熱中症に気をつけよう! 数学の公式・定理集あります。物理のヒント集始めました。
スポンサーリンク

複素数と方程式|余りの決定について

数学2 複素数と方程式 剰余の定理と因数定理数学II

今回は、余りの決定について学習しましょう。ここでは、整式の割り算で出てくる余りについて考えます。この余りを決定するときにも剰余の定理を利用します。

スポンサーリンク

整式の割り算

整式に限りませんが、割り算の問題では、割り算の基本公式を利用することがほとんどです。割り算の基本公式とは、商や余りを用いてもとの数や式を表した式です。

割り算の基本公式
\begin{align*}
&\text{同じ1つの文字についての2つの整式 $A \ , \ B \ (B \neq 0)$ において、} \\[ 5pt ]
&\text{$A$ を $B$ で割ったときの商を $Q$、余りを $R$ とすると} \\[ 5pt ]
&\quad A = BQ + R \\[ 5pt ]
&\text{ただし、$R$ は $0$ か、$B$ より次数の低い整式}
\end{align*}

割られる整式Aは、割る整式B、商Q、余りRの3つを用いて表されます。特に、余りの条件は、余りを決定する問題では必須なので、きちんと覚えておきましょう。

余りと割る式の次数の関係
\begin{align*}
&\text{余り $R$ と割る式 $B$ の次数の関係は} \\[ 5pt ]
&\quad \text{(余り $R$ の次数) $\lt$ (割る式 $B$ の次数)} \\[ 5pt ]
&\text{となる。}
\end{align*}

たとえば、割る式が2次式であれば、余りは1次式または定数、すなわち1次式以下となります。

余りを決定してみよう

次の例題を考えてみましょう。

例題
\begin{align*}
&\text{整式 $P(x)$ を $x-1$ で割ると $3$ 余り、$2x+1$ で割ると $4$ 余る。} \\[ 5pt ]
&\text{$P(x)$ を $(x-1)(2x+1)$ で割ったときの余りを求めよ。}
\end{align*}

例題の解答・解説

数を代入するための整式がなければ剰余の定理を利用することができません。ですから、最初にすべきことは、割り算の基本公式を利用して、整式を商や余りで表すことです。

例題の解答例①
\begin{align*}
&\text{$P(x)$ を $(x-1)(2x+1)$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $ax+b$ とすると} \\[ 5pt ]
&\text{次の等式が成り立つ。} \\[ 5pt ]
&\quad P(x)=\bigl(x-1 \bigr) \bigl(2x+1 \bigr)Q(x)+ax+b \quad \text{…①}
\end{align*}

求めたい余りは、2次式で割ったときの余りです。ですから、余りは1次式以下となるように表します。

余りに用いた定数 a,b の値を求めるには、定数 a,b についての方程式が2つ必要です。整式を1次式で割ったときの余りについて、2つの情報が与えられています。上手に活用すれば方程式を2つ用意できそうです。これらについて剰余の定理を利用します。

整式を1次式 $x-1$ で割ったとき、1次式 $x-1$ が0となる $x=1$ を整式に代入します。このときの式の値が余りと等しくなります。

例題の解答例②
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\quad P(x)=\bigl(x-1 \bigr) \bigl(2x+1 \bigr)Q(x)+ax+b \quad \text{…①} \\[ 7pt ]
&\text{$P(x)$ を $x-1$ で割ったときの余りが $3$ であるから} \\[ 5pt ]
&\quad P(1)=3 \\[ 7pt ]
&\text{①の両辺に $x=1$ を代入すると} \\[ 5pt ]
&\quad P(1)=a+b \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad a+b=3 \quad \text{…②}
\end{align*}

同じように、整式を1次式 $2x+1$ で割ったとき、1次式 $2x+1$ が0となる $x=-\frac{1}{2}$ を整式に代入します。このときの式の値が余りと等しくなります。

例題の解答例③
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\quad a+b=3 \quad \text{…②} \\[ 7pt ]
&\text{また、$P(x)$ を $2x+1$ で割ったときの余りが $4$ であるから} \\[ 5pt ]
&\quad P\biggl(-\frac{1}{2} \biggr)=4 \\[ 7pt ]
&\text{①の両辺に $x=-\frac{1}{2}$ を代入すると} \\[ 5pt ]
&\quad P\biggl(-\frac{1}{2} \biggr)=-\frac{1}{2}a+b \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad -\frac{1}{2}a+b=4 \\[ 7pt ]
&\text{すなわち} \\[ 5pt ]
&\quad -a+2b=8 \quad \text{…③}
\end{align*}

定数 a,b についての式が2つ得られました。これらを連立して解きます。

例題の解答例④
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\quad -a+2b=8 \quad \text{…③} \\[ 7pt ]
&\text{②+③} \\[ 5pt ]
&\quad 3b=11 \quad \text{よって} \quad b=\frac{11}{3} \\[ 7pt ]
&\text{これと②より} \\[ 5pt ]
&\quad a+\frac{11}{3}=3 \quad \text{よって} \quad a=-\frac{2}{3} \\[ 7pt ]
&\text{したがって、求める余りは} \\[ 5pt ]
&\quad -\frac{2}{3}x+\frac{11}{3}
\end{align*}

余りを決定する問題は、割り算の基本公式と剰余の定理を組み合わせた問題です。剰余の定理を利用するために、商や余りを用いて整式を表せるようになっておきましょう。

次は、余りの決定を扱った問題を実際に解いてみましょう。

スポンサーリンク
Amazon ノート・メモ帳ランキング
楽天市場 学習参考書ランキング
スポンサーリンク
スポンサーリンク
気になる教材があればコチラで探せます。
数学II
この記事が気に入ったら
いいね!しよう
最新情報をお届けします。
フォローする
ちょっとど忘れしたときの公式・定理集

数学で覚えるべき公式や定理は、一覧で眺めてみるとそれほど多くはありません。大切なことは覚えることではなく、「公式や定理をどのように使うか」です。

公式・定理集で確認しつつ、演習で積極的に使っていきましょう。

日々是鍛錬 ひびこれたんれん
タイトルとURLをコピーしました