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頑張れ!受験生! 数学の公式・定理集あります。物理のヒント集始めました。
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2次関数|2次方程式の解法について

2次方程式について 数学I

今回は2次方程式の解法について学習しましょう。中学で扱った2次方程式では、そのほとんどが乗法公式を利用した因数分解で解くことができました。

しかし、高校数学では、乗法公式では因数分解のできない式の方が多くなります。もちろん、乗法公式を利用して因数分解できる式もありますが、たすき掛けを利用する場合が多いです。

全体的に扱う式が複雑になるので、式をよく観察して、どのような解法で解を求めれば良いのか判断できるようになりましょう。

なお、記事の画像が見辛いときはクリックすると拡大できます。

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2次方程式の解法は2パターン

方程式とは1つ以上の変数を含む等式のことです。この方程式のうち、2次の多項式を扱ったものを2次方程式と言います。

2次方程式の解法は2パターンです。

2次方程式の解法

  • 因数分解して解を求める
  • 解の公式を使って解を求める

式を見てすぐに判断できるようになりましょう。

2次方程式を因数分解で解く

2次方程式を因数分解するとき、その方法には2通りあります。

因数分解の方法

  • 共通因数でくくる因数分解
  • 乗法公式を利用した因数分解

共通因数や乗法公式を利用して因数分解すると、左辺の2次式は因数の積の形で表されます。

この積は右辺が $0$ であることから、因数のいずれかは必ず $0$になります。

方程式は左辺と右辺が等しい」という等式の性質を利用。

因数分解した後、等式の性質を利用することで、解を求めることができるようになります。

たとえば、2次方程式をたすき掛けで因数分解した場合、左辺が1次式の積で表されます。

\begin{align*}
&ac{x}^{2} +\left( ad + bc \right)x +bd \\[ 5pt ]
= \ &\left( ax+b \right) \left( cx+d \right)
\end{align*}

等式の性質から、左辺は右辺と等しくなるので $0$ になるはずです。左辺の積が $0$ になるということは、1次式 $ax+b \ , \ cx+d$ のどちらかは必ず $0$ にならなければなりません。

このことから以下のような等式が2つ得られます。

\begin{equation*}
ax+b = 0 \ \text{または} \ cx+d=0
\end{equation*}
どちらの1次式の値も $0$ になりうるので「または」の関係。「集合と論理」の単元で「または」の関係になっていることを利用する問題が出題されることがある。

2次方程式を因数分解し、等式の性質を利用すると、それぞれの1次式 $ax+b \ , \ cx+d$ についての条件式が得られます。これらを変数 $x$ について解いた結果が2次方程式の解です。

因数分解での解法をまとめると以下のようになります。

因数分解による2次方程式の解法

2次方程式を解の公式で解く

因数分解による解法は、等式の性質から解を求めました。それに対して解の公式を利用した解法は、2次方程式の係数や定数項を利用します。

因数分解よりも直接的な解法なので、式変形に自信がなくても解を求めることができるのが利点です。

解の公式は以下のようになります。

2次方程式の解の公式
\begin{align*}
&\text{2次方程式} \ a{x}^{2} +bx +c =0 \ \text{について、} \\[ 5pt ]
&\text{この2次方程式の解は} \\[ 5pt ]
&x = \frac{-b \pm \sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a} \\[ 5pt ]
&\text{で求めることができる。}
\end{align*}

解の公式を見て分かるように、係数や定数項を使うことで、解(変数 $x$ の値)を一気に求めることができます。

高校数学では解の公式の応用版もあります。上手に使い分けると、計算がラクになります。

解の公式

解の公式で解を求めると、約分が必要なときがあります。このようなときは基本的な解の公式ではなく、応用版を使うと約分なしで解を求めることができます

1次の項の係数が偶数かどうかで使い分けのポイント。

以上のように2通りの方法で、2次方程式を解くことができます。

基本的には、与えられた式に応じて解き方を使い分ける方針の方が良いでしょう。式の扱いに慣れるには、解の公式よりも因数分解の方が適切だからです。

まずは因数分解できないかを考えよう。解の公式は最終手段で。

解の公式を導出してみよう

ところで、解の公式はどのように導出されたのでしょうか?

