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複素数と方程式|2つの数を解とする2次方程式の作成について

数学2 複素数と方程式 解と係数の関係 数学II

今回は、2つの数を解とする2次方程式の作成について学習しましょう。2つの数が解として与えられると、2次方程式の1つを作成できます。また、和と積が与えられると、2次方程式を作成することによって、2つの数を求めることができます。

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2つの数を解とする2次方程式の作成

2次式の因数分解で学習したように、2次方程式の解が分かっていれば、左辺の2次式を解を用いて表すことができます。

2次方程式の左辺の因数分解①
\begin{align*}
&\text{2次方程式 $ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0$ の2つの解を $\alpha \ , \ \beta$ とする。} \\[ 5pt ]
&\text{このとき、2次方程式の左辺は} \\[ 5pt ]
&\quad ax^{\scriptsize{2}}+bx+c = a \bigl( x-\alpha \bigr) \bigl( x-\beta \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{と因数分解できる。}
\end{align*}

つまり、解が分かれば、左辺の2次式の因数が分かるということです。

2次方程式の左辺の因数分解②
\begin{align*}
&\text{2次方程式 $ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0$ が2つの解 $\alpha \ , \ \beta$ をもつとき、} \\[ 5pt ]
&\text{2次方程式の左辺は} \\[ 5pt ]
&\quad x-\alpha \ , \ x-\beta \\[ 7pt ]
&\text{を因数にもつ。}
\end{align*}

これらをもとにすると、2つの数を解とする2次方程式の1つは以下のように表すことができます。

2次方程式の作成①
\begin{align*}
&\text{2つの数 $\alpha \ , \ \beta$ を解とする2次方程式の1つは} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl( x-\alpha \bigr) \bigl( x-\beta \bigr)=0 \\[ 7pt ]
&\text{すなわち} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}-\bigl( \alpha+\beta \bigr)x+\alpha \beta=0 \\[ 7pt ]
&\text{と表せる。}
\end{align*}

2つの数を解とする2次方程式の1つ」と言っているように、あくまでも一例です。係数が異なっていても題意を満たすことがあります。

以上のことから、2つの数が解として与えられている場合、2次方程式の1つを作成するには、1次の項の係数と定数項を求めてしまえば良いことが分かります。

2つの数を解とする2次方程式の作成
2つの数の和と積を求めれば良い。和が1次の項の係数で、積が定数項となる。

例題を解いてみましょう。

例題(1)
\begin{align*}
&\text{次の2数を解とする2次方程式を1つ作れ。} \\[ 5pt ]
&\quad -1 \ , \ 3
\end{align*}

例題(1)の解答・解説

2つの数が解として与えられています。これらの和と積を求めます。

例題(1)の解答例①
\begin{align*}
&\text{2数の和と積を求めると、} \\[ 5pt ]
&\quad -1+3=2 \ , \ -1 \cdot 3 =-3
\end{align*}

和が1次の項の係数になり、積が定数項となります。

例題(1)の解答例②
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\quad -1+3=2 \ , \ -1 \cdot 3 =-3 \\[ 7pt ]
&\text{よって、求める2次方程式の1つは} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}-2x+\bigl( -3 \bigr)=0 \\[ 7pt ]
&\text{したがって} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}-2x-3=0
\end{align*}

代入するとき、符号ミスをしないように気を付けましょう。

和・積が与えられた2つの数の求め方

2つの数の値は不明ですが、それらの和や積が与えられる場合があります。和や積から、2つの数を求めよという問題です。

このような問題では、2つの数を2次方程式の解と見立てることで解決します。2次方程式の係数や定数項は、2つの解の和や積に対応することに着目します。

2つの数の和と積から2次方程式を作ることができます。この方程式を解くと、2つの解が得られます。この2つの解が、値が不明な2つの数となります。

2次方程式の作成②
\begin{align*}
&\text{和が $p$ 、積が $q$ となる2つの数は、2次方程式} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}-px+q=0 \\[ 7pt ]
&\text{の2つの解となる。}
\end{align*}

2次方程式を作るとき、係数が分数になることがあります。このような場合には、両辺に適当な数を掛けて、最も簡単な整数を係数とする方程式にするのが一般的です。

例題を解いてみましょう。

例題(2)
\begin{align*}
&\text{和と積が次のようになる2数を求めよ。} \\[ 5pt ]
&\quad \text{和が $2$、積が $-2$}
\end{align*}

例題(2)の解答・解説

和と積が与えられています。題意を満たす2数の組み合わせを地道に探すのもありですが、意外と時間が掛かります。簡単には見つからない組み合わせであることも多いです。そこで2次方程式を作って解を求めます。

例題(2)の解答例①
\begin{align*}
&\text{和が $2$、積が $-2$となる2数は、2次方程式} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}-2x-2 = 0 \\[ 7pt ]
&\text{の2つの解に等しい。} \\[ 5pt ]
&\text{これを解くと} \\[ 5pt ]
&\quad x=\frac{-(-1) \pm \sqrt{ (-1)^{\scriptsize{2}}-1 \cdot (-2) }}{1} \\[ 7pt ]
&\text{より} \\[ 5pt ]
&\quad x = 1 \pm \sqrt{3}
\end{align*}

2つの解を得ることができました。念のために題意を満たすか確認しておきます(実際には解答例②を記述せず、暗算で確認します)。

例題(2)の解答例②
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\quad x = 1 \pm \sqrt{3} \\[ 7pt ]
&\text{2つの解の和と積を求めると、} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl( 1-\sqrt{3} \bigr)+\bigl( 1+\sqrt{3} \bigr)=2 \\[ 7pt ]
&\quad \bigl( 1-\sqrt{3} \bigr) \bigl( 1+\sqrt{3} \bigr)=1-3=-2 \\[ 7pt ]
\end{align*}

2つの解が題意を満たすことが確認できました。この2つの解が、求めたかった2数となります。

例題(2)の解答例③
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\text{したがって、求める2数は} \\[ 5pt ]
&\quad 1 – \sqrt{3} \ , \ 1 + \sqrt{3}
\end{align*}

平方根を含むような2数なので、簡単には見つからない組み合わせです。

例題(2)では、2つの数の組み合わせを、2次方程式を利用して求めています。2次方程式を利用できるのも、2つの解の和と積が係数や定数項に関係するからです。

和と積が与えられた2数の求め方
和と積が与えられた2数を求めるには、2次方程式を作って解を求めれば良い。2つの解が求めたい2数。

次は、2つの数を解とする2次方程式の作成を扱った問題を実際に解いてみましょう。

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