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複素数と方程式|2次方程式の解と係数の関係について

数学2 複素数と方程式 解と係数の関係 数学II

今回は、2次方程式の解と係数の関係について学習しましょう。ここでは、2次方程式の解が、係数とどのような関係をもつのかを学習します。

式の値を求める問題では、対称式と絡めて出題されます。頻出の単元なので、しっかりマスターしましょう。

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2次方程式の解の積と和

2次方程式の解は、解の公式によって得られます。

2次方程式の解
\begin{align*}
&\text{2次方程式 $ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0$ の解は} \\[ 5pt ]
&\quad x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{\scriptsize{2}}-4ac}}{2a} \\[ 7pt ]
&\text{ここで、$D=b^{\scriptsize{2}}-4ac$ とおくと} \\[ 5pt ]
&\quad x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \\[ 7pt ]
&\text{ただし、$D$ は解の判別式}
\end{align*}

解をスッキリと見せるために、根号の中の式(判別式)を D に置き換えています

それでは、この解を用いて、2次方程式の解の和と積を求めてみましょう。

2次方程式の解の和

2次方程式の解の和を求めてみましょう。判別式 D を用いた解で計算しています。

2次方程式の解の和
\begin{align*}
&\text{2次方程式 $ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0$ の2つの解をそれぞれ} \\[ 5pt ]
&\quad \alpha = \frac{-b – \sqrt{D}}{2a} \\[ 7pt ]
&\quad \beta = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \\[ 7pt ]
&\text{とおくと、2つの解の和は} \\[ 5pt ]
&\qquad \alpha + \beta \\[ 7pt ]
&\quad = \frac{-b – \sqrt{D}}{2a} + \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \\[ 7pt ]
&\quad = \frac{-b – \sqrt{D} -b + \sqrt{D}}{2a} \\[ 7pt ]
&\quad = \frac{-2b}{2a} \\[ 7pt ]
&\quad = -\frac{b}{a} \\[ 7pt ]
&\therefore \ \alpha + \beta = -\frac{b}{a}
\end{align*}

2次方程式の解の和は、2次の項と1次の項の係数によって表されることが分かります。

2次方程式の解の積

次に、2次方程式の解の積を求めてみましょう。

2次方程式の解の積
\begin{align*}
&\text{2次方程式 $ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0$ の2つの解をそれぞれ} \\[ 5pt ]
&\quad \alpha = \frac{-b – \sqrt{D}}{2a} \\[ 7pt ]
&\quad \beta = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \\[ 7pt ]
&\text{とおくと、2つの解の積は} \\[ 5pt ]
&\qquad \alpha \beta \\[ 7pt ]
&\quad = \frac{-b – \sqrt{D}}{2a} \times \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \\[ 7pt ]
&\quad = \frac{\bigl(-b – \sqrt{D} \bigr) \bigl( -b + \sqrt{D} \bigr)}{2a \cdot 2a} \\[ 7pt ]
&\quad = \frac{b^{\scriptsize{2}} – D}{4a^{\scriptsize{2}}} \\[ 7pt ]
&\quad = \frac{b^{\scriptsize{2}} – \bigl( b^{\scriptsize{2}} – 4ac \bigr)}{4a^{\scriptsize{2}}} \\[ 7pt ]
&\quad = \frac{4ac}{4a^{\scriptsize{2}}} \\[ 7pt ]
&\quad = \frac{c}{a} \\[ 7pt ]
&\therefore \ \alpha \beta = \frac{c}{a}
\end{align*}

2次方程式の解の積は、2次の項の係数と定数項によって表されることが分かります。

ここでは、2次方程式の解の和と積を計算によって求めています。他にも導出の方法はありますが、直接的な方法で導出しました。

このようにして得られる、2次方程式の解の和と積を、一般に解と係数の関係と言います。

解と係数の関係
\begin{align*}
&\text{2次方程式 $ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0$ の2つの解を $\alpha \ , \ \beta$ とおくと} \\[ 7pt ]
&\quad \alpha + \beta = -\frac{b}{a} \\[ 7pt ]
&\quad \alpha \beta = \frac{c}{a} \\[ 7pt ]
&\text{これは、$\alpha \neq \beta$ に限らず、$\alpha = \beta$ (重解)のときも成り立つ。}
\end{align*}