分かれば大したことではないのですが、導出するにはこれまでの知識を活用する必要があります。少し面倒ですが、公式の導出にチャレンジしてみましょう。

解の公式の導出には平方完成を利用します。平方完成は、2次関数の式を標準形に変形するときに利用しました。この平方完成を利用すると、変数 $x$ について解くことができます。

\begin{align*}a{ x }^{ 2 }+bx+c &= 0 \\[ 5pt ]
a\left( { x }^{ 2 }+\frac { b }{ a } x \right) +c &= 0 \\[ 5pt ]
a\left\{ { \left( x+\frac { b }{ 2a } \right) }^{ 2 }-\frac { { b }^{ 2 } }{ 4{ a }^{ 2 } } \right\} +c &= 0 \\[ 5pt ]
a{ \left( x+\frac { b }{ 2a } \right) }^{ 2 }-\frac { { b }^{ 2 } }{ 4a } +c &= 0 \\[ 5pt ]
a{ \left( x+\frac { b }{ 2a } \right) }^{ 2 }-\frac { { b }^{ 2 }-4ac }{ 4a } &= 0 \\[ 5pt ]
a{ \left( x+\frac { b }{ 2a } \right) }^{ 2 } &= \frac { { b }^{ 2 }-4ac }{ 4a } \\[ 5pt ]
{ \left( x+\frac { b }{ 2a } \right) }^{ 2 } &= \frac { { b }^{ 2 }-4ac }{ 4{ a }^{ 2 } } \\[ 5pt ]
x+\frac { b }{ 2a } &= \pm \frac { \sqrt { { b }^{ 2 }-4ac } }{ 2a } \\[ 5pt ]
x &= -\frac { b }{ 2a } \pm \frac { \sqrt { { b }^{ 2 }-4ac } }{ 2a } \\[ 5pt ]
x &= \frac { -b\pm \sqrt { { b }^{ 2 }-4ac } }{ 2a }\end{align*}

決して難しいわけではありません。丁寧に変形していけば、きちんと導出することができます。

特に理系志望ならば理系科目を得点源にしたいところです。そうであれば、公式を自分で導出できるようにしておくべきでしょう。

解の公式を導出しよう。

解の公式に限らず、公式の導出ではこれまでに学習してきたことを利用します。そのおかげで知識を再確認できたり、他の単元との関わりに気付けたりします。そのうえ上手な式の扱い方も知ることができます。受ける恩恵が多いのが公式の導出です。

センター試験であっても、係数や定数項に文字を含む整式を扱う。意外と複雑な式を扱うので、日頃から式の扱いに慣れておこう。

2次方程式の解の意味を考えてみよう

2次方程式の解き方については中学でも学習しているので、ある程度は問題ないかと思います。ここでは、2次方程式を解いて得られる解について考えてみましょう。

2次方程式やその解は、ただの計算問題やその答えだけではありません。たとえば文章問題では、問題の中での関係を数式化したものだったり、個数や長さであったりします。

2次方程式やその解にはそれなりに意味があるということです。では、関数やグラフとの関係はどうでしょうか。

2次方程式が関数やグラフと関係するのは、関数の式で $y=0$ のときです。このときの2次方程式は、グラフと $x$ 軸との交点(共有点と言う)について考えている式です。

ですから、この2次方程式の解は、グラフと $x$ 軸との共有点の $x$ 座標になります。

2次方程式と関数やグラフとの関係

  • (2次方程式)=(関数の式で $y=0$ のときの式)
  • (2次方程式を解く)=(グラフと $x$ 軸との共有点の $x$ 座標を求める)
  • (2次方程式の)=(グラフと $x$ 軸との共有点の $x$ 座標)

このように2次方程式は関数やグラフと密接な関係があるので、2次方程式を単独で解くような問題よりも、関数やグラフの問題の中で解くことの方が多くなります。

ですから、2次方程式に出会ったら、ただの計算ではなく、関数やグラフとの関係を意識しながら扱いましょう。

2次方程式の解についてまとめると以下のようになります。

2次方程式の解の意味

次は2次方程式を実際に解いてみましょう。

2次方程式に関する問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

2次方程式を解いてみよう

式を良く観察して方針を立ててから解きましょう。

第1問の解答・解説

第1問
\begin{equation*}
2{x}^{2}-x-1=0
\end{equation*}

左辺は3項からなる2次式です。この場合、乗法公式で1次式どうしの積に因数分解するか、解の公式で直接解を求めるかのどちらかで解きます。

第1問の場合、左辺をたすき掛けで因数分解できるので、解の公式を使わずに解きます。

\begin{align*}
2{x}^{2}-x-1 &= 0 \\[ 5pt ]
\left( x-1 \right) \left( 2x+1 \right) &= 0
\end{align*}

