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2次関数|2次不等式の解法について・応用編

2次不等式の解法について・応用編 数学I

2次不等式の解法の基本について学習したので、次は応用編を学習しましょう。

応用編では、2次関数のグラフと $x$ 軸との共有点が1個または0個のときの解法になります。

このような2次不等式を解く場合、グラフを図示しないと解を間違う可能性が高くなります。グラフの図示については何度も言及していますが、その重要性が分かるような問題ではないかと思います。

なお、記事の画像が見辛いときはクリックすると拡大できます。

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2次不等式の解法では、グラフとx軸との共有点の個数がポイント

おさらいになりますが、2次不等式の解法の手順は基本的に以下のようになります。

2次不等式
⇒2次関数と値域に置き換え
⇒グラフと $x$ 軸との共有点の $x$ 座標を求める
⇒グラフ・値域・共有点の $x$ 座標から定義域を求める
⇒定義域が2次不等式の解

参考 2次関数|2次不等式の解法について・基本編

解法の手順は上述の通りでしたが、2次不等式の左辺から作った2次方程式を因数分解または解の公式で解くことができれば、2次不等式の解をすぐに求めることができます。

解法の基本編では、2次方程式が異なる2つの実数解をもつ場合を取り上げました。

2次方程式が異なる2つの実数解をもつ場合、この実数解がグラフと $x$ 軸との共有点の $x$ 座標であるので、実数解さえ分かれば定義域を求めることができます。以下のように一般化もされています。

2次不等式の解
\begin{align*}
&\text{2次不等式} \ a{x}^{2}+bx+c \lt 0 \quad ( a \gt 0 \ , \ \alpha \lt \beta) \ \text{について} \\[ 5pt ]
&\quad a{x}^{2}+bx+c = 0 \ \text{の解が} \ x=\alpha \ , \ \beta \ \text{であるとき} \\[ 5pt ]
&\quad \text{2次不等式の解は} \ \alpha \lt x \lt \beta \\[ 10pt ]
&\text{2次不等式} \ a{x}^{2}+bx+c \gt 0 \quad ( a \gt 0 \ , \ \alpha \lt \beta) \ \text{について} \\[ 5pt ]
&\quad a{x}^{2}+bx+c = 0 \ \text{の解が} \ x=\alpha \ , \ \beta \ \text{であるとき} \\[ 5pt ]
&\quad \text{2次不等式の解は} \ x \lt \alpha \ , \ \beta \lt x
\end{align*}

2次不等式の左辺を見て、左辺から作った2次方程式の解がすぐに分かりそうなら基本編で解きます。

実際は手順通りに考えているが、記述を省略して解いているだけ。

基本編に対して応用編では、左辺から作った2次方程式が実数解を1個(重解)または0個もつ場合です。グラフとx軸との共有点の個数で言えば、1個または0個の場合です。

(実数解が1個) = (共有点が1個)、(実数解が0個) = (共有点が0個)

このように応用編では、グラフとx軸との共有点の個数が1個または0個の場合を考えます。この場合、2次方程式の解が定義域にそのまま使えるわけではないので、基本編とは分けて考える必要があります。

2次不等式の解法・応用編について

2次関数のグラフとx軸との共有点が1個の場合

グラフと $x$ 軸との共有点が1個の場合、2次関数において $y=0$ のときの2次方程式を考えてみましょう。

共有点が1個なので、2次方程式の実数解は1個だけ、すなわち重解になります。重解をもつとき、2次方程式はカッコの2乗の形に因数分解されます。

2次方程式が重解をもつ
\begin{align*}
&\text{2次方程式} \ a{x}^{2}+bx+c = 0 \ \text{の解が} \ x=\alpha \ \text{であるとき} \\[ 5pt ]
&\quad a{\left( x – \alpha \right)}^{2} =0 \\[ 5pt ]
&\text{と因数分解できる}
\end{align*}

2次不等式の左辺がカッコの2乗の形に因数分解できるとき、グラフは $x$ 軸と共有点を1個もつように $x$ 軸に接しています。また、共有点の $x$ 座標は2次方程式の重解です。

グラフとx軸との共有点の個数が1個のとき

値域に対応する定義域を考える

さて、グラフと $x$ 軸との位置関係や共有点の $x$ 座標が分かったので、値域に対応する定義域を考えてみましょう。

2次不等式を2次関数と値域に置き換えたとき、値域は4つのパターンが考えられます。

  • $y \gt 0$ のとき
  • $y \geqq 0$ のとき
  • $y \lt 0$ のとき
  • $y \leqq 0$ のとき

それぞれの場合で定義域を考えます。

値域が $y \gt 0$ のとき

値域が $y \gt 0$のとき、値域に対応するグラフは、 $y$ 座標が $0$ である共有点以外が残ったグラフになります。

値域がy>0のとき

グラフから、値域に対応する定義域は、共有点の $x$ 座標 $x = \alpha$ 以外のすべての実数です。ですから、2次不等式の解は $x= \alpha$ 以外のすべての実数となります。

以下のように一般化されています。

\begin{align*}
&\text{2次不等式} \ a{\left( x – \alpha \right)}^{2} \gt 0 \quad ( a \gt 0 ) \ \text{の解は} \\[ 5pt ]
&x= \alpha \ \text{以外のすべての実数}
\end{align*}
共有点の $x$ 座標が、定義域にそのまま使えないので注意しよう。

値域が $y \geqq 0$ のとき

値域が $y \geqq 0$のとき、値域に対応するグラフは、すべての部分が残ったグラフになります。

値域がy≧0のとき

グラフから、値域に対応する定義域はすべての実数です。ですから、2次不等式の解はすべての実数となります。

以下のように一般化されています。

\begin{align*}
&\text{2次不等式} \ a{\left( x – \alpha \right)}^{2} \geqq 0 \quad ( a \gt 0 ) \ \text{の解は} \\[ 5pt ]
&\text{すべての実数}
\end{align*}

値域が $y \lt 0$ のとき

値域が $y \lt 0$のとき、値域に対応するグラフはありません。グラフの一部も残りません

値域がy<0のとき

グラフから、値域に対応する定義域は存在しません。ですから、2次不等式の解は解なしとなります。

以下のように一般化されています。

\begin{align*}
&\text{2次不等式} \ a{\left( x – \alpha \right)}^{2} \lt 0 \quad ( a \gt 0 ) \ \text{の解は} \\[ 5pt ]
&\text{解なし}
\end{align*}

値域が $y \leqq 0$ のとき

値域が $y \leqq 0$のとき、値域に対応するグラフは共有点だけが残り、グラフと言うよりも点になってしまいます。

値域がy≦0のとき

グラフから、値域に対応する定義域は共有点の $x$ 座標 $x = \alpha$ だけです。ですから、2次不等式の解は $x = \alpha$となります。

以下のように一般化されています。

\begin{align*}
&\text{2次不等式} \ a{\left( x – \alpha \right)}^{2} \leqq 0 \quad ( a \gt 0 ) \ \text{の解は} \\[ 5pt ]
&x= \alpha
\end{align*}

このように2次不等式の左辺を因数分解できても、グラフと $x$ 軸との共有点が1個の場合、共有点の $x$ 座標がそのまま定義域に反映されるとは限りません。ここが基本編のときと大きく異なるところです。

過程を省略するかどうかは別として、ミスを減らすには、グラフを描いて考えることが大切。

次は共有点が0個の場合を考えてみましょう。

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