場合の数｜順列について
順列を扱った問題を解いてみよう
次の問題を考えてみましょう。
問１の解答・解説
問１
次の値を求めよ。
\begin{align*} (i) \quad {}_3 \mathrm{ P }_3 \\[ 7pt ] (ii) \quad {}_7 \mathrm{ P }_3 \end{align*}問１は、記号化された順列の総数を計算する問題です。記号Ｐの意味を理解していれば、正しく計算式に書き換えることができます。
公式や定理を覚えても使いこなせないのは、その式の意味をことばで理解していないからです。そうならないように記号の意味をしっかり読み取り、ことばに置き換える習慣を付けましょう。問１のような基本的な問題は訓練に最適です。
3Ｐ3は「異なる３個すべてを並べるときの順列の総数」を表しています。ですから、階乗の式で求めることができます。
また、7Ｐ3は「異なる７個の中から３個を取って並べるときの順列の総数」を表しています。ですから、nＰrの式で求めることができます。
問１の解答例
\begin{align*} \quad {}_3 \mathrm{ P }_3 &= 3! \\[ 7pt ] &= 3 \cdot 2 \cdot 1 \\[ 7pt ] &= 6 \end{align*}また、$7-3+1 = 5$ より
\begin{align*} \quad {}_7 \mathrm{ P }_3 &= 7 \cdot 6 \cdot 5 \\[ 7pt ] &= 210 \end{align*}問１のポイントと解答例は以下のようになります。
注意したいのは問１(ii)です。７から３までの整数の積ではないことに注意しましょう。７－３＋１＝５であるので、７から５までの整数の積です。
順列の総数の式をもっと上手に使うためのコツ
nＰrの式を使うとき、よく間違えるのが最後の数です。この最後の数を間違えないコツがあります。
順列の総数
異なる $n$ 個から $r$ 個を並べるときの順列の総数は
\begin{align*} \quad {}_n \mathrm{ P }_r = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \cdots \cdot (n-r+1) \end{align*}nＰrはｎからｎ－ｒ＋１までの整数の積で表されます。このとき、掛けられる整数の個数は、ｎ－(ｎ－ｒ＋１)＝ｒ個です。このことから、ｎから順に１ずつ減らしたｒ個の整数を掛ければ良いことが分かります。
7Ｐ3であれば、７を先頭にして３個の整数の積になります。７から順に１ずつ減らした整数６，５を掛けると、３個の整数の積になります。
この規則性を知っていれば、最後の数を間違うことも減らせるでしょう。上手に使って下さい。
nＰrはｎを先頭にしてｒ個の整数の積で表される。記号Ｐの右下の添え字ｒは、並べる数の個数に等しい。
問２の解答・解説
問２
男子 $4$ 人、女子 $3$ 人が $1$ 列に並ぶとき、女子 $3$ 人が隣り合う並べ方は何通りあるか。
問２は、「１列に並ぶ」とあるので順列の総数を求める問題です。ただし、注意したいのは「女子３人が隣り合う」という条件です。
女子３人が隣り合うためには、女子３人を個別に扱わず、まとめて扱う必要があります。女子３人を１人と見なしてしまえば、女子3人がどこに並んでもつねに隣り合うことになります。これが１つ目のポイントです。
隣り合うときはひとまとめにして扱おう。
女子３人を１人と見なすと、男女５人が１列に並ぶときの順列になります。５人全員を並べるので、その総数は５！通り（または5Ｐ5通り）あります。
これで終わりではありません。次に考えることは女子３人の並び方です。
女子３人を１人扱いしましたが、３人の並び方まで考えていません。女子３人は隣り合っていれば、どんな並び方でも良いはずです。
それを踏まえると、女子３人の順列の総数は３！通り（または3Ｐ3通り)あります。ここが２つ目のポイントです。
「隣り合う」条件があるときのポイント
- 隣り合う３人を１人と見なす
- １人扱いした３人の並べ方を考える
以上のことから、男女の並び方５！通りのそれぞれについて、女子３人の並び方が３！通りずつあることが分かります。これより積の法則で並べ方の総数を求めることができます。
問２の解答例
女子 $3$ 人を $1$ 人とみなしたとき、男女 $5$ 人が $1$ 列に並ぶときの順列の総数は ${}_5 \mathrm{ P }_5$ 通り。
男女 $5$ 人の並べ方のそれぞれについて、女子 $3$ 人の並べ方は ${}_3 \mathrm{ P }_3$ 通りずつある。
積の法則から
\begin{align*} \quad {}_5 \mathrm{ P }_5 \times {}_3 \mathrm{ P }_3 &= 5! \times 3! \\[ 7pt ] &= ( 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 ) \times ( 3 \cdot 2 \cdot 1 ) \\[ 7pt ] &= 120 \times 6 \\[ 7pt ] &= 720 \end{align*}問２のポイントと解答例は以下のようになります。
問２のような問題を解くと、樹形図を書くことや、数え上げの方法を考えることが先だと言った意味を分かってもらえるかと思います。
計算は簡単な整数の四則計算ばかりなので、樹形図を書くことや解答の方針を考えることを優先しましょう。
そして解答の方針が決まったら、簡潔に記述するために階乗やnＰrを使いましょう。実際に計算するときは整数の積に書き変えますが、記述では読みやすさも大事なので上手に使いましょう。
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さいごに、もう一度、頭の中を整理しよう
- 順列は、いくつかの人や物を１列に並べること、または並べたもの。
- 順列の総数は、積の法則より整数の積で表される。
- ある数から１までの整数の積は、階乗で表される。
- すべての人や物を並べるときの順列の総数は、階乗で求めることができる。
- 一部の人や物を並べるときの順列の総数は、記号Ｐを使って表される。
- nＰrの式では、積の最後の整数に注意する。