確率|反復試行の確率について

数学A

確率

今回は反復試行の確率について学習しましょう。独立な試行の確率と同じように重要な単元です。入試でも頻出なので、しっかりマスターしておきましょう。

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反復試行とその確率

反復試行とは、ある試行を独立に何度も繰り返して行う試行のことです。

たとえば「1枚の硬貨を3回投げる」や「1個のサイコロを3回投げる」などの試行は、硬貨やサイコロを投げるという試行を繰り返し行っています。それに加えて、繰り返し行われる試行は、結果が互いに影響を与えません。ですから、これらの試行は反復試行です。

このような反復試行の確率の求め方をマスターしましょう。

反復試行の確率を求めよう

反復試行の確率の定義

反復試行の確率を求めるには、独立な試行の確率に関する知識を必要とします。不安な人は、独立な試行の確率の単元を確認しながら学習すると良いでしょう。

一般に、1回の試行で事象Aが起こる確率をpとして、この試行をn回繰り返し行うとき、事象Aがちょうどk回起こる確率は、以下の式で表されます。

反復試行の確率

$1$ 回の試行で事象 $A$ が起こる確率を $p$ として、この試行を $n$ 回繰り返し行うとき、事象 $A$ がちょうど $k$ 回起こる確率は

\begin{align*} \quad {}_n \mathrm{ C }_k \cdot p^{k} \cdot \left( 1-p \right)^{n-k} \end{align*}

式中の(1-p)は、事象Aの余事象が起こる回数です。事象Aがn回のうちk回だけ起こるので、事象A以外の事象、つまり事象Aの余事象が(n-k)回だけ起こります。忘れないように注意しましょう。

これまでをまとめると以下のようになります。

反復試行とその確率
反復試行の確率

反復試行の確率を導出しよう

反復試行の確率は上述のように定義されますが、どのようにして導出されるのかを考えてみましょう。導出までの過程を知ることで、より理解が深まるはずです。

たとえば、ある試行Sにおいて、事象Aが起こる確率をpとします。試行Sを5回行ったとき、事象Aがちょうど3回起こる確率を求めてみましょう。

5回の試行Sの結果の総数

5回の試行Sのうち、事象Aは3回起こりますが、残り2回では事象Aは起こりません。残り2回では、A以外の事象が起こります。

事象A以外の事象とは、事象Aの余事象(Bとする)のことです。この余事象Bが起こる確率は、全事象が起こる確率1と事象Aが起こる確率pから、(1-p)と表されます。

5回の試行Sの内訳

  • 事象A … 3回、確率p
  • 事象Aの余事象B … 5-3=2回、確率(1-p)

また、試行Sを5回行ったときの結果は「AAABB」「AABBA」などいくつか考えられます。これらは事象Aと余事象Bの並べ方を考えることで数え上げることができます。

並べ方を考えるので、3個のAと2個のBを一列に並べる順列を考えれば良いことが分かります。ただし、同じものを含む順列になるので、このようなときには組合せの考え方を利用します。

3個のAと2個のBを一列に並べる順列の総数は、5カ所からAを配置する3カ所を選ぶときの組合せの総数に等しくなります。このとき、組合せの総数は全部で53通りあります。

3個のAと2個のBを一列に並べる順列の総数

$3$ 個の $A$ と $2$ 個の $B$ を一列に並べる順列の総数は、$5$ カ所から $A$ を配置する $3$ カ所を選ぶ組合せの総数に等しいので

\begin{align*} \quad {}_5 \mathrm{ C }_3 = \frac{5!}{3! \cdot 2!} \end{align*}

もちろん順列の総数でも求めることができますが、定義では組合せの方が採用されています。

5回の反復試行の場合
3個のAと2個のBを一列に並べる場合の数

結果の確率を求めよう

結果の総数を求めたので、次は結果の1つに注目します。結果の1つである「AAABB」の確率を求めてみましょう。1~5回の試行は互いの結果に影響を与えないので独立な試行です。

ですから「AAABB」が起こる確率は、事象Aが起こる確率pと余事象Bが起こる確率(1-p)の積で表されます。

「AAABB」が起こる確率

「$AAABB$」が起こる確率は、事象 $A$ が起こる確率 $p$ と余事象 $B$ が起こる確率 $(1-p)$ の積で表されるので

\begin{align*} \quad p \cdot p \cdot p \cdot \left( 1-p \right) \cdot \left( 1-p \right) = p^{3} \cdot \left( 1-p \right)^{2} \end{align*}

53通りある結果から1つだけ取り出して確率を求めました。他の結果も考えてみると、事象A,Bが起こる回数は同じです。ですから、掛ける順番は異なりますが、確率は同じ式で表されます

このことから分かるのは、同じ積で表される式が53個あるということです。

5回の反復試行における結果の確率
各事象が起こる回数が同じなら確率は同じ式

事象Aがちょうど3回起こる確率を求めよう

同じ確率となる結果が全部で53あることが分かりました。このことから、事象Aがちょうど3回起こる確率は以下のように表されます。

事象Aがちょうど3回起こる確率

事象 $A$ が $3$ 回起こり、事象 $B$ が $2$ 回起こる場合の数は、全部で ${}_5 \mathrm{ C }_3$ 通りあるので、事象 $A$ がちょうど $3$ 回起こる確率は

\begin{align*} \quad p^{3} \cdot \left(1-p \right)^{2} \times {}_5 \mathrm{ C }_3 = {}_5 \mathrm{ C }_3 \cdot p^{3} \cdot \left(1-p \right)^{2} \end{align*}

このようにして反復試行の確率は導出されます。具体例を使って考えると、組合せや余事象の話が出てくることも分かると思います。

事象Aがちょうど3回起こる確率
事象Aがちょうど3回起こる確率

これを一般化したものが先ほどの反復試行の確率の式になります。ただの暗記で済まさず、導出の課程を理解することが大切です。

これまでをまとめると以下のようになります。

反復試行の確率の導出
反復試行の確率まとめ

次は反復試行を扱った問題を実際に解いてみましょう。