複素数と方程式|2つの数を解とする2次方程式の作成について

数学2

2つの数を解とする2次方程式の作成を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

\begin{align*} &\text{$2$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\quad 2x^{\scriptsize{2}}-x+3=0 \\[ 7pt ] &\text{の $2$ つの解を} \\[ 5pt ] &\quad \alpha \ , \ \beta \\[ 7pt ] &\text{とするとき、$2$ 数} \\[ 5pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}} \ , \ {\beta}^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\text{を解とする $2$ 次方程式を} \\[ 5pt ] &\text{$1$ つ作れ。} \end{align*}

問題文を注意深く読み、与えられた式や数の関係を理解しましょう。

問の解答・解説

α,βは、予め与えられた2次方程式の解です。α,βは、これから作る2次方程式の解ではありません。

これから作る2次方程式の解はα2,β2です。きちんと区別しましょう。

情報を整理して、対応関係を把握しよう

  • α,β :2次方程式2x2-x+3=0の解
  • α2,β2 : これから作る2次方程式の解

とりあえず、混乱を避けるために、求めたい2次方程式を作ってしまいます。

問の解答例 1⃣

\begin{align*} &\text{${\alpha}^{\scriptsize{2}} \ , \ {\beta}^{\scriptsize{2}}$ を解とする $2$ 次方程式の $1$ つは} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}-\left({\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}} \right)x+{\alpha}^{\scriptsize{2}} {\beta}^{\scriptsize{2}}=0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\text{と表せる。} \end{align*}

①式から、2次方程式を決定するには、1次の項の係数と定数項を求めれば良いことが分かります。これらを求めるには、α,βの値が必要です。しかし、α,βの値を個別に求める必要はありません。

和や積を見て気付くのは、解と係数の関係です。与えられた2次方程式を利用すると、α,βの値自体を知ることはできませんが、α,βの和と積を求めることができます。

問の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\text{ここで、$2$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\quad 2x^{\scriptsize{2}}-x+3=0 \\[ 7pt ] &\text{において、解と係数の関係より} \\[ 5pt ] &\quad \alpha + \beta= -\frac{-1}{2} =\frac{1}{2} \quad \cdots \text{②} \\[ 7pt ] &\quad \alpha \beta= \frac{3}{2} \quad \cdots \text{③} \end{align*}

解と係数の関係から、α,βの和と積を求めることができました。これらを利用して、①式の係数や定数項を求めます。

問の解答例 3⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}-\left({\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}} \right)x+{\alpha}^{\scriptsize{2}} {\beta}^{\scriptsize{2}}=0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\quad \alpha + \beta= -\frac{-1}{2} =\frac{1}{2} \quad \cdots \text{②} \\[ 7pt ] &\quad \alpha \beta= \frac{3}{2} \quad \cdots \text{③} \\[ 7pt ] &\text{①において} \\[ 5pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}} = \left(\alpha+\beta \right)^{\scriptsize{2}}-2\alpha \beta \\[ 7pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}} {\beta}^{\scriptsize{2}} = \left(\alpha \beta \right)^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\text{となるので、②,③より} \\[ 5pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}} = \left(\frac{1}{2} \right)^{\scriptsize{2}}-2 \cdot \frac{3}{2} = -\frac{11}{4} \\[ 7pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}} {\beta}^{\scriptsize{2}} = \left(\frac{3}{2} \right)^{\scriptsize{2}} =\frac{9}{4} \end{align*}

これで①式の係数と定数項を求めることができました。これらを①式に代入します。

問の解答例 4⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}-\left({\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}} \right)x+{\alpha}^{\scriptsize{2}} {\beta}^{\scriptsize{2}}=0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}} = \left(\frac{1}{2} \right)^{\scriptsize{2}}-2 \cdot \frac{3}{2} = -\frac{11}{4} \\[ 7pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}} {\beta}^{\scriptsize{2}} = \left(\frac{3}{2} \right)^{\scriptsize{2}} =\frac{9}{4} \\[ 7pt ] &\text{これらを①に代入すると} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}-\left(-\frac{11}{4} \right)x+\frac{9}{4}=0 \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}+\frac{11}{4} x+\frac{9}{4}=0 \\[ 7pt ] &\text{両辺に $4$ を掛けると} \\[ 5pt ] &\quad 4x^{\scriptsize{2}}+11x+9 = 0 \end{align*}

問のように、作った2次方程式の係数や定数項が分数になることがあります。このような場合には、適当な数を両辺に掛けて、できるだけ簡単な整数にします。

「2数がどのような等式を満たすか」から2次方程式を作成する

問について別な視点から考えてみましょう。問において、α,βは、与えられた2次方程式の解です。ですから、方程式に解α,βを代入したとき、等式が成り立ちます。

問の別解例 1⃣

\begin{align*} &\text{$\alpha \ , \ \beta$ は $2$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\quad 2x^{\scriptsize{2}}-x+3=0 \\[ 7pt ] &\text{の解であるので、等式} \\[ 5pt ] &\quad 2{\alpha}^{\scriptsize{2}}-{\alpha}+3=0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad 2{\beta}^{\scriptsize{2}}-{\beta}+3=0 \quad \cdots \text{②} \\[ 7pt ] &\text{が成り立つ。} \end{align*}

①,②式を一般化したものが、与えられた2次方程式です。①,②式を一般化すると、同じ2次方程式になります。ですから、α,βは、与えられた2次方程式の解となるわけです。

この考え方を利用して、α2,β2がどのような等式が成り立つのかを考えれば、求めたい2次方程式を得ることができます。

問の別解例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad 2{\alpha}^{\scriptsize{2}}-{\alpha}+3=0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad 2{\beta}^{\scriptsize{2}}-{\beta}+3=0 \quad \cdots \text{②} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\text{①を変形して} \\[ 5pt ] &\quad 2{\alpha}^{\scriptsize{2}}+3={\alpha} \\[ 7pt ] &\text{両辺を $2$ 乗して整理すると} \\[ 5pt ] &\quad 4{\alpha}^{\scriptsize{4}}+11{\alpha}^{\scriptsize{2}}+9=0 \\[ 7pt ] &\text{これに ${\alpha}^{\scriptsize{2}}=\gamma$ を代入すると} \\[ 5pt ] &\quad 4{\gamma}^{\scriptsize{2}}+11{\gamma}^{\scriptsize{2}}+9=0 \quad \cdots \text{③} \\[ 7pt ] &\text{${\beta}^{\scriptsize{2}}=\delta$ についても同様に、②より} \\[ 5pt ] &\quad 4{\delta}^{\scriptsize{2}}+11{\delta}^{\scriptsize{2}}+9=0 \quad \cdots \text{④} \\[ 7pt ] &\text{が成り立つ} \\[ 5pt ] &\text{③,④から $\gamma \ , \ \delta$ を解とする} \\[ 5pt ] &\text{$2$ 次方程式は} \\[ 5pt ] &\quad 4x^{\scriptsize{4}}+11x^{\scriptsize{2}}+9=0 \end{align*}

③,④式から分かるように、γ,δの部分は異なりますが、係数や定数項は同じ等式です。

このような③,④式を一般化すると、同じ2次方程式になります。このことから、γ,δは共通の2次方程式の解であると考えることができます。γ=α2,δ=β2なので、この方程式が2つの解α2,β2をもつ2次方程式になります。

方程式の解と成り立つ等式の関係を理解することが大切です。たとえば、グラフの式と座標もこの関係に相当します。

少し難しい考え方かもしれませんが、記述形式の問題では意外と出題されています。覚えておきたい事項です。

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さいごにもう一度まとめ

  • 2数を解とする2次方程式の作成では、2数の和と積を求めよう。
  • 和と積が与えられた2数は、2次方程式の解に等しいことを利用しよう。
  • 2数がどの2次方程式の解であるのかをしっかりと把握しよう。
  • どのような等式が成り立つのかを考えることで、2数を解とする2次方程式を作ることができる。