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確率|反復試行の確率について

確率数学A

今回は反復試行の確率について学習しましょう。独立な試行の確率と同じように重要な単元です。センター試験や二次試験などでも頻出なので、しっかりマスターしておきましょう。

なお、記事の画像が見辛いときはクリックすると拡大できます。

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反復試行とその確率

反復試行とは、ある試行を独立に何度も繰り返して行う試行のことです。

たとえば「1枚の硬貨を3回投げる」や「1個のサイコロを3回投げる」などの試行は、硬貨やサイコロを投げるという試行を繰り返し行っています。それに加えて、繰り返し行われる試行は、結果が互いに影響を与えません。ですから、これらの試行は反復試行です。

このような反復試行の確率の求め方をマスターしましょう。

反復試行の確率を求めよう

反復試行の確率の定義

反復試行の確率を求めるには、独立な試行の確率に関する知識を必要とします。不安な人は、独立な試行の確率の単元を確認しながら学習すると良いでしょう。

一般に、1回の試行で事象Aが起こる確率を $p$として、この試行を $n$ 回繰り返し行うとき、事象Aがちょうど $k$ 回起こる確率は、以下の式で表されます。

反復試行の確率
\begin{equation*}
{}_n \mathrm{ C }_k \cdot p^{k} \cdot \left( 1-p \right)^{n-k}
\end{equation*}

式中の $(1-p)$は、事象Aの余事象 $\bar{A}$ が起こる確率です。事象Aが $n$ 回のうち $k$ 回だけ起こるので、事象A以外の事象、つまり余事象 $\bar{A}$ が $(n-k)$ 回だけ起こります。忘れないように注意しましょう。

これまでをまとめると以下のようになります。

反復試行とその確率

反復試行の確率を導出しよう

反復試行の確率は上述のように定義されてますが、どのようにして導出されるのかを考えてみましょう。導出までの過程を知ることで、より理解が深まるはずです。

たとえば、ある試行Sにおいて、事象Aが起こる確率を $p$ とします。試行Sを5回行ったとき、事象Aがちょうど3回起こる確率を求めてみましょう。

5回の試行Sの結果の総数

5回の試行Sのうち、事象Aは3回起こりますが、残り2回では事象Aは起こりません。残り2回では、A以外の事象なので、事象Aの余事象(Bとする)が起こります。この余事象Bが起こる確率は、全事象が起こる確率1と事象Aが起こる確率 $p$ から、$(1-p)$と表されます。

5回の試行Sの内訳

  • 事象A…2回、確率 $p$
  • 事象Aの余事象B…5-2=3回、確率 $(1-p)$

また、試行Sを5回行ったときの結果は「AAABB」「AABBA」などいくつか考えられます。これらは事象Aと余事象Bの並べ方を考えることで数え上げることができます。

並べ方を考えるので、3個のAと2個のBを一列に並べる順列を考えれば良いことが分かります。ただ、同じものを含む順列になってしまうので、このようなときには組合せの考え方を利用します。

3個のAと2個のBを一列に並べる順列の総数は、5カ所からAを配置する3カ所を選ぶときの組合せの総数に等しくなります。このとき、組合せの総数は全部で ${}_5 \mathrm{ C }_3$ 通りあります。

組合せと順列の関係
\begin{equation*}
{}_5 \mathrm{ C }_3 = \frac{5!}{3! \cdot 2!}
\end{equation*}

もちろん順列の総数でも求めることができますが、定義では組合せの方が採用されています。
5回の反復試行の場合

結果の確率を求めよう

結果の総数を求めたので、次は結果の1つに注目します。結果の1つである「AAABB」の確率を求めてみましょう。1~5回の試行は互いの結果に影響を与えないので独立な試行です。

ですから「AAABB」が起こる確率は、事象Aが起こる確率 $p$ と余事象Bが起こる確率 $(1-p)$ の積で表されます。

「AAABB」が起こる確率
\begin{equation*}
p \cdot p \cdot p \cdot \left( 1-p \right) \cdot \left( 1-p \right) = p^{3} \cdot \left( 1-p \right)^{2}
\end{equation*}

${}_5 \mathrm{ C }_3$ 通りある結果から1つだけ取り出して確率を求めてみましたが、他の結果でも事象A , Bが起こる回数は同じなので、掛ける順番は違っても同じ式で表されます。つまり、同じ積で表される式が ${}_5 \mathrm{ C }_3$ 個あることになります。

5回の反復試行における結果の確率

事象Aがちょうど3回起こる確率を求めよう

同じ確率となる結果が全部で ${}_5 \mathrm{ C }_3$ 個あることが分かりました。このことから、事象Aがちょうど3回起こる確率は以下のように表されます。

事象Aがちょうど3回起こる確率
\begin{equation*}
p^{3} \cdot \left( 1-p \right)^{2} \times {}_5 \mathrm{ C }_3 = {}_5 \mathrm{ C }_3 \cdot p^{3} \cdot \left( 1-p \right)^{2}
\end{equation*}

このようにして反復試行の確率は導出されます。具体例を使って考えると、組合せや余事象の話が出てくることも分かると思います。

事象Aがちょうど3回起こる確率

これを一般化したものが先ほどの反復試行の確率の式になります。ただの暗記で済まさず、導出の課程を理解することが大切です。これまでをまとめると以下のようになります。

反復試行の確率の導出

次は実際に問題を解いてみましょう。

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