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確率|確率の基本性質について

確率 数学A

前回、確率に関わる用語やその定義を学習したので、今回は確率の基本性質について学習しましょう。

基本性質と言うくらいなので、この性質を使いながら色々な事柄が起こる確率を求めていきます。確実に使えるようにしておきましょう。なお、記事の画像が見辛いときはクリックすると拡大できます。

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確率の基本的な性質

確率を求める式は基本的に1つだけです。ある事象が起こる確率であればこの式で求めることができるので、それほど難しくはありません。

どの根元事象も同様に確からしいとする。
このときの事象Aが起こる確率 $P(A)$

\begin{equation*}
P(A) = \frac{{\scriptsize \text{事象Aが起こる場合の数}}}{{\scriptsize \text{起こりうるすべての場合の数}}}
\end{equation*}

しかし、複数の事象が起こる確率を求める場合、単純にこの式を使って求めることはできません。事象どうしの関係を考えないと、正しい確率を求めることができないので注意が必要です。

積事象・和事象、排反、余事象

まず用語を確認しましょう。最初は「積事象」と「和事象」です。

用語の確認

  • 積事象:2つの事象A , Bについて、AとBがともに起こる事象のこと。$A \cap B$ と表す。
  • 和事象:2つの事象A , Bについて、AまたはBが起こる事象のこと。$A \cup B$ と表す。

呼び名が変わるだけで「共通部分」や「和集合」とイメージが変わらないので、理解に苦しむことはないでしょう。

このような事象について、積事象 $A \cap B$ が起こる確率を $P(A \cap B)$、和事象 $A \cup B$ が起こる確率を $P(A \cup B)$と表します。積事象と和事象が起こる確率について、一般に以下のような関係が成り立ちます。

積事象と和事象が起こる確率の関係
\begin{equation*}
P \left( A \cup B \right) = P \left( A \right) + P \left( B \right) – P \left( A \cap B \right)
\end{equation*}

次は「排反」です。この関係式では、2つの事象A , Bが同時に起こる場合があることを考えていますが、もちろん、2つの事象A , Bが同時に起こらないときもあります。

用語の確認

排反:事象A , Bが同時に起こらないこと。このとき、AとBは互いに排反(事象)であると言う。

AとBが互いに排反であれば、$A \cap B = \varnothing$ であるので、先ほどの関係式は以下のようになります。

積事象と和事象が起こる確率の関係
\begin{align*}
&\text{2つの事象A,Bが互いに排反であるとき、} \\[ 10pt ]
&\quad A \cap B = \varnothing \\[ 10pt ]
&\text{となるので、} \\[ 10pt ]
&\quad P \left( A \cap B \right) = 0 \\[ 10pt ]
&\text{である。よって} \\[ 10pt ]
&\quad P \left( A \cup B \right) = P \left( A \right) + P \left( B \right) \ \text{(加法定理)}
\end{align*}

$A \cap B = \varnothing$ であれば、積事象 $A \cap B$ がもつ要素はありません。これより、積事象 $A \cap B$ が起こる場合の数は $0$ となり、その確率は $P(A \cap B) = 0$ となります。なお、この関係式を加法定理と言うことがあります。

さいごに「余事象」です。余事象は補集合をイメージすると分かりやすいでしょう。

用語の確認

余事象:事象Aについて、事象Aが起こらない事象のこと。事象Aの余事象を $\bar{A}$ と表す。

事象Aの余事象 $\bar{A}$ が起こる確率 $P(\bar{A})$ は以下のように表せます。

事象Aの余事象 $\bar{A}$ が起こる確率 $P(\bar{A})$

\begin{equation*}
P ( \bar{A} ) = 1 – P ( A )
\end{equation*}

これまでをまとめると以下のようになります。

色々な事象について

次は積事象や和事象を具体例で考えてみましょう。

積事象と和事象を扱った例

次の確率を求めてみましょう。

52枚のトランプの中から1枚のカードを引くとき、ダイヤまたは絵札である確率

試行は「52枚のトランプの中から1枚のカードを引く」となります。次は事象についてですが、少し注意が必要です。

根元事象を正しく定めよう

問題では「ダイヤのカードを引く」や「絵札を引く」という文言がありますが、これらは根元事象ではないことに気を付けましょう。これらはあくまでも事象の1つであって、根元事象ではありません

「ダイヤのカードを引く」や「絵札を引く」といった事象では、枚数が複数(結果が複数)あったり、枚数に違い(偏り)があったりするので、同じ程度に起こると期待できません。

同じ程度に起こると期待できる根元事象は、必ず1通りの結果を要素にもつ事象です。そのことに注意して根元事象を定めましょう。

トランプなどのカードを引く場合の確率では、数字や絵柄で考えずに、カードをすべて区別して扱います。

このとき、根元事象は「区別した52枚のカードをそれぞれ引く」となり、52個の根元事象があることになります。このことから全事象は、52個の根元事象をまとめた事象です。

