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複素数と方程式|2次方程式の解の種類の判別について

数学II

今回は、2次方程式の解の種類の判別について学習しましょう。2次方程式の解の種類を判別するとき、判別式に未知の数(文字)が存在すると、解の種類が一意に定まりません。そのようなときには、場合分けすることで、解の種類を判別しなければなりません。

場合分けに苦手意識を持っていると難しく感じるかもしれませんが、問題の趣旨を理解すれば場合分けする意味も分かってくるはずです。

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2次方程式の解の種類の判別

2次方程式の解の種類は、判別式の値によって判別することができます。判別式は、解の公式で得られる解において根号の中の式です。

どうして根号の中の式に注目するかと言うと、負の数の平方根は存在しないからです。このことから、判別式の値を利用して、解の種類を判別することが可能になります。

解の公式において、根号の中にある式に注目します。

解の公式と判別式
\begin{align*}
&\text{2次方程式 $ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0$ の解は} \\[ 5pt ]
&\quad x= \frac{-b \pm \sqrt{b^{\scriptsize{2}}-4ac}}{2a} \\[ 7pt ]
&\text{ここで、} \\[ 5pt ]
&\quad D = b^{\scriptsize{2}}-4ac \\[ 7pt ]
&\text{とおくと} \\[ 5pt ]
&\quad x= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
\end{align*}

一般に、根号の中にある式を、D で表し、判別式と呼びます。2次方程式の解の種類を判別する式だから「判別式」と言います。

判別式=2次方程式の解の種類を判別するための式

2次方程式の解を、判別式の値に応じて分類します。これまでと異なるのは、判別式の値が負のときです。まとめると以下のようになります。

2次方程式の解と判別式
\begin{align*}
&\quad x= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \\[ 10pt ]
&(1) \quad D \gt 0 \ \Longleftrightarrow \ \text{異なる2つの実数解をもつ} \\[ 7pt ]
&(2) \quad D = 0 \ \Longleftrightarrow \ \text{重解をもつ} \\[ 7pt ]
&(3) \quad D \lt 0 \ \Longleftrightarrow \ \text{異なる2つの虚数解をもつ} \\[ 10pt ]
&\text{なお、(1)と(2)をまとめて} \\[ 7pt ]
&\quad D \geqq 0 \ \Longleftrightarrow \ \text{実数解をもつ} \\[ 10pt ]
&\text{また、(3)について、2つの虚数解は互いに共役な複素数}
\end{align*}

矢印が右向きと左向きの両方なので、仮定と結論が入れ替わっても成り立ちます。また、1次の項の係数が偶数のとき、判別式は以下のように表せます。

判別式(応用)
\begin{align*}
&\text{2次方程式 $ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0$ の解は} \\[ 5pt ]
&\quad x= \frac{-b \pm \sqrt{b^{\scriptsize{2}}-4ac}}{2a} \\[ 7pt ]
&\text{ここで、} \\[ 5pt ]
&\quad D = b^{\scriptsize{2}}-4ac \\[ 7pt ]
&\text{とおく。} \\[ 5pt ]
&\text{$b=2b’$ のとき} \\[ 5pt ]
&\quad D = \bigl(2b’ \bigr)^{\scriptsize{2}}-4ac \\[ 7pt ]
&\quad \ = 4b’^{\scriptsize{2}}-4ac \\[ 7pt ]
&\text{両辺を4で割ると} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{D}{4} = b’^{\scriptsize{2}}-ac
\end{align*}

1次の項の係数が偶数のとき、判別式を4で割っても、判別式の値の正負には影響しないことを利用しています。

解の種類の判別

次の例題を解いてみましょう。

例題
\begin{align*}
&\text{$m$ は定数とする。次の2次方程式の解の種類を判別せよ。} \\[ 10pt ]
&(1) \quad 2x^{\scriptsize{2}}+8x+m = 0 \\[ 7pt ]
&(2) \quad mx^{\scriptsize{2}}-2(m-2)x+1 = 0
\end{align*}

2次方程式の係数や定数項に文字が含まれることに気付きます。公式から分かるように、解や判別式は、係数や定数項を用いて表されます。ですから、係数や定数項に文字が含まれていると、解や判別式にも文字が含まれることが予想できます。

例題(1)の解答・解説

例題(1)
\begin{align*}
&\text{$m$ は定数とする。次の2次方程式の解の種類を判別せよ。} \\[ 10pt ]
&(1) \quad 2x^{\scriptsize{2}}+8x+m = 0
\end{align*}

2次方程式の解の種類を判別するには、判別式を用います。与式の係数や定数項を判別式に代入します。

例題(1)の解答例①
\begin{align*}
&\text{与式の判別式を $D$ とすると} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{D}{4}=4^{\scriptsize{2}}-2 \cdot m \\[ 5pt ]
&\qquad =16-2m \\[ 5pt ]
&\qquad = -2 \bigl(m-8 \bigr)
\end{align*}

判別式は、文字 m についての1次式で表されます。このことから、解の種類は文字 m の値の範囲によって決まることが分かります。ですから、文字 m の値の範囲について場合分けする必要があります。

まず、2次方程式が異なる2つの実数解をもつときです。文字 m の値の範囲を求めるには、1次不等式を解く必要があります。

例題(1)の解答例②
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\quad \frac{D}{4}= -2 \bigl(m-8 \bigr) \\[ 5pt ]
&\text{$D \gt 0$ となるのは} \\[ 5pt ]
&\quad -2 \bigl(m-8 \bigr) \gt 0 \quad \text{すなわち} \quad m \lt 8 \\[ 5pt ]
&\text{のときで、このとき与式は異なる2つの実数解をもつ。}
\end{align*}

