熱中症に気をつけよう! 数学の公式・定理集あります。物理のヒント集始めました。
スポンサーリンク

複素数と方程式|2次方程式の整数解について

数学2 複素数と方程式 解と係数の関係数学II

今回は、2次方程式の整数解について学習しましょう。2次方程式の解について、特定の条件が与えられており、そのときの係数や定数項を定めるのがここでの主題です。

解と係数の関係について、様々な事柄を学習してきましたが、この単元が最後となります。応用的な内容で難しく感じるかもしれませんが、じっくり取り組みましょう。

スポンサーリンク

2次方程式の整数解

2次方程式が整数解をもつような係数や定数項を求める問題では、一般に、解法が2つあります。

方程式の整数解

  • (整数)×(整数)=(整数)の形にする。
  • 不等式で範囲を絞り込む。

基本的な方針としては、「(整数)×(整数)=(整数)」の形にする解法を優先しましょう。

(整数)×(整数)=(整数)の形にする解法

(整数)×(整数)=(整数)」の形にする解法は、整数の組を求める問題でよく利用されます。

ただ、注意したいのは与えられた2次方程式を使って、「(整数)×(整数)=(整数)」の形にするわけではないことです。解と係数の関係を利用して、新たに2つの整数解α,βについての方程式を導く必要があります。この方程式を変形して、「(整数)×(整数)=(整数)」の形にします。

やはり解と係数の関係を利用します。求めるものが係数や定数項で、解に関する情報が提示してあれば、解と係数の関係を利用できないかを考えることが大切です。

不等式で範囲を絞り込む解法

不等式で範囲を絞り込む解法では、判別式を利用します。整数解は実数解であるので、判別式の値が0以上であると言えます。

判別式の値が0以上であるという条件から、係数についての不等式が得られます。この不等式を満たす整数解を求め、その中から2次方程式が整数解をもつものを絞り込んでいきます。

ただし、この解法では、判別式の条件から得られた不等式の解が無数にある場合があります。このような場合、不等式の解、つまり係数の候補が無数にあるせいで、2次方程式が整数解をもつときの係数を絞り込むことができません

不等式で範囲を絞り込む解法は、上手くいく場合とそうでない場合があるということです。ですから、こちらの解法は次善の策にしておいた方が無難です。

2次方程式の整数解を扱った例題

次の例題を考えてみましょう。

例題
\begin{align*}
&\text{$x$ に関する2次方程式 $x^{\scriptsize{2}}-(m-7)x+m=0$ がともに} \\[ 5pt ]
&\text{正の整数であるとき、$m$ の値とそのときの解を求めよ。}
\end{align*}

例題の解答・解説

求めたいのは、係数や定数項にある文字 m の値です。それに加えて、2次方程式の解も求めます。

2次方程式の解についての条件があり、求めたいのは係数や定数項にある文字 m の値です。ですから、解と係数の関係を利用します。

例題の解答例①
\begin{align*}
&\text{2次方程式 $x^{\scriptsize{2}}-(m-7)x+m=0$ の2つの解を $\alpha \ , \ \beta \ (\alpha \leqq \beta)$} \\[ 5pt ]
&\text{とすると、解と係数の関係より} \\[ 5pt ]
&\quad \alpha+\beta=m-7 \ , \ \alpha \beta=m
\end{align*}

解と係数の関係から、α,βについての式を導くことができました。これらはともに文字 m を共通にもちます。このことに注目すると、α,βについての方程式を新たに導くことができます。

例題の解答例②
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\quad \alpha+\beta=m-7 \ , \ \alpha \beta=m \\[ 7pt ]
&\text{$m$ を消去すると} \\[ 5pt ]
&\quad \alpha+\beta=\alpha \beta-7
\end{align*}

α,βについての方程式を変形して、「(整数)×(整数)=(整数)」の形にします。

例題の解答例③
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\quad \alpha+\beta=\alpha \beta-7 \\[ 7pt ]
&\text{これを変形して} \\[ 5pt ]
&\quad \alpha \beta-\bigl( \alpha+\beta \bigr)=7 \\[ 7pt ]
&\text{より} \\[ 5pt ]
&\quad \alpha \beta-\bigl( \alpha+\beta \bigr)+1=8 \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl( \alpha-1 \bigr) \bigl( \beta-1 \bigr)=8 \quad \text{…①}
\end{align*}

ようやく「(整数)×(整数)=(整数)」の形を得ることができました。

(αの1次式)×(βの1次式)=(整数)の形を作ろう。

ここで、2次方程式の解についての条件を確認しておきます。解の条件は正の整数であることです。このことから、①式の左辺について、2つの整数α-1,β-1についての条件を導くことができます。

例題の解答例④
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\quad \bigl( \alpha-1 \bigr) \bigl( \beta-1 \bigr)=8 \quad \text{…①} \\[ 7pt ]
&\text{$\alpha \ , \ \beta$ は正の整数であるので、$\alpha-1 \ , \ \beta-1$ は} \\[ 5pt ]
&\quad \alpha-1 \geqq 0 \ , \ \beta-1 \geqq 0 \\[ 7pt ]
&\text{を満たす整数である。} \\[ 5pt ]
&\text{また、$\alpha \leqq \beta$ も考慮すると} \\[ 5pt ]
&\quad \alpha-1 \leqq \beta-1
\end{align*}

この条件を考慮して、整数α-1,β-1の組を書き出します。右辺が8なので、8の正の約数を考えましょう。

例題の解答例⑤
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\text{よって、①を満たす $\alpha-1 \ , \ \beta-1$ の組は} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl( \alpha-1 \ , \ \beta-1 \bigr)=\bigl( 1 \ , \ 8 \bigr) \ , \ \bigl( 2 \ , \ 4 \bigr)
\end{align*}

