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集合と論理|背理法について

集合と論理数学I

今回は背理法という証明方法について学習しましょう。背理法を使うような状況は高校数学では意外と少なく、問題を見たときに背理法を利用できるかどうかを判断しやすいです。ただ、背理法は、独特な証明方法なので、まずはロジックを理解することに努めましょう。

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背理法について

ある命題によっては、真偽の判断や証明がどうしても難しいものがあります。しかし、そのような命題に対して、対偶を利用すれば真偽を判断できることをすでに学習しています。

参考 集合と論理|逆、裏、対偶について

今回は、命題の証明に背理法を使う方法を学習します。

背理法について

背理法とは、ある命題の証明をするために、結論が正しくないと仮定して、そこから矛盾を引き出し、結論が正しいとする証明方法のことです。

これまでの証明問題であれば、与えられた条件から結論が成り立つことを示しました。しかし、背理法では、命題の結論が正しくないと仮定、つまり結論の否定が正しいと仮定します。

結論の否定が正しいと仮定すると、当然ながら途中で矛盾が生じてしまいます。矛盾が生じたのは、最初の仮定が間違っているからで、裏を返せばもとの結論は正しいと言えます。これが背理法のロジックです。

背理法は、これまでの証明が直接的であるのに対して、間接的な証明方法になります。また、背理法を上手に利用するために、命題から結論を正しく読み取り、結論の否定をつくらなければなりません。条件の否定は、補集合や命題の裏でも学習したので、しっかり復習できていれば簡単に求めることができるでしょう。

参考 集合と論理|共通部分・和集合・補集合について
参考 集合と論理|逆、裏、対偶について

背理法の有効性

背理法は、命題を直接的に証明するのが難しいときに利用する方法です。たとえば「ある数が無理数である」ことの証明は非常に難しいです。無理数が有理数ではない実数だからです。

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「これが無理数だ」と言えないので、直接的に証明することができそうにありません。このような証明では背理法が特に有効です。

背理法の興味深いところは、結論の否定を仮定として扱うので必ず矛盾が生じるところです。与えられた命題は、証明自体は難しくても真であることは確かなので、結論の否定を仮定としても矛盾が起こるのは当たり前です。その矛盾でもって「結論の否定は間違っている」つまり「もとの結論の方が正しい」と話を持っていくわけです。

背理法のロジックを理解しよう
命題「 $p \Rightarrow q$ 」の証明

  1. $\bar{q}$ を仮定とする。
  2. 仮定をもとに話を進める。
  3. 途中で矛盾が生じる。
  4. 矛盾が生じたのは最初の仮定 $\bar{q}$ が間違っている、つまり、結論 $q$ は正しい。
  5. よって命題は成り立つ。

命題を直接的ではなく間接的に証明するので、何だか回りくどいと感じるかもしれません。ただ、結論の否定を仮定にしても矛盾が生じるのは確かなので、命題が絶対に成り立たないことは示せます。

背理法の有効性

背理法に近いものには、対偶による命題の真偽判定があります。これらは間接的ではありますが、物事を視点を変えて捉える方法論の1つです。ですから、客観性や柔軟性を養うにはちょうど良い事柄だと思います。

物事を多角的な視点から捉える能力は、初見の問題やレベルの高い問題では重宝するので、しっかり鍛えておきたい。

背理法を使った証明の一例

背理法を使った証明に「ある数が無理数である」ことの証明があります。無理数であることの証明と言えば背理法と言われるくらい有名です。

背理法を使った証明の流れを確認してみましょう。

背理法を使った証明の一例
「 $a$ が有理数、$b$ が無理数であるとき、$a+b$ が無理数である」ことの証明

命題の結論は「 $a+b$ が無理数である」なので、その否定は「 $a+b$ が有理数である」です。$a+b$ が有理数であるので、有理数 $c$ を使って $a+b=c$ と表します

$a+b=c$ について、式を変形してみましょう。

\begin{align*}
a+b &= c \\[ 5pt ]
b &= c-a
\end{align*}

$a+b=c$ は等式なので、式変形をしても等式が成り立つはずです。しかし、左辺の $b$ は無理数であるのに対して、右辺の $c-a$ は有理数です。

無理数と有理数が等しくなるわけがないので、この等式は矛盾した等式です。つまりこの式を導くことが矛盾を示すことになります。

矛盾を示すには、(無理数) = (有理数)を導く。

このような矛盾が生じたのは「 $a+b$ が有理数である」と仮定したことが原因です。ですから、この仮定自体が間違っていると言えます。このことから、命題が成り立つには、否定する前の結論「 $a+b$ が無理数である」が正しいことが分かります。

矛盾を示し、自分の設定した仮定を取り下げれば証明は終了ですが、最後に問題文の文言をそのまま付け加えて体裁を整えましょう。解答例は以下のようになります。

背理法を使った証明の例

証明問題では目標(=結論)が明らかです。ですからどのように証明していくかを結論から遡って考えてみると、無駄のない答案作成ができます。無理数の例で言えば、有理数という仮定で矛盾を生じさせるには、無理数 $b$を上手く使う必要があります。そのために「(無理数) = (有理数)」の式を作りました。

次は実際に問題を解いてみましょう。

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