52枚のトランプの中から1枚のカードを引くときの根元事象

$\spadesuit$ の1を引く事象
$\spadesuit$ の2を引く事象
$\vdots$
$\diamondsuit$ の1を引く事象
$\diamondsuit$ の2を引く事象
$\vdots$
$\clubsuit$ の1を引く事象
$\clubsuit$ の2を引く事象
$\vdots$
$\heartsuit$ の1を引く事象
$\heartsuit$ の2を引く事象

全部で52個の根元事象があり、これらは同じ程度に起こると期待できる。

根元事象を定めるとき、数字や絵柄にかかわらず、カードの1枚1枚を区別しよう。

根元事象を定めたところで問題となっている確率を求めます。

事象の要素を数え上げよう

起こりうるすべての場合の数は、カードを区別した結果、全事象が52個の根元事象を含むので52通りです。

ダイヤまたは絵札である事象は、ダイヤである事象と絵札である事象の和事象です。ですから、ダイヤである事象と絵札である事象を分けて考えます。

ダイヤである事象は、ダイヤのカードが13枚あるので、13個の根元事象を含む事象だと分かります。これよりダイヤである事象が起こる場合の数は13通りです。

ダイヤである事象

$\diamondsuit$ の1を引く事象
$\diamondsuit$ の2を引く事象
$\vdots$
$\diamondsuit$ の11を引く事象
$\diamondsuit$ の12を引く事象
$\diamondsuit$ の13を引く事象

全部で13個の根元事象を含む事象

また、絵札である事象は、絵札のカードが12枚あるので、12個の根元事象を含む事象だと分かります。これより絵札である事象が起こる場合の数は12通りです。

絵札である事象

$\spadesuit$ の11を引く事象
$\spadesuit$ の12を引く事象
$\spadesuit$ の13を引く事象

$\diamondsuit$ の11を引く事象
$\diamondsuit$ の12を引く事象
$\diamondsuit$ の13を引く事象

$\clubsuit$ の11を引く事象
$\clubsuit$ の12を引く事象
$\clubsuit$ の13を引く事象

$\heartsuit$ の11を引く事象
$\heartsuit$ の12を引く事象
$\heartsuit$ の13を引く事象

全部で12個の根元事象を含む事象

次はダイヤである事象と絵札である事象の関係を考えましょう。2つの事象が互いに排反であるかどうかを確認しなければなりません。

ダイヤかつ絵札であるカードが3枚あるので、ダイヤである事象と絵札である事象は同時に起こる場合があります。これより、ダイヤである事象と絵札である事象は互いに排反ではありません

ダイヤかつ絵札である事象

$\diamondsuit$ の11を引く事象
$\diamondsuit$ の12を引く事象
$\diamondsuit$ の13を引く事象

全部で3個の根元事象を含む事象

ダイヤである事象と絵札である事象は互いに排反ではないので、ダイヤかつ絵札である事象(積事象)が存在します。ダイヤかつ絵札のカードは3枚あるので、ダイヤかつ絵札である事象は、3個の根元事象を含む事象です。ですから、この事象が起こる場合の数は3通りです。

事象の関係や要素について

ベン図を利用すると2つの事象の関係をイメージしやすくなります。

確率を求めよう

以上をもとにダイヤまたは絵札である事象が起こる確率を求めます。

ダイヤまたは絵札である確率
\begin{align*}
\frac{13}{52} + \frac{12}{52} – \frac{3}{52} &= \frac{13+12-3}{52} \\[ 10pt ]
&= \frac{22}{52} \\[ 10pt ]
&= \frac{11}{26}
\end{align*}

左辺は、先ほど紹介した積事象と和事象の関係式です。右辺は、1つの分数にまとめただけですが、確率を求めるときの基本的な式です。分子に注目すると、ダイヤまた絵札である事象が起こる場合の数になっていることが分かります。

このことから、確率の求め方は2通りあることが分かります。

確率の求め方

  • 求めたい事象が起こる場合の数を求め、確率の式に代入する。
  • 各事象の確率を求め、積事象と和事象の関係式で求める。
場合の数を使って確率を求めるとき

\begin{equation*}
P(A) = \frac{{\scriptsize \text{事象Aが起こる場合の数}}}{{\scriptsize \text{起こりうるすべての場合の数}}}
\end{equation*}

積事象と和事象を使って確率を求めるとき
\begin{equation*}
P \left( A \cup B \right) = P \left( A \right) + P \left( B \right) – P \left( A \cap B \right)
\end{equation*}

長い解説になりましたが、最初なのでできるだけ丁寧に説明しました。慣れてくるとほとんどは省略して解くことになります。しかし、基本的な流れを押さえておくことは大切です。

確率を求めるときの基本的な流れ

  1. 根元事象(要素)を定める
  2. それらを含む事象(部分集合)や場合の数(要素の個数)を求める
  3. 確率を求める

これまでをまとめると以下のようになります。

積事象や和事象を扱った例

次は排反(事象)を具体例で考えてみましょう。

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