αとβの組を求めます。

例題の解答例⑤
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\quad \bigl( \alpha-1 \ , \ \beta-1 \bigr)=\bigl( 1 \ , \ 8 \bigr) \ , \ \bigl( 2 \ , \ 4 \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{すなわち} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl( \alpha \ , \ \beta \bigr)=\bigl( 2 \ , \ 9 \bigr) \ , \ \bigl( 3 \ , \ 5 \bigr)
\end{align*}

最後に、文字 m の値を忘れずに求めます。

例題の解答例⑥
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\quad m= \alpha \beta \\[ 7pt ]
&\text{より} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl( \alpha \ , \ \beta \bigr)=\bigl( 2 \ , \ 9 \bigr) \ \text{のとき} \quad m=18 \\[ 7pt ]
&\quad \bigl( \alpha \ , \ \beta \bigr)=\bigl( 3 \ , \ 5 \bigr) \ \text{のとき} \quad m=15 \\[ 7pt ]
&\text{したがって} \\[ 5pt ]
&\quad \text{解が $x=2 \ , \ 9$ のとき} \quad m=18 \\[ 7pt ]
&\quad \text{解が $x=3 \ , \ 5$ のとき} \quad m=15
\end{align*}

整数の組を求めるとき、解の条件を利用しないと、不必要な整数の組まで求めることになるので注意しましょう。解の条件を上手に利用すれば、最低限の労力で整数の組を書き出すことができます。

例題の別解例

2次方程式を変形して、解が正の整数であることを利用して解くこともできます。

例題の別解例
\begin{align*}
&\text{2次方程式を変形すると} \\[ 5pt ]
&\quad m \bigl(x-1\bigr)=x^{\scriptsize{2}}+7x \\[ 7pt ]
&\text{右辺について、$x$ が正の整数ならば右辺は正となる。} \\[ 5pt ]
&\text{これより左辺について、$x \neq 1$ であり、$m$ も正の整数である。} \\[ 5pt ]
&\text{両辺を $x-1 \ (\neq0)$ で割ると} \\[ 5pt ]
&\quad m =\frac{x^{\scriptsize{2}}+7x}{x-1} \\[ 7pt ]
&\text{右辺の分子を変形して} \\[ 5pt ]
&\quad m =\frac{(x-1)(x+8)+8}{x-1} \\[ 7pt ]
&\text{より} \\[ 5pt ]
&\quad m =x+8+\frac{8}{x-1} \quad \text{…①} \\[ 7pt ]
&\text{ここで、$m$ は正の整数であるので、右辺の分数も正の整数となる。} \\[ 5pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad x-1=1 \ , \ 2 \ , \ 4 \ , \ 8 \\[ 7pt ]
&\text{すなわち} \\[ 5pt ]
&\quad x=2 \ , \ 3 \ , \ 5 \ , \ 9 \\[ 7pt ]
&\text{このとき、①より $m$ は順に} \\[ 5pt ]
&\quad m=18 \ , \ 15 \ , \ 15 \ , \ 18 \\[ 7pt ]
&\text{したがって} \\[ 5pt ]
&\quad \text{解が $x=2 \ , \ 9$ のとき} \quad m=18 \\[ 7pt ]
&\quad \text{解が $x=3 \ , \ 5$ のとき} \quad m=15
\end{align*}

2次方程式の解が正の整数であるという条件を上手に利用すると、別解例のような解き方もできます。分数の変形がやや難しいですが、この解法もぜひ覚えておきましょう。

不等式で範囲を絞り込む解法で解く

不等式で範囲を絞り込む解法で例題を解いてみましょう。この解法では、判別式の条件を利用します。

不等式で範囲を絞り込む解法では上手くいかない例
\begin{align*}
&\text{2次方程式の解がともに正の整数ならば、解はともに実数解である。} \\[ 5pt ]
&\text{2次方程式の判別式を $D$ とすると} \\[ 5pt ]
&\quad D = \Bigl\{-\bigl(m-7\bigr)\Bigr\}^{\scriptsize{2}}-4 \cdot 1 \cdot m \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad D = m^{\scriptsize{2}}-18m+49 \\[ 7pt ]
&\text{$D \geqq 0$ より} \\[ 5pt ]
&\quad m^{\scriptsize{2}}-18m+49 \geqq 0 \\[ 7pt ]
&\text{これを解くと} \\[ 5pt ]
&\quad m \leqq 9-4\sqrt{2} \ , \ 9+4\sqrt{2} \leqq m \quad \text{…①} \\[ 7pt ]
&\text{解と係数の関係から $m$ は正の整数であることが分かるが、} \\[ 5pt ]
&\text{①では $m$ が定まらない。}
\end{align*}

判別式の条件から得られる不等式の解では、上記のように文字 m の値が無数にある場合があります。このような場合、途中で行き詰ってしまいます。もちろん、この解法で上手くいく場合もあるので、全く無視して良いわけではありません。

次は、2次方程式の整数解を扱った問題を実際に解いてみましょう。

スポンサーリンク
Amazon ノート・メモ帳ランキング
楽天市場 学習参考書ランキング
スポンサーリンク
スポンサーリンク
気になる教材があればコチラで探せます。
数学II
この記事が気に入ったら
いいね!しよう
最新情報をお届けします。
フォローする
ちょっとど忘れしたときの公式・定理集

数学で覚えるべき公式や定理は、一覧で眺めてみるとそれほど多くはありません。大切なことは覚えることではなく、「公式や定理をどのように使うか」です。

公式・定理集で確認しつつ、演習で積極的に使っていきましょう。

日々是鍛錬 ひびこれたんれん
タイトルとURLをコピーしました