例題を解いてみよう

解と係数の関係を扱った基本的な問題を解いてみましょう。最初は、解と係数の関係の式を適切に利用することを意識しましょう。

例題
\begin{align*}
&\text{次の2次方程式の2つの解の和と積を求めよ。} \\[ 5pt ]
&(1) \quad x^{\scriptsize{2}}-3x+1=0 \\[ 7pt ]
&(2) \quad 4x^{\scriptsize{2}}+2x-3=0
\end{align*}

例題(1)の解答・解説

例題(1)
\begin{align*}
&\text{次の2次方程式の2つの解の和と積を求めよ。} \\[ 5pt ]
&(1) \quad x^{\scriptsize{2}}-3x+1=0
\end{align*}

解と係数の関係を利用します。式に対応する数を代入します。符号のミス(特に和)が多いので注意しましょう。

例題(1)の解答例
\begin{align*}
&\text{解と係数の関係より、2つの解の和は} \\[ 5pt ]
&\quad -\frac{-3}{1} = 3 \\[ 5pt ]
&\text{同様に、2つの解の積は} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{1}{1} = 1 \\[ 5pt ]
&\text{よって、和は $3$ 、積は $1$}
\end{align*}

解と係数の関係」という文言をきちんと記述しておきましょう。

例題(2)の解答・解説

例題(2)
\begin{align*}
&\text{次の2次方程式の2つの解の和と積を求めよ。} \\[ 5pt ]
&(2) \quad 4x^{\scriptsize{2}}+2x-3=0
\end{align*}

例題(1)と同じように、解と係数の関係を利用します。式に対応する数を代入します。

例題(2)の解答例
\begin{align*}
&\text{解と係数の関係より、2つの解の和は} \\[ 5pt ]
&\quad -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} \\[ 5pt ]
&\text{同様に、2つの解の積は} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{-3}{4} = -\frac{3}{4} \\[ 5pt ]
&\text{よって、和は $-\frac{1}{2}$ 、積は $-\frac{3}{4}$}
\end{align*}

必ず整数が出てくるとは限りません。分数のときも当然あります。

例題は、解と係数の関係に慣れるための問題です。ですから「2つの解と積を求めよ」といった直接的な指示は、ほとんどの問題ではありません。このような基本的な問題は「公式や定理を使いながら覚える」ために存在します。

易しい問題なので暗算で解くことはできます。しかし、ここでのポイントは「公式や定理を使いながら覚える」ことです。ですから、暗算で済ませずにきちんと記述しましょう。記述できることが大切なのです。

解と係数の関係を利用するときのよくある間違い

解と係数の関係を利用するとき、よくあるのが符号のミスです。文字と数の対応関係を正しく読み取れないことが主な原因です。例題でも符号のミスを誘うような式になっています。

符号のミスが多い人であれば、定理や公式の式と出題された式とを上下に並べてみると良いでしょう。そうすると、対応関係を正しく読み取りやすくなります。

文字と数の対応関係を正しく読み取ろう①
\begin{align*}
ax^{\scriptsize{2}} +bx +c &=0 \\[ 7pt ]
x^{\scriptsize{2}} \underline{-3x} +1 &=0 \\[ 7pt ]
4x^{\scriptsize{2}} +2x \underline{-3} &=0
\end{align*}

解と係数の関係で用いられている式では、各項の符号はすべて正になっています。しかし、出題された式では、負になっているものもあります。ここで対応関係を見誤ってしまいます。計算自体は難しくないので、対応関係を正しく読み取ることに集中しましょう。

出題された式の係数の符号を、公式の方に合わせてみましょう。

文字と数の対応関係を正しく読み取ろう②
\begin{align*}
&\quad ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0 \\[ 10pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}+(-3)x+1=0 \\[ 5pt ]
&\text{より、$a=1 \ , \ b=-3 \ , \ c=1$} \\[ 10pt ]
&\quad 4x^{\scriptsize{2}}+2x+(-3)=0 \\[ 5pt ]
&\text{より、$a=4 \ , \ b=2 \ , \ c=-3$}
\end{align*}

文字と数の対応関係を読み取るとき、各項の符号を公式の符号に揃えることがコツです。

次は、2次方程式の解と係数の関係を扱った問題を実際に解いてみましょう。

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ちょっとど忘れしたときの公式・定理集

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