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場合の数|同じものを含む順列について

場合の数と確率 数学A

今回は、同じものを含む順列について学習しましょう。同じものを含む順列は重複順列に似ているので、よく勘違いする人がいます。両者の違いをしっかり理解しましょう。

なお、記事の画像が見辛いときはクリックすると拡大できます。

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重複順列と同じものを含む順列との違いを知ろう

重複順列は、重複を許すという条件で、異なる $n$ 個のものから $r$ 個取って並べた順列のことです。ですから、並べるものを選ぶことができ、また選んだものが他のものと重複しても許されます。

それに対して、同じものを含む順列は、並べるものの中に同じ種類のものが混じった状態で、それらを並べた順列です。

たとえば「1 , 1 , 5の3つの数を使ってできる3桁の整数」の個数は、重複順列ではなく、同じものを含む順列の総数になります。例からも分かるように、並べるものがすでに決まっており、その中に同じものが含まれているので、既に選ばれたものの並べ替えだと考えることができます。

このように重複順列と同じものを含む順列とは全く異なります。定義を正しく覚え、その意味を正しく理解しましょう。

同じものを含む順列の総数を求めよう

$n$ 個の中にいくつかの種類があって、それぞれ $p$ 個、$q$ 個、$r$ 個・・・ずつあるとします。これら $n$ 個のものを一列に並べる順列が同じものを含む順列です。

$n$ 個のものを並べる順列の総数
\begin{equation*}
\quad n! \quad \scriptsize{\text{(通り)}}
\end{equation*}

$n$ 個のものを並べる順列の総数は $n!$ 通りですが、これは $n$ 個のものがすべて異なる場合の総数です。しかし、実際には同じものが $p$ 個、$q$ 個、$r$ 個・・・ずつ含まれています。

ですから、順列の総数 $n!$ 通りの中には重複する並べ方が含まれています。たとえば、$p$ 個が同じものであれば、$p!$ 通りを重複して数え上げていることになります。

同じ種類ごとに重複する並べ方を求め、その重複ぶんを $1$ 通りにしなければなりません。この重複ぶんの扱いさえ忘れなければ、同じものを含む順列の総数を簡単に求めることができます。

一般に、$n$ 個の中に同じものが $p$ 個、$q$ 個、$r$ 個・・・ずつあるとき、その並べ方の総数は以下のように表されます。

同じものを含む順列の総数

\begin{align*}
&\quad \frac{n!}{p! \ q! \ r! \cdots} \quad \scriptsize{\text{(通り)}} \\[ 10pt ]
&\text{ただし、} \ p + q + r + \cdots = n
\end{align*}

また同じものを含む順列は、同じものの並べ替えは重複するので、並べるというよりも置く場所を選ぶと捉えることもできます。

「 $p$ 個(または $q$ 個、$r$ 個)のものを置く場所を選ぶ」という考え方をすると、同じものを含む順列の総数を組合せの総数で求めることができます。

置き場所を選ぶのは組合せ

  • $n$ カ所から $p$ 個を置く場所の選び方は、${}_n \mathrm{ C }_p$ 通り
  • ${}_n \mathrm{ C }_p$ 通りのそれぞれについて、
    $n-p$ カ所から $q$ 個を置く場所の選び方は、${}_{n-p} \mathrm{ C }_q$ 通りずつ
  • ${}_{n-p} \mathrm{ C }_q$ 通りのそれぞれについて、
    $n-p-q$ カ所から $r$ 個を置く場所の選び方は、${}_{n-p-q} \mathrm{ C }_r$ 通りずつ
  • 以下、同様

これより、同じものを含む順列の総数、つまり組合せの総数は以下のようになります。

同じものを含む順列と組合せの関係

\begin{align*}
&\quad {}_n \mathrm{ C }_p \times {}_{n-p} \mathrm{ C }_q \times {}_{n-p-q} \mathrm{ C }_r \times \cdots \quad \scriptsize{\text{(通り)}} \\[ 10pt ]
&\text{ただし、} \ p + q + r + \cdots = n
\end{align*}

同じものの $p$ 個(または $q$ 個、$r$ 個)については並ぶ順番を考える必要がありません。ですから、同じものを含む順列では、どのように並べるのかというよりもどのように置くのかという発想の方が適切です。

このように捉え方によって順列と組合せのどちらでも解決できる問題もあるので、何に注目するかをしっかりと考えましょう。これまでをまとめると以下のようになります。

同じものを含む順列について

次は、同じものを含む順列を扱った典型的なテーマをいくつか考えてみましょう。

整数の個数

最初のテーマは「整数の個数」です。整数の個数を求める問題では、数字を並べ替えて整数をつくるので、順列の考え方に当てはまります。

例題1・整数の個数

1 , 2 , 3 , 4の4つの数字を使ってできる4桁の整数の個数

例題1は順列を扱った基本的な問題です。異なる4つの数字を使って4桁の整数をつくるので、異なる4個のものを並べた順列の総数を求めれば良いことが分かります。

例題1・整数の個数の解答例

\begin{align*}
{}_4 \mathrm{ P }_4 &= 4! \\[ 10pt ]
&= 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \\[ 10pt ]
&= 24 \quad {\scriptsize \text{(個)}}
\end{align*}

