図形の性質|多面体について

数学A多面体,オイラーの多面体定理,正多面体

数学A 図形の性質(別バージョン)

今回は多面体について学習しましょう。

この単元も直接的に出題されることが少ない単元です。この単元からの出題であれば、知識だけで解ける問題がほとんどではないかと思います。ただ、実際は面積や体積などに派生した問題に発展するので、知らなくて良いわけではありません。

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多面体

多面体とは、立方体や三角錐のように、いくつかの平面で囲まれた立体のことです。この単元では、主に正多面体とオイラーの多面体定理について学習します。

正多面体の定義

へこみのない多面体(凸多面体と言う)のうち、各面が合同な正多角形で、各頂点に集まる面の数が同じであるものを正多面体と言います。

正多面体の定義
へこみのない多面体において、以下の条件を満たす立体のこと。

  • すべての面が合同な正多角形である
  • すべての頂点に集まる面の数が同じある

正多面体の種類

正多面体には、正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体の5種類あります。

5種類の正多面体の図

正六面体は立方体の方が分かりやすいかもしれません。また、正四面体から正八面体までは、空間図形の問題でも扱うので、馴染みのある立体かもしれません。

このような正多面体では、面の形や面の数などがすでに分かっています。

種類 面の形 面の数 頂点の数 辺の数
正4面体 正3角形 4 4 6
正6面体 正方形 6 8 12
正8面体 正3角形 8 6 12
正12面体 正5角形 12 20 30
正20面体 正3角形 20 12 30

似たような数字が出てくるので間違えないようにしましょう。セットにして覚えるのは、正六面体と正八面体、正十二面体と正二十面体です。

正多面体についての一覧は以下のようになります。

正多面体の一覧表

オイラーの多面体定理

多面体の頂点、辺、面の数について以下の関係が成り立ちます。

オイラーの多面体定理
\begin{align*}
&\quad \bigl( \text{頂点の数} \bigr) \ – \bigl( \text{辺の数} \bigr) + \bigl( \text{面の数} \bigr) = 2 \\[ 5pt ]
&\text{または} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl( \text{頂点の数} \bigr) + \bigl( \text{面の数} \bigr) = \bigl( \text{辺の数} \bigr) + 2
\end{align*}

このような関係、または関係式をオイラーの多面体定理と言います。オイラーの多面体定理は、オイラーの多面体公式とも言われます。確認してみると分かりますが、どの正多面体でもオイラーの多面体定理が成り立っています。

あとでオイラーの多面体定理を扱った問題を解いてみますが、この式を使うだけなのですぐに慣れると思います。

これまでのまとめです。

正多面体とオイラーの多面体定理のまとめ

次は多面体を扱った問題を実際に解いてみましょう。