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中学数学|正負の数の乗除算を解いてみよう

分数でも小数でも符号の扱いは変わらない 中学数学

今回は、正負の数の乗除算を解いてみましょう。

符号の組み合わせに規則性があったので、それを思い出しながら演習しましょう。また、計算過程にも注目して、計算の流れを把握しましょう。

参考 中学数学|正負の数の乗除算について
参考 中学数学|正負の数について
参考 中学数学|正負の数の加減算について
参考 中学数学|正負の数の加減算を解いてみよう

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基本作業:乗除算を乗算に統一

次のような乗除算を考えます。

\begin{align*}
1.\ &\left( +2.1 \right) \times \left( -0.8 \right) \\[ 10pt ]
2.\ &\left( -\frac { 3 }{ 4 } \right) \times \left( -\frac { 7 }{ 2 } \right) \\[ 10pt ]
3.\ &10\div \left( -6 \right) \\[ 10pt ]
4.\ &\left( -\frac { 2 }{ 5 } \right) \div \left( -\frac { 2 }{ 3 } \right)
\end{align*}

方針や解き方

式をよく観察すると、前半の2問が乗算で、後半の2問が除算だと分かります。

乗算の基本的な流れ

乗算の基本的な流れは以下のようになります。

  1. 符号の組み合わせを見て、答え(積)の符号を決める。
  2. 数字(絶対値)だけで乗算して、答え(積)の数字(絶対値)を求める。

乗算では、計算記号と符号を見間違えることはないので、符号の扱いに注意して解きます。

また、数字(絶対値)の乗算では、符号を気にしなくて良いので、算数のときと同じように計算できます。

除算の基本的な流れ

除算の基本的な流れは以下のようになります。

  1. 除算を乗算に置き換える。
  2. 符号の組み合わせを見て、答え(積)の符号を決める。
  3. 数字(絶対値)だけで乗算して、答え(積)の数字(絶対値)を求める。

除算では、乗算に入る前の作業が最初に入っているのが分かります。ここがしっかりできれば、乗算と同じ流れになります。

除算は、乗算に置き換えよう。

乗除算を乗算に統一した後は、符号と数字(絶対値)を分けて扱います。

符号の規則性や数字(絶対値)の扱い方

答え(積)の符号と数字(絶対値)は、以下のような規則性で求めることができます。

  • 同符号の数の乗算ならば、答えの符号はプラス+
  • 異符号の数の乗算ならば、答えの符号はマイナス-
  • 答えの数字(絶対値)は、どちらのときでも、乗算する数の数字(絶対値)の積

ちなみに、この符号の規則性は除算でも成り立つので、乗算に置き換える前でも答えの符号を求めることができます。慣れてくればその解き方でも構いません。

1つのパターンを上手に使い回して解けるようにしよう。まずは乗算で解くことから始めよう。

第1問の解答・解説

第1問
\begin{equation*}
1.\ \left( +2.1 \right) \times \left( -0.8 \right)
\end{equation*}

答え(積)の符号を決める。

扱う数が小数であっても、正負の数の乗算の手順は変わりません。

まず乗算する数の符号の組み合わせから、答えの符号を決めます

異符号の数の乗算なので、答えの符号はマイナス(-)です。答えの符号が決まった時点ですぐにイコールのあとに書いておきます。

異符号の2数の乗算なら、積の符号はマイナス。

数字だけで乗算して、答えの数字を求める。

次に答えの数字(絶対値)を求めるための式を書きます。符号の次にカッコを書き、その中に数字だけの乗算の式を書きます。カッコを使うのは、符号と数字をはっきり区別するためです。

\begin{align*}
1.\quad &\left( +2.1 \right) \times \left( -0.8 \right) \\[ 5pt ]
= \ &-\left( 2.1\times 0.8 \right)
\end{align*}

答えの符号は決まってしまったので、あとは数字の乗算に集中します。小数の乗算では小数点の位置取りに注意します。暗算が難しいときは筆算しましょう。

小数