物理の要点｜力と運動その３

01/03/2022公式・定理,物理

1. 円運動
2. 単振動
3. 万有引力
4. 物理・物理基礎のオススメ本

円運動

等速円運動

速度

半径 $r \ \mathrm{[m]}$ の円軌道上を角速度 $\omega \ \mathrm{[rad/s]}$ で等速円運動している物体の速度 $\upsilon \ \mathrm{[m/s]}$ は、次のように表される。また、速度の向きは円の接線向きである。

\begin{equation*} \quad \upsilon=r \omega \end{equation*}

周期

半径 $r \ \mathrm{[m]}$ の円軌道上を角速度 $\omega \ \mathrm{[rad/s]}$ で等速円運動している物体の速度 $\upsilon \ \mathrm{[m/s]}$ があるときの周期 $T \ \mathrm{[s]}$ は、次の式で表される。

\begin{equation*} \quad T=\frac{2 \pi r}{\upsilon}=\frac{2 \pi}{\omega} \end{equation*}

加速度

上述のような等速円運動をしている物体に生じる加速度は、円の中心向きで、その大きさ $a \ \mathrm{[m/s^{\scriptsize{2}}]}$ は、次の式で表される。

\begin{equation*} \quad a=\frac{{\upsilon}^{\scriptsize{2}}}{r}=r{\omega}^{\scriptsize{2}} \end{equation*}

円運動の運動方程式

運動方程式

直線運動の場合の運動方程式の加速度 $a$ の代わりに、等速円運動の加速度を用いたものが、円運動の運動方程式である。

円運動の運動方程式

\begin{align*} &\text{直線運動における運動方程式} \\[ 5pt ] &\quad ma=F \\[ 7pt ] &\text{の $a$ に} \\[ 5pt ] &\quad a=\frac{{\upsilon}^{\scriptsize{2}}}{r}=r{\omega}^{\scriptsize{2}} \\[ 5pt ] &\text{を代入すると} \\[ 5pt ] &\quad m \frac{{\upsilon}^{\scriptsize{2}}}{r}=F \\[ 7pt ] &\text{または} \\[ 5pt ] &\quad mr{\omega}^{\scriptsize{2}}=F \\[ 7pt ] &\text{これが円運動の運動方程式である。} \end{align*}

向心力

円運動の運動方程式における $F$ は、物体に働く力の合力で、円軌道の中心を向く力となるので、向心力と呼ばれる。

遠心力（非慣性系）

等速円運動をしている物体を、それと同じ角速度で回転している座標系から見ると、円の中心とは反対向きに慣性力が働いているように見える。この見かけ上の力を遠心力という。遠心力の大きさ $F \ \mathrm{[N]}$ は、次の式で表される。

\begin{equation*} \quad F=m \frac{{\upsilon}^{\scriptsize{2}}}{r}=mr{\omega}^{\scriptsize{2}} \end{equation*}

この場合、物体に働く力はつり合っていると考えればよい。

単振動

半径 $A \ \mathrm{[m]}$ の円周上を角速度 $\omega \ \mathrm{[rad/s]}$ で等速円運動している物体の正射影の運動は、振幅 $A \ \mathrm{[m]}$、角振動数 $\omega \ \mathrm{[rad/s]}$ の単振動に相当する。この単振動の変位 $x \ \mathrm{[m]}$、速度 $\upsilon \ \mathrm{[m/s]}$、加速度 $a \ \mathrm{[m/s^{\scriptsize{2}}]}$ は、それぞれ次の式で表される。

変位

\begin{equation*} \quad x=A \sin {\omega t} \end{equation*}

速度

\begin{equation*} \quad \upsilon=A \omega \cos {\omega t} \end{equation*}

加速度

\begin{equation*} \quad a=-A{\omega}^{\scriptsize{2}} \sin {\omega t}=-{\omega}^{\scriptsize{2}} x \end{equation*}

加速度の式のマイナスは、加速度の向きが変位の向きと反対であることを示す。

単振動の復元力

単振動をする質量 $m \ \mathrm{[kg]}$ の物体に働く力 $F \ \mathrm{[N]}$ は、運動方程式から次の式で表される。

\begin{equation*} \quad F=ma=-m {\omega}^{\scriptsize{2}} x \quad \cdots \text{①} \end{equation*}

