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2次関数|2次不等式の解法について・基本編

2次不等式について 数学I

今回は2次不等式の解法について学習しましょう。

2次不等式を解くためには、2次関数や2次方程式の知識が必要です。忘れてしまった人は復習しておきましょう。

こちらの記事で復習できます。

参考 2次関数|2次関数の最大値や最小値について
参考 2次関数|2次関数の最大値や最小値を扱った問題を解いてみよう
参考 2次関数|2次方程式の解法について

なお、記事の画像が見辛いときはクリックすると拡大できます。

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2次不等式について

2次不等式とは2次の項をもつ不等式のことです。たとえば、以下のような式が2次不等式です。

2次不等式の例
\begin{align*}
&{x}^{2}-3x+4 \leqq 0 \\[ 5pt ]
&{x}^{2}-3x-1 \geqq 0
\end{align*}

このような2次不等式は、残念ながら1次不等式と同じように不等式の性質を利用して解けません。ですから別の手段で解きます。この別の手段が2次関数や2次方程式です。

2次不等式の解法

2次不等式の解法は2次関数と2次方程式の合わせ技

2次不等式を解くとき、2次関数と2次方程式の知識を持ち合わせて解きます

しかし、2次不等式は、2つの変数の関係を表す2次関数でも、ある変数についての等式である2次方程式でもありません。

このままでは、2次関数と2次方程式を利用することができません。そのために、2次不等式に手を加えます。

2次不等式を関数化する

たとえば、以下のような2次不等式を解く場合を考えます。

次の2次不等式の解を求めよ。
\begin{equation*}
{x}^{2}-2x-3 \lt 0
\end{equation*}

この問題を2次関数や2次方程式を使った問題に置き換えます。

次の2次関数の定義域を求めよ。
\begin{equation*}
\text{2次関数} \ y = {x}^{2}-2x-3 \ \text{について} \ y \lt 0 \ \text{を満たす}
\end{equation*}

このように、2次不等式の問題は、2次関数の定義域や値域に関する問題に置き換えることができます。

置き換えから分かるように、2次不等式の解は、2次関数の値域を満たす定義域のことになります。

2次不等式の問題は、2次関数の定義域を求める問題にすり替えてしまおう。
(2次不等式) = (2次関数+値域)

2次不等式のままでは関数ではないので、左辺の2次式を $y=$ でつないで2次関数の式にします。たったこれだけで2次不等式を関数にすることができます。

\begin{align*}
&{x}^{2}-2x-3 \lt 0 \\[ 5pt ]
&y = {x}^{2}-2x-3 \ \text{とおくと} \ y \lt 0
\end{align*}

2次関数ができれば、式を平方完成してグラフを描くこともできるようになります。ただし、グラフを描くとき、不等式の左辺を $y$ とおいたことで、関数の値域 $y \lt 0$ ができたことに注意しましょう。

2次不等式を2次関数に置き換える

2次関数の値域を忘れずに

2次不等式から2次関数へ置き換えるとき、2次関数の値域も一緒に付いてきます。値域は、不等式の左辺を $y$ とおいたときに得られる範囲です。

\begin{align*}
&{x}^{2}-2x-3 \lt 0 \\[ 5pt ]
&y = {x}^{2}-2x-3 \ \text{とおくと} \ y \lt 0
\end{align*}

関数に値域が存在するとき、それに対応する定義域が存在します。この定義域は $x$ の取り得る値の範囲です。この定義域が2次不等式を満たす $x$ の範囲、すなわち2次不等式の解になります。

2次不等式の解法のまとめ

定義域はグラフとx軸との共有点のx座標で求める

\begin{align*}
&{x}^{2}-2x-3 \lt 0 \\[ 5pt ]
&y = {x}^{2}-2x-3 \ \text{とおくと} \ y \lt 0
\end{align*}

例で言えば、値域 $y \lt 0$ に対応する定義域が分かれば、2次不等式の解が分かります。

グラフを描くと、値域 $y \lt 0$ に対応する定義域を求めるには、グラフと $x$ 軸との共有点の $x$ 座標を知る必要があることが分かります。

2次不等式を解くとき、2次関数に置き換えると、グラフが $x$ 軸の上か下のどちらが残るかを考えるだけで良くなる。値域が $y \lt 0$ のとき、グラフは $x$ 軸よりも下の部分が残る。

グラフと $x$ 軸との共有点の $x$ 座標は、2次関数の式において $y=0$ のときの2次方程式を解くことで得られます。

ここで2次方程式の登場です。2次方程式は、グラフと $x$ 軸との共有点の $x$ 座標を求めるために利用します。

\begin{align*}
&{x}^{2}-2x-3 \lt 0 \\[ 5pt ]
&y = {x}^{2}-2x-3 \ \text{とおくと} \ y \lt 0 \\[ 5pt ]
&\text{また} \ y=0 \ \text{のとき} \\[ 5pt ]
&{x}^{2}-2x-3 = 0
\end{align*}

2次方程式を作ったら、それを解いて共有点の $x$ 座標を求めます。2次方程式を解くとき、因数分解または解の公式を利用します。求めた座標が定義域に関わります。

\begin{align*}
{x}^{2}-2x-3 &= 0 \\[ 5pt ]
\left( x+1 \right) \left( x-3 \right) &= 0 \\[ 5pt ]
\therefore \ x &= -1 \ , \ 3
\end{align*}

共有点の $x$ 座標をグラフに追記し、グラフを見ながら値域に対応する定義域を調べます。この定義域が2次不等式の解となります。

なお、定義域の下限値や上限値が、共有点の $x$ 座標になっています。このことは、グラフを描くとよく分かると思います。

関数の値域や定義域は、グラフを使うと求めやすい。

2次関数の値域から定義域を求めよう

以上のようにして2次不等式を解きます。2次不等式を解く流れをまとめてみましょう。

  1. 2次不等式を、2次関数と値域に置き換える。
  2. 2次方程式を作り、グラフと $x$ 軸との共有点の $x$ 座標を求める。
  3. グラフ・値域・共有点の $x$ 座標を使って定義域(=2次不等式の解)を求める。

こうして2次不等式の解法を見てみると、「2次不等式を解く」と言うよりも「2次関数とその値域から定義域を求めている」と言った方がしっくりします。

2次不等式の解法見取り図

2次不等式では、2次方程式と同じように2次関数のグラフに絡めた問題が多く出題されます。ですから、方程式・不等式に限らず2次式を見たら2次関数のグラフをイメージすると、解決の糸口をつかめるかもしれません。

数2になると、三角関数や指数・対数関数、そして3次関数などを学習する。これらも2次関数に帰結させて解くことが多い。今のうちに2次関数・2次方程式・2次不等式をしっかりとマスターしておきたい。

次は2次不等式の解法をパターン別にみていきましょう。

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