計算結果から、異なる4つの数字を使ってできる4桁の整数は全部で24個です。

例題2・整数の個数

1 , 2 , 2 , 4の4つの数字を使ってできる4桁の整数の個数

例題1とは異なり、同じ数字が含まれているので、同じものを含む順列になります。

例題1において、3が2に変わったと考えて、例題1で求めた $4!$ 個の整数の中から重複する個数を除きます。

例題1:1234 , 1324
例題2:1224 , 1224

例題1では、2と3の並べ方が変わると異なる整数と見なせましたが、例題2では同じ整数になってしまいます。2と3の並べ方は $2!$ 通りあので、2と3を並べ変えた整数のそれぞれについて、$2!$ 通りずつ重複していることが分かります。

例題2・整数の個数の解答例

\begin{align*}
\frac{4!}{2!} &= \frac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!} \\[ 10pt ]
&= 12 \quad {\scriptsize \text{(個)}}
\end{align*}

計算結果から、1 , 2 , 2 , 4の4つの数字を使ってできる4桁の整数の個数は全部で12個です。

これまでをまとめると以下のようになります。

整数の個数と順列

例題2では、組合せを利用して整数の個数を求めることができます。「1 , 2 , 2 , 4の数字を4カ所のどこに置くか」を考える問題と捉えることができます。

例題2・整数の個数の別解例

  • 4カ所から1個の1を置く場所の選び方は、${}_4 \mathrm{ C }_1$ 通り
  • ${}_4 \mathrm{ C }_1$ 通りのそれぞれについて、
    3カ所から1個の4を置く場所の選び方は、${}_3 \mathrm{ C }_1$ 通りずつ
  • ${}_3 \mathrm{ C }_1$ 通りのそれぞれについて、
    2カ所から2個の2を置く場所の選び方は、${}_2 \mathrm{ C }_2$ 通りずつ

このときの組合せの総数を計算すると、同じ結果になります。

例題2・整数の個数の別解例

\begin{align*}
{}_4 \mathrm{ C }_1 \times {}_3 \mathrm{ C }_1 \times {}_2 \mathrm{ C }_2 &= 4 \cdot 3 \cdot 1 \\[ 10pt ]
&= 12 \quad \scriptsize{\text{(通り)}}
\end{align*}

順列の総数で求める場合、どうしても重複する並びを含んでしまいます。ですから、最初から重複を除外できる組合せの方が気分的には楽な気がします。

最短距離の経路に関する問題

次のテーマは「最短距離の経路」です。

例題3・最短距離の経路

図のような縦または横の道を通ってPからQに行くとき、最短距離の経路が何通りあるか。

最短距離の経路図

方眼のように縦線と横線でいくつかの区画に分けられています。この縦線や横線を通ってPからQに移動します。

PからQに移動するとき、下方向や左方向に移動すると最短で移動できません。ですから、上方向と右方向の移動だけを考えれば良いことが分かります。

最短距離の経路になるとき、どの経路であっても上方向の移動が3回、右方向の移動が4回の計7回の移動が行われています。このことから、最短距離の経路は、上方向と右方向の2種類の同じものを含む順列の総数を考えれば良いことが分かります。

最短距離の経路を考えるとき、上方向または右方向の矢印を並べ替えて経路をつくると分かりやすくなります。

最短距離の経路は矢印で考えよう

7個の矢印のうち、3個が同じ上方向の矢印で、4個が同じ右方向の矢印です。このときの順列の総数は以下のようになります。

例題3・最短距離の経路の解答例

\begin{align*}
\frac{7!}{3! \cdot 4!} &= \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4!} \\[ 10pt ]
&= 35 \quad {\scriptsize \text{(個)}}
\end{align*}

7個の矢印の並べ方 $7!$ 通りには、上方向の矢印の並べ方 $3!$ 通りずつと、右方向の矢印の並べ方 $4!$ 通りずつとが重複しています。この重複ぶんを除くために除算しています。

また、最短距離の経路が7個の矢印の組合せでできることが分かるので、組合せを利用することもできます。

最短距離の経路を置き場所で考える

7カ所のうち、上方向の矢印3個を置く場所の選び方と、右方向の矢印4個を置く場所の選び方を考えます。

例題3・最短距離の経路の別解例

\begin{align*}
{}_7 \mathrm{ C }_3 \times {}_4 \mathrm{ C }_4 &= \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} \times 1 \\[ 10pt ]
&= 35 \quad \scriptsize{\text{(通り)}}
\end{align*}

整数の個数を求めるときと同じように、同じものを含む順列では、順列の総数を利用する場合、必ず重複ぶんを除かなければなりません。しかし、組合せなら重複ぶんを除く処理をせずに済みます。

どちらで解くかは好みによりますが、どちらの考え方も理解しておきましょう。これまでをまとめると以下のようになります。

最短距離の経路について

次は実際に問題を解いてみましょう。

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