この力は、物体の変位と反対向きで、物体を元の位置に戻すように働くので、復元力と呼ばれる。①式の $m {\omega}^{\scriptsize{2}}$ を $K$ とおくと、次の②式のようになる。

\begin{equation*} \quad F=-Kx \quad \cdots \text{②} \end{equation*}

②式から、復元力は変位 $x$ に比例し、変位と反対向きに働く力であることが分かる。逆に、物体に②式で示される力 $F$ が働くときは、物体は単振動をする。この単振動の運動方程式は、①，②式から次のように表せる。

\begin{equation*} \quad m \cdot \left(-{\omega}^{\scriptsize{2}} x \right)=-Kx \quad \cdots \text{③} \end{equation*}

③式から角振動数 $\omega \ \mathrm{[rad/s]}$ は、次の式で表される。

③より

\begin{equation*} \quad {\omega}^{\scriptsize{2}}=\frac{K}{m} \end{equation*}

$\omega \gt 0$ より

\begin{equation*} \quad \omega=\sqrt{\frac{K}{m}} \quad \cdots \text{④} \end{equation*}

④式を周期の式に代入すると、単振動の周期 $T \ \mathrm{[s]}$ は、次の式で表される。

④より

\begin{equation*} \quad T=\frac{2 \pi}{\omega}=2 \pi \sqrt{\frac{m}{K}} \end{equation*}

単振り子

長さ $l \ \mathrm{[m]}$ の単振り子は、振幅が小さいとき、近似的に単振動をする。その周期 $T \ \mathrm{[s]}$ は、重力加速度の大きさを $g \ \mathrm{[m/s^{\scriptsize{2}}]}$ とすると、次のように表される。

\begin{equation*} \quad T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} \end{equation*}

万有引力

質量 $m \ \mathrm{[kg]} \ , \ M \ \mathrm{[kg]}$ の２つの物体が距離 $r \ \mathrm{[m]}$ だけ離れて存在するとき、両者の間に働く万有引力 $F \ \mathrm{[N]}$ は、次のように表される。

\begin{equation*} \quad F=G \frac{mM}{r^{\scriptsize{2}}} \end{equation*}

ただし、$G$ は万有引力定数で、

\begin{equation*} \quad G=6.67 \times 10^{\scriptsize{-11}} \quad \mathrm{N \cdot m^{\scriptsize{2}} / {kg}^{\scriptsize{2}}} \end{equation*}

天体上の重力加速度

地球などの天体の表面にある物体に働く重力は、天体と物体との間に働く万有引力にほかならない。天体の表面の重力加速度の大きさを $g \ \mathrm{[m/s^{\scriptsize{2}}]}$、天体の質量を $M \ \mathrm{[kg]}$、半径を $R \ \mathrm{[m]}$、物体の質量を $m \ \mathrm{[kg]}$ とすると、重力加速度の大きさ $g \ \mathrm{[m/s^{\scriptsize{2}}]}$ は、次のように表される。

\begin{equation*} \quad mg=G \frac{mM}{R^{\scriptsize{2}}} \end{equation*}

よって

\begin{equation*} \quad g= \frac{GM}{R^{\scriptsize{2}}} \end{equation*}

万有引力の位置エネルギー

質量 $M \ \mathrm{[kg]}$ の物体の中心から距離 $r \ \mathrm{[m]}$ の点にある質量 $m \ \mathrm{[kg]}$ の物体の位置エネルギーは、無限遠の点を基準にすると、次の式で表される。

\begin{equation*} \quad U=-G \frac{Mm}{r} \end{equation*}

ケプラーの法則

ケプラーの第１法則

惑星は、太陽を１つの焦点とする楕円軌道上を公転する。

ケプラーの第２法則

惑星と太陽とを結ぶ線分（動径）が一定時間に描く面積は一定である（面積速度一定の法則）。惑星の近日点、遠日点での速さをそれぞれ $\upsilon_{\scriptsize{1}} \ , \ \upsilon_{\scriptsize{2}}$ とし、近日点、遠日点の太陽からの距離をそれぞれ $r_{\scriptsize{1}} \ , \ r_{\scriptsize{2}}$ とすると、ケプラーの第２法則から、次の関係が成り立つ。

\begin{equation*} \quad r_{\scriptsize{1}} \upsilon_{\scriptsize{1}}=r_{\scriptsize{2}} \upsilon_{\scriptsize{2}} \end{equation*}

ケプラーの第３法則

惑星の公転周期 $T \ \mathrm{[s]}$ の２乗は、惑星の公転軌道の長半径 $a \ \mathrm{[m]}$ の３乗に比例する。

\begin{equation*} \quad T^{\scriptsize{2}}=ka^{\scriptsize{3}} \end{equation*}

ただし、$k$ は比例定数で、全惑星に共通である。