biggl\{ \frac{50}{n} \Bigl( \frac{l}{n} \Bigr)^{\scriptsize{99}} \ – \sum_{p=0}^{98} {}_{100} \mathrm{ C }_{p} \ (-1)^{\scriptsize{100-p}} \cdot \cfrac{1}{2^{\scriptsize{100-p}}} \cdot \cfrac{1}{n^{\scriptsize{100-p}}} \cdot \Bigl(\frac{l}{n} \Bigr)^{\scriptsize{p}} \biggr\} \\[ 10pt ]
= \ &\sum_{l=1}^{n} \frac{50}{n} \Bigl( \frac{l}{n} \Bigr)^{\scriptsize{99}} \ – \sum_{l=1}^{n} \biggl\{ \sum_{p=0}^{98} {}_{100} \mathrm{ C }_{p} \ (-1)^{\scriptsize{100-p}} \cdot \cfrac{1}{2^{\scriptsize{100-p}}} \cdot \cfrac{1}{n^{\scriptsize{100-p}}} \cdot \Bigl(\frac{l}{n} \Bigr)^{\scriptsize{p}} \biggr\} \\[ 10pt ]
= \ &\frac{50}{n} \sum_{l=1}^{n} \Bigl( \frac{l}{n} \Bigr)^{\scriptsize{99}} \ – \sum_{p=0}^{98} {}_{100} \mathrm{ C }_{p} \ (-1)^{\scriptsize{100-p}} \cdot \cfrac{1}{2^{\scriptsize{100-p}}} \cdot \cfrac{1}{n^{\scriptsize{100-p}}} \cdot \sum_{l=1}^{n} \Bigl(\frac{l}{n} \Bigr)^{\scriptsize{p}} \\[ 10pt ]
= \ &\frac{50}{n} \sum_{l=1}^{n} \Bigl( \frac{i}{n} \Bigr)^{\scriptsize{99}} \ – \sum_{p=0}^{98} {}_{100} \mathrm{ C }_{p} \ (-1)^{\scriptsize{100-p}} \cdot \cfrac{1}{2^{\scriptsize{100-p}}} \cdot \cfrac{1}{n^{\scriptsize{99-p}}} \cdot \frac{1}{n} \sum_{l=1}^{n} \Bigl(\frac{l}{n} \Bigr)^{\scriptsize{p}}
\end{align*}

だいぶ掛かってしまいましたが、何とか定積分に置き換えることができそうな形ができました。ここに至るまでの式変形(特に波括弧の中の2項目)は、かなり複雑になります。

各項の極限値を調べよう

極限を取って値を求めますが、このままで極限値が得られるのか調べてみます。$n$ を含む部分に注目します。

各項の極限値を調べる
\begin{align*}
&\text{$n \to \infty$ のとき、} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{50}{n} \sum_{l=1}^{n} \Bigl( \frac{l}{n} \Bigr)^{\scriptsize{99}} = \int_{0}^{1} {50x^{\scriptsize{99}} dx} \\[ 10pt ]
&\quad \cfrac{1}{n^{\scriptsize{99-p}}} \longrightarrow 0 \\[ 10pt ]
&\quad \frac{1}{n} \sum_{l=1}^{n} \Bigl(\frac{l}{n} \Bigr)^{\scriptsize{p}} = \int_{0}^{1} {x^{\scriptsize{p}} dx}
\end{align*}

1項目について、定積分に置き換えることができ、計算すると定数が得られます。また、2項目について、定積分に置き換えることはできますが、定数が得られそうにありません。しかし、極限値が $0$ となる部分があるので、2項目も定数となります。これより、解答例の続きは以下のようになります。

問題の解答例⑤
\begin{align*}
&\text{$n \to \infty$ のとき、} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{50}{n} \sum_{l=1}^{n} \Bigl( \frac{i}{n} \Bigr)^{\scriptsize{99}} \ – \sum_{p=0}^{98} {}_{100} \mathrm{ C }_{p} \ (-1)^{\scriptsize{100-p}} \cdot \cfrac{1}{2^{\scriptsize{100-p}}} \cdot \cfrac{1}{n^{\scriptsize{99-p}}} \cdot \frac{1}{n} \sum_{l=1}^{n} \Bigl(\frac{l}{n} \Bigr)^{\scriptsize{p}} \\[ 10pt ]
&\longrightarrow \int_{0}^{1} {50x^{\scriptsize{99}} dx} \ – \sum_{p=0}^{98} {}_{100} \mathrm{ C }_{p} \ (-1)^{\scriptsize{100-p}} \cdot \cfrac{1}{2^{\scriptsize{100-p}}} \cdot 0 \cdot \int_{0}^{1} {x^{\scriptsize{p}} dx} \\[ 10pt ]
&\quad = \int_{0}^{1} {50x^{\scriptsize{99}} dx} \\[ 10pt ]
&\quad = \biggl[ \ \frac{1}{2} x^{\scriptsize{100}} \ \biggr]_0^1 \\[ 10pt ]
&\quad = \frac{1}{2} \\[ 10pt ]
&\text{したがって、} \\[ 5pt ]
&\quad \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{2n} (-1)^{\scriptsize{k}} \ \biggl( \frac{k}{2n} \biggr)^{\scriptsize{100}} = \frac{1}{2}
\end{align*}

与式から区分求積法と定積分の関係を利用して解けそうだと予想できます。しかし、その関係を利用できる形まで変形するのは、かなり難易度が高く、容易ではありません。

指数法則や二項定理など、式変形に必要な知識を自在にアウトプットできるレベルになければ、かなり難しく感じるでしょう。また、必要に応じて新たに変数を増やしましたが、それが混乱の元になりそうです。慌てず丁寧に変形する必要があります。

問題の記述例

上述したことをすべて記述するのはさすがに大変です。答案としては多少簡潔にする必要があります。

問題の記述例
\begin{align*}
&\quad \sum_{k=1}^{2n} (-1)^{\scriptsize{k}} \ \biggl( \frac{k}{2n} \biggr)^{\scriptsize{100}} \\[ 10pt ]
&\quad = \sum_{l=1}^{n} \cfrac{(-1)^{\scriptsize{2l}} \cdot (2l)^{\scriptsize{100}} + (-1)^{\scriptsize{2l-1}} \cdot (2l-1)^{\scriptsize{100}}}{(2n)^{\scriptsize{100}}} \\[ 10pt ]
&\quad = \sum_{l=1}^{n} \cfrac{(2l)^{\scriptsize{100}} \ – (2l-1)^{\scriptsize{100}}}{(2n)^{\scriptsize{100}}} \\[ 10pt ]
&\quad = \sum_{l=1}^{n} \frac{1}{(2n)^{\scriptsize{100}}} \Biggl[ (2l)^{\scriptsize{100}} \ – \biggl\{ \sum_{p=0}^{98} {}_{100} \mathrm{ C }_{p} \ (-1)^{\scriptsize{100-p}} \ (2l)^{\scriptsize{p}} -100 \cdot (2l)^{\scriptsize{99}} + (2l)^{\scriptsize{100}} \biggr\} \Biggr] \\[ 10pt ]
&\quad = \sum_{l=1}^{n} \frac{1}{(2n)^{\scriptsize{100}}} \biggl\{ 100 \cdot (2l)^{\scriptsize{99}} \ – \sum_{p=0}^{98} {}_{100} \mathrm{ C }_{p} \ (-1)^{\scriptsize{100-p}} \ (2l)^{\scriptsize{p}} \biggr\} \\[ 10pt ]
&\quad = \sum_{l=1}^{n} \biggl\{ 100 \cdot \frac{(2l)^{\scriptsize{99}}}{(2n)^{\scriptsize{100}}} \ – \frac{1}{(2n)^{\scriptsize{100}}} \sum_{p=0}^{98} {}_{100} \mathrm{ C }_{p} \ (-1)^{\scriptsize{100-p}} \ (2l)^{\scriptsize{p}} \biggr\} \\[ 10pt ]
&\quad = \sum_{l=1}^{n} \frac{50}{n} \Bigl( \frac{l}{n} \Bigr)^{\scriptsize{99}} \ – \sum_{l=1}^{n} \biggl\{ \sum_{p=0}^{98} {}_{100} \mathrm{ C }_{p} \ (-1)^{\scriptsize{100-p}} \cdot \cfrac{1}{2^{\scriptsize{100-p}}} \cdot \cfrac{1}{n^{\scriptsize{100-p}}} \cdot \Bigl(\frac{l}{n} \Bigr)^{\scriptsize{p}} \biggr\} \\[ 10pt ]
&\quad = \frac{50}{n} \sum_{l=1}^{n} \Bigl( \frac{i}{n} \Bigr)^{\scriptsize{99}} \ – \sum_{p=0}^{98} {}_{100} \mathrm{ C }_{p} \ (-1)^{\scriptsize{100-p}} \cdot \cfrac{1}{2^{\scriptsize{100-p}}} \cdot \cfrac{1}{n^{\scriptsize{99-p}}} \cdot \frac{1}{n} \sum_{l=1}^{n} \Bigl(\frac{l}{n} \Bigr)^{\scriptsize{p}} \\[ 10pt ]
&\text{$n \to \infty$ のとき、} \\[ 5pt ]
&\quad \int_{0}^{1} {50x^{\scriptsize{99}} dx} \ – \sum_{p=0}^{98} {}_{100} \mathrm{ C }_{p} \ (-1)^{\scriptsize{100-p}} \cdot \cfrac{1}{2^{\scriptsize{100-p}}} \cdot 0 \cdot \int_{0}^{1} {x^{\scriptsize{p}} dx} \\[ 10pt ]
&\quad = \int_{0}^{1} {50x^{\scriptsize{99}} dx} \\[ 10pt ]
&\quad = \biggl[ \ \frac{1}{2} x^{\scriptsize{100}} \ \biggr]_0^1 \\[ 10pt ]
&\quad = \frac{1}{2} \\[ 10pt ]
&\text{したがって、} \\[ 5pt ]
&\quad \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{2n} (-1)^{\scriptsize{k}} \ \biggl( \frac{k}{2n} \biggr)^{\scriptsize{100}} = \frac{1}{2}
\end{align*}

あくまでも一例なので、もっと良い答案があるかもしれません。自分なりに最適な答案を考えてみましょう。ここでは区分求積法と定積分の関係を利用して解きましたが、別解として、平均値の定理(次ページ)を利用して解くこともできます。余裕があれば解いてみると良いでしょう。

さいごに

今回の問題は京都大学の入試で出題された問題です。このレベルの問題を解きこなすには、思考することに免疫が必要です。難しい問題に当ったとき、解答をすぐに見てしまうと、思考することをすぐに放棄する癖がついてしまいます。それでは問題を解決する能力が育たないので、あまり良いことではないでしょう。

基本的に、2次試験などの記述形式の問題は、短時間で解くような問題ではありません。方針や記述内容などをじっくり吟味して解く問題です。センター試験などの問題のように、短時間でアウトプットして解く問題とは根本的に趣旨が異なります。

入試問題は自分の学力の完成度合いを測ることができます。もし、まだまだだと思えば、教科書の章末問題レベルに戻って、きちんと解けるかを確認すると良いでしょう。もちろん、答案をきちんと作成できるかの確認も合わせて行いましょう。

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別解は次のページをご覧下さい。

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ちょっとど忘れしたときの公式・定理集

数学で覚えるべき公式や定理は、一覧で眺めてみるとそれほど多くはありません。大切なことは覚えることではなく、「公式や定理をどのように使うか」です。

公式・定理集で確認しつつ、演習で積極的に使っていきましょう。

日々是鍛錬 ひびこれたんれん
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