次は、2次方程式が重解をもつときです。

例題(1)の解答例③
\begin{align*}
&\text{$D = 0$ となるのは} \\[ 5pt ]
&\quad -2 \bigl(m-8 \bigr) = 0 \quad \text{すなわち} \quad m = 8 \\[ 5pt ]
&\text{のときで、このとき与式は重解をもつ。}
\end{align*}

最後に、2次方程式が異なる2つの虚数解をもつときです。

例題(1)の解答例④
\begin{align*}
&\text{$D \lt 0$ となるのは} \\[ 5pt ]
&\quad -2 \bigl(m-8 \bigr) \lt 0 \quad \text{すなわち} \quad m \gt 8 \\[ 5pt ]
&\text{のときで、このとき与式は異なる2つの虚数解をもつ。} \\[ 5pt ]
&\text{したがって} \\[ 5pt ]
&\quad \text{$m \lt 8$ のとき、異なる2つの実数解をもつ。} \\[ 5pt ]
&\quad \text{$m = 8$ のとき、重解をもつ。} \\[ 5pt ]
&\quad \text{$m \gt 8$ のとき、異なる2つの虚数解をもつ。}
\end{align*}

このように、判別式が文字を含む式で表される場合、場合分けによって解の種類を判別します。

例題(2)の解答・解説

例題(2)
\begin{align*}
&\text{$m$ は定数とする。次の2次方程式の解の種類を判別せよ。} \\[ 10pt ]
&(2) \quad mx^{\scriptsize{2}}-2(m-2)x+1 = 0
\end{align*}

判別式を利用するのは例題(1)と同じですが、問題文と与式をよく把握しましょう。与式は2次方程式なので、文字 m の値は何でも良いわけではありません。

例題(2)の解答例①
\begin{align*}
&\text{与式は2次方程式であるので} \\[ 5pt ]
&\quad m \neq 0 \quad \text{…①}
\end{align*}

2次の項の係数に文字が含まれているときは要注意です。

例題(1)と同じように、与式の係数や定数項を判別式に代入します。計算ミスに気を付けましょう。

例題(2)の解答例②
\begin{align*}
&\text{与式の判別式を $D$ とすると} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{D}{4}=\Bigl\{-\bigl( m-2 \bigr) \Bigr\}^{\scriptsize{2}}-m \cdot 1 \\[ 5pt ]
&\qquad =m^{\scriptsize{2}}-4m+4-m \\[ 5pt ]
&\qquad =m^{\scriptsize{2}}-5m+4 \\[ 5pt ]
&\qquad = \bigl( m-1 \bigr) \bigl(m-4 \bigr)
\end{align*}

判別式は、文字 m についての2次式で表されます。文字 m の値の範囲で場合分けする必要があるので、因数分解しておきましょう。

まず、2次方程式が異なる2つの実数解をもつときです。文字 m の値の範囲を求めるには、2次不等式を解く必要があります。

例題(2)の解答例③
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\quad \frac{D}{4}= \bigl( m-1 \bigr) \bigl(m-4 \bigr) \\[ 5pt ]
&\text{$D \gt 0$ となるのは} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl( m-1 \bigr) \bigl(m-4 \bigr) \gt 0 \quad \text{すなわち} \quad m \lt 1 \ , \ 4 \lt m \\[ 5pt ]
&\text{のときで、これと①より} \\[ 5pt ]
&\quad m \lt 0 \ , \ 0 \lt m \lt 1 \ , \ 4 \lt m \\[ 5pt ]
&\text{のとき、与式は異なる2つの実数解をもつ。}
\end{align*}

条件①を必ず満たさなければなりません。条件①を加味した範囲にしましょう。次は、2次方程式が重解をもつときです。

例題(2)の解答例④
\begin{align*}
&\text{$D = 0$ となるのは} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl( m-1 \bigr) \bigl(m-4 \bigr) = 0 \quad \text{すなわち} \quad m = 1 \ , \ 4 \\[ 5pt ]
&\text{のときで、これは①を満たす。} \\[ 5pt ]
&\text{よって、$m = 1 \ , \ 4$ のとき、与式は重解をもつ。}
\end{align*}

最後に、2次方程式が異なる2つの虚数解をもつときです。

例題(2)の解答例⑤
\begin{align*}
&\text{$D \lt 0$ となるのは} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl( m-1 \bigr) \bigl(m-4 \bigr) \lt 0 \quad \text{すなわち} \quad 1 \lt m \lt 4 \\[ 5pt ]
&\text{のときで、これは①を満たす。} \\[ 5pt ]
&\text{よって、$1 \lt m \lt 4$ のとき与式は異なる2つの虚数解をもつ。} \\[ 5pt ]
&\text{したがって} \\[ 5pt ]
&\quad \text{$m \lt 0 \ , \ 0 \lt m \lt 1 \ , \ 4 \lt m$ のとき、異なる2つの実数解をもつ。} \\[ 5pt ]
&\quad \text{$m = 1 \ , \ 4$ のとき、重解をもつ。} \\[ 5pt ]
&\quad \text{$1 \lt m \lt 4$ のとき、異なる2つの虚数解をもつ。}
\end{align*}

文字 m の値の範囲を数直線に表わしてみましょう。与式が2次方程式にはならない値($m=0$)を除くすべての実数について吟味されていることが分かります。

例題(2)では、「与式が2次方程式である」ことから、「2次の係数は0ではない」という条件が得られることに気付かなければなりません。意外と取りこぼす条件なので注意しましょう。

与式が2次方程式のとき、2次の係数は0ではない。

次は、2次方程式の解の種類の判別を扱った問題を実際に解いてみましょう。

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