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複素数と方程式|2次式の因数分解について

数学2 複素数と方程式 解と係数の関係数学II

今回は、2次式の因数分解について学習しましょう。2次方程式の解と係数の関係に関わってくるので、しっかりとマスターしましょう。

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2次式の因数分解

一般に、2次方程式の左辺は2次式となっています。この2次式を因数分解することによって、2次方程式の解を求めることができます。

もし、因数分解できない2次式であれば、解の公式を利用して、2次方程式の解を求めます。

たとえば、2次方程式の2つの解が分かっているとしましょう。このとき、左辺の2次式は以下のように因数分解できるはずです。

2次式の因数分解①
\begin{align*}
&\text{2次方程式 $ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0$ の2つの解を $\alpha \ , \ \beta$ とする。} \\[ 5pt ]
&\text{このとき、2次方程式の左辺は} \\[ 5pt ]
&\quad ax^{\scriptsize{2}}+bx+c = a \bigl( x-\alpha \bigr) \bigl( x-\beta \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{と因数分解できる。}
\end{align*}

上述のことが成り立つのは、これまで2次方程式を解いてきた経験から理解できるでしょう。このように因数分解できることから、さらに以下のことも分かります。

2次式の因数分解②
\begin{align*}
&\text{2次方程式 $ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0$ が2つの解 $\alpha \ , \ \beta$ をもつとき、} \\[ 5pt ]
&\text{2次方程式の左辺は} \\[ 5pt ]
&\quad x-\alpha \ , \ x-\beta \\[ 7pt ]
&\text{を因数にもつ。}
\end{align*}

このことは、あとで学習する「剰余の定理」や「因数定理」と関わってくるので覚えておくと良いでしょう。

また、係数が実数である2次式であれば、複素数の範囲で常に1次式の積に因数分解できることも覚えておきましょう。「複素数の範囲で」という文言に注意しましょう。

2次式を複素数の範囲で因数分解する

係数が実数である2次式を、複素数の範囲で因数分解してみましょう。

例題
\begin{align*}
&\text{次の2次式を、複素数の範囲で因数分解せよ。} \\[ 5pt ]
&(1) \quad x^{\scriptsize{2}}-3 \\[ 7pt ]
&(2) \quad x^{\scriptsize{2}}+4
\end{align*}

どちらの2次式も係数が実数となっていることを確認しましょう。このような2次式であれば、複素数の範囲で常に1次式の積に因数分解できます

例題(1)の解答・解説

例題(1)
\begin{align*}
&\text{次の2次式を、複素数の範囲で因数分解せよ。} \\[ 5pt ]
&(1) \quad x^{\scriptsize{2}}-3
\end{align*}

これまでであれば、与式は因数分解できない2次式として扱っていました。しかし、平方根や複素数の知識を利用すれば因数分解することができます。

まず、2次方程式にして解を求めます。

例題(1)の解答例①
\begin{align*}
&\text{2次方程式} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}-3 = 0 \\[ 7pt ]
&\text{を解くと、} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}} = 3 \\[ 7pt ]
&\text{より} \\[ 5pt ]
&\quad x = \pm \sqrt{3}
\end{align*}

解を利用して、与式を因数分解した形で表します。

例題(1)の解答例②
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\quad x = \pm \sqrt{3} \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}-3 = \bigl( x+\sqrt{3} \bigr)\bigl( x-\sqrt{3} \bigr)
\end{align*}

平方根を用いて表すことができました。

例題(2)の解答・解説

例題(2)
\begin{align*}
&\text{次の2次式を、複素数の範囲で因数分解せよ。} \\[ 5pt ]
&(2) \quad x^{\scriptsize{2}}+4
\end{align*}

例題(1)と同じ要領で解きます。2次方程式にして解を求めます。

例題(2)の解答例①
\begin{align*}
&\text{2次方程式} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}+4 = 0 \\[ 7pt ]
&\text{を解くと、} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}} = -4 \\[ 7pt ]
&\text{より} \\[ 5pt ]
&\quad x = \pm \sqrt{-4} \\[ 7pt ]
&\text{すなわち} \\[ 5pt ]
&\quad x = \pm 2i
\end{align*}

解を利用して、与式を因数分解した形で表します。

例題(2)の解答例②
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\quad x = \pm 2i \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}+4 = \bigl( x+2i \bigr)\bigl( x-2i \bigr)
\end{align*}

複素数を用いて表すことができました。

例題から分かるように、2次式の因数分解では、2次方程式の解を利用します。

2次式の因数分解の手順

  1. 「与式=0」の形にして、2次方程式にする。
  2. 2次方程式の解を求める。
  3. 解を利用して、因数分解する。
    解がα,βなら、$x-\alpha$ と $x-\beta$ の積

例題では、基本通りの手順で因数分解していますが、平方根や複素数の計算をしっかりとマスターしておけば、2次方程式を作ることなく因数分解できるようになります。

次は、2次式の因数分解を扱った問題を実際に解いてみましょう。

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