左辺の2次式を「たすき掛け」で因数分解すると、1次式どうしの積の形になります。そして等式の性質を利用して解を求めます。

\begin{align*}
&\vdots \\[ 5pt ]
&x-1=0 \ \text{または} \ 2x+1=0 \\[ 5pt ]
&\text{これらを解くと} \\[ 5pt ]
&\therefore \ x= \ -\frac{1}{2} \ , \ 1
\end{align*}

たすき掛けに慣れていれば、中学レベルとほとんど変わりません。解答例やコツをまとめると以下のようになります。

2次方程式を解いてみよう第1問の解答例

たすき掛けに慣れてきたら、暗算で因数分解できるようになろう。計算はスピード感が大切。

第2問の解答・解説

第2問
\begin{equation*}
2{x}^{2}+5x+1=0
\end{equation*}

第1問と同じように、左辺は3項からなる2次式です。しかし、今回はたすき掛けを使っても因数分解できないようです。ですから、伝家の宝刀「解の公式」で解を求めます。

2次方程式 $a{x}^{2}+bx+c=0$ の解の公式
\begin{equation*}
x = \frac{-b \pm \sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}
\end{equation*}

2次方程式の係数や定数項を見て、公式の右辺に対応する数を代入していきます。このとき、代入する数を間違わないように気を付けましょう。符号ミスが多いです。

\begin{align*}
&a{x}^{2}+bx+c =0 \\[ 5pt ]
&2{x}^{2}+5x+1 =0 \\[ 5pt ]
&a = 2 \ , \ b = 5 \ , \ c = 1 \text{より} \\[ 5pt ]
&x = \frac{-5 \pm \sqrt{{5}^{2}-4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}\end{align*}

代入した後は、整理して解を求めます。解答例やコツをまとめると以下のようになります。

2次方程式を解いてみよう第2問の解答例

初めのうちは公式を覚えるために、暗算せずに数に置き換えて解こう。また、$-b$ のところで符号ミスをしやすいので気を付けよう。

第3問の解答・解説

第3問
\begin{equation*}
3{x}^{2}+2x-2=0
\end{equation*}

第3問の式も因数分解できないので、解の公式を使って解きます。ただし、1次の項の係数が偶数なので、解の公式の応用版を使います。

2次方程式の解の公式(応用版)
\begin{align*}
&\text{2次方程式} \ a{x}^{2} +bx +c =0 \ \text{について、} \\[ 5pt ]
&b=2b’ \text{のとき、解は} \\[ 5pt ]
&x = \frac{-b’ \pm \sqrt{{b’}^{2}-ac}}{a} \\[ 5pt ]
&\text{で求めることができる。}
\end{align*}

対応する数を間違わないようにしましょう。

\begin{align*}
&a{x}^{2}+2b’x+c =0 \\[ 5pt ]
&3{x}^{2}+2x-2 =0 \\[ 5pt ]
&a = 3 \ , \ b = 1 \ , \ c = -2 \text{より} \\[ 5pt ]
&x = \frac{-1 \pm \sqrt{{1}^{2}-3 \cdot \left(-2\right)}}{3}\end{align*}

代入した後は、整理して解を求めます。解答例やコツをまとめると以下のようになります。

2次方程式を解いてみよう第3問の解答例

解の公式では、$b$ の値を代入するときが一番ミスが多くなります。応用版では特にミスしやすくなるので、さらに気を付けましょう。そうは言っても、使いながら覚えていくのが一番効率が良いので、間違いを恐れずにどんどん使っていきましょう。

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さいごに、もう一度、頭の中を整理しよう

  • 2次方程式の解法は、因数分解または解の公式による解法の2つ。
  • 因数分解による解法は、等式や積の性質を利用して求める。
  • 解の公式による解法は、2次式の係数や定数項を利用して求める。
  • 1次の項の係数が偶数のときなら、簡略化した解の公式を利用できる。
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