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複素数と方程式|剰余の定理について

数学2 複素数と方程式 剰余の定理と因数定理数学II

今回は、剰余の定理について学習しましょう。剰余の定理を扱った問題は、マーク形式でも記述形式でも頻出です。しっかりマスターしましょう。

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剰余の定理

剰余の定理は、整式の割り算、もう少し詳しく説明すると、整式を割り算したときの余りについての定理です。

剰余の定理を紹介する前に、整式について定義しておきます。

整式の表し方
\begin{align*}
&\text{$x$ の整式を $P(x) \ , \ Q(x)$ などと書く。} \\[ 5pt ]
&\text{また、$x$ に数 $k$ を代入したときの $P(x)$ の値を $P(k)$ と書く。}
\end{align*}

整式の表し方は予め定義されていることが多いので、それを参考に記述しましょう。

整式を1次式で割ったときの余り

ある整式を1次式で割ったときの余りを考えます。この余りについて成り立つ定理が剰余の定理です。

剰余の定理では、以下の2つの事柄が成り立ちます。

剰余の定理
\begin{align*}
&\text{① 整式 $P(x)$ を1次式 $x-k$ で割ったときの余りは $P(k)$ [剰余の定理]} \\[ 5pt ]
&\text{② 整式 $P(x)$ を1次式 $ax+b$ で割ったときの余りは $P \biggl(-\frac{b}{a} \biggr)$}
\end{align*}

2つ目の事柄は、剰余の定理を一般化したものです。1次式であれば、同じように成り立ちます。

なぜこのような事柄が成り立つのかを考えてみましょう。

剰余の定理を導く

剰余の定理を導いてみましょう。まずは、商や余りについて定義しておきます。

剰余の定理を導く①
\begin{align*}
&\text{整式 $P(k)$ を $x-k$ で割ったときの商を $Q(x)$ とおく。} \\[ 5pt ]
&\text{また、このときの余りは、0次式以下、つまり数 $R$ とおける。}
\end{align*}

1次式で割ったときの余りは、1次式よりも次数の低い式でなければなりません。このことは「整式の割り算」という単元ですでに学習しています。ですから、1次式で割ったときの余りは定数になります。

整式を商や余りを用いて表すと、等式が得られます。

剰余の定理を導く②
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\text{整式 $P(x)$ を商や余りを用いて表すと、等式} \\[ 5pt ]
&\quad P(x)=(x-k)Q(x)+R \\[ 7pt ]
&\text{が得られる。}
\end{align*}

得られた等式の x に 数 k を代入します。

剰余の定理を導く③
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\text{この等式の両辺に $x=k$ を代入すると} \\[ 5pt ]
&\quad P(k)=0 \cdot Q(k)+R \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad P(k)=R \\[ 7pt ]
&\text{これより、整式 $P(x)$ を $x-k$ で割ったときの余りは $P(k)$ となる。}
\end{align*}

右辺について、商が何であっても商を含む項が無くなり、余りだけが残るところがポイントです。

剰余の定理の利点は、整式を1次式で割るとき、式の値を求めれば余りが分かってしまうところです。代入する値は、1次式の値が0となるような値です。

整式の割り算では筆算が基本ですが、計算ミスをしやすいのが難点です。余りを求めるだけの問題であれば、筆算よりも剰余の定理を優先しましょう。

一般化された定理でも同じように導けます。

剰余の定理を導く④
\begin{align*}
&\text{整式 $P(x)$ を $ax+b \ (a \neq 0)$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $R$ とすると、等式} \\[ 5pt ]
&\quad P(x)=(ax+b)Q(x)+R \\[ 7pt ]
&\text{が成り立つ。この等式の両辺に $x= -\frac{b}{a}$ を代入すると} \\[ 5pt ]
&\quad P \biggl(-\frac{b}{a} \biggr)= \biggl\{a\biggl(-\frac{b}{a} \biggr)+b \biggr\}Q\biggl( -\frac{b}{a} \biggr) +R \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad P \biggl(-\frac{b}{a} \biggr)=0 \cdot Q\biggl( -\frac{b}{a} \biggr) +R \\[ 7pt ]
&\quad \therefore P \biggl(-\frac{b}{a} \biggr)=R \\[ 7pt ]
&\text{これより、整式 $P(x)$ を $ax+b$ で割ったときの余りは $P\biggl( -\frac{b}{a} \biggr)$ となる。}
\end{align*}

剰余の定理を使ってみよう

次の例題を考えてみましょう。

例題
\begin{align*}
&\text{次の整式を、[ ]内の1次式で割ったときの余りを求めよ。} \\[ 5pt ]
&(1) \quad x^{\scriptsize{3}}+2x-1 \quad [ x-3 ] \\[ 7pt ]
&(2) \quad 2x^{\scriptsize{3}}-x^{\scriptsize{2}}+3x+1 \quad [ x+1 ] \\[ 7pt ]
&(3) \quad 2x^{\scriptsize{4}}+3x^{\scriptsize{3}}-3x^{\scriptsize{2}}-2x+3 \quad [ x-1 ] \\[ 7pt ]
&(4) \quad x^{\scriptsize{3}}-5x^{\scriptsize{2}}+4 \quad [ 2x-1 ]
\end{align*}

例題(1)の解答・解説

例題(1)
\begin{align*}
&\text{次の整式を、[ ]内の1次式で割ったときの余りを求めよ。} \\[ 5pt ]
&(1) \quad x^{\scriptsize{3}}+2x-1 \quad [ x-3 ]
\end{align*}

整式を1次式で割ったときの余りを求めるので、剰余の定理を利用することができます。1次式 $x-3$ が0になるような値を整式に代入します。

例題(1)の解答例
\begin{align*}
&\quad P(x)=x^{\scriptsize{3}}+2x-1 \\[ 7pt ]
&\text{とすると、剰余の定理より} \\[ 5pt ]
&\quad P(3)=3^{\scriptsize{3}}+2 \cdot 3-1 \\[ 7pt ]
&\text{すなわち} \\[ 5pt ]
&\quad P(3)=32 \\[ 7pt ]
&\text{よって、求める余りは $32$}
\end{align*}

整式に代入する値さえ間違えなければ、単なる式の値を求める計算です。

例題(2)の解答・解説

例題(2)
\begin{align*}
&\text{次の整式を、[ ]内の1次式で割ったときの余りを求めよ。} \\[ 5pt ]
&(2) \quad 2x^{\scriptsize{3}}-x^{\scriptsize{2}}+3x+1 \quad [ x+1 ]
\end{align*}

整式を1次式で割ることを確認しておきましょう。例題(1)と同じように、剰余の定理を利用します。1次式 $x+1$ が0になるような値を整式に代入します。

例題(2)の解答例
\begin{align*}
&\quad P(x)=2x^{\scriptsize{3}}-x^{\scriptsize{2}}+3x+1 \\[ 7pt ]
&\text{とすると、剰余の定理より} \\[ 5pt ]
&\quad P(-1)=2 \cdot \bigl( -1 \bigr)^{\scriptsize{3}}-\bigl( -1 \bigr)^{\scriptsize{2}}+3 \cdot \bigl( -1 \bigr)+1 \\[ 7pt ]
&\text{すなわち} \\[ 5pt ]
&\quad P(-1)=-5 \\[ 7pt ]
&\text{よって、求める余りは $-5$}
\end{align*}

代入する値が負の数なので注意しましょう。

例題(3)の解答・解説

例題(3)
\begin{align*}
&\text{次の整式を、[ ]内の1次式で割ったときの余りを求めよ。} \\[ 5pt ]
&(3) \quad 2x^{\scriptsize{4}}+3x^{\scriptsize{3}}-3x^{\scriptsize{2}}-2x+3 \quad [ x-1 ]
\end{align*}

整式を1次式で割るので、剰余の定理を利用します。1次式 $x-1$ が0になるような値を整式に代入します。

例題(3)の解答例
\begin{align*}
&\quad P(x)=2x^{\scriptsize{4}}+3x^{\scriptsize{3}}-3x^{\scriptsize{2}}-2x+3 \\[ 7pt ]
&\text{とすると、剰余の定理より} \\[ 5pt ]
&\quad P(1)=2 \cdot 1^{\scriptsize{4}}+3 \cdot 1^{\scriptsize{3}}-3 \cdot 1^{\scriptsize{2}}-2 \cdot 1+3 \\[ 7pt ]
&\text{すなわち} \\[ 5pt ]
&\quad P(1)=3 \\[ 7pt ]
&\text{よって、求める余りは $3$}
\end{align*}

例題(4)の解答・解説

例題(4)
\begin{align*}
&\text{次の整式を、[ ]内の1次式で割ったときの余りを求めよ。} \\[ 5pt ]
&(4) \quad x^{\scriptsize{3}}-5x^{\scriptsize{2}}+4 \quad [ 2x-1 ]
\end{align*}

整式を1次式で割るので、剰余の定理を利用します。1次式 $2x-1$ が0になるような値を整式に代入します。

例題(4)の解答例
\begin{align*}
&\quad P(x)=x^{\scriptsize{3}}-5x^{\scriptsize{2}}+4 \\[ 7pt ]
&\text{とすると、剰余の定理より} \\[ 5pt ]
&\quad P \biggl( \frac{1}{2} \biggr)=\biggl( \frac{1}{2} \biggr)^{\scriptsize{3}}-5 \cdot \biggl( \frac{1}{2} \biggr)^{\scriptsize{2}}+4 \\[ 7pt ]
&\text{すなわち} \\[ 5pt ]
&\quad P \biggl( \frac{1}{2} \biggr)=\frac{23}{8} \\[ 7pt ]
&\text{よって、求める余りは $\frac{23}{8}$}
\end{align*}

代入する値が分数なので注意しましょう。

次は、剰余の定理を扱った問題を実際に解いてみましょう。

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ちょっとど忘れしたときの公式・定理集

数学で覚えるべき公式や定理は、一覧で眺めてみるとそれほど多くはありません。大切なことは覚えることではなく、「公式や定理をどのように使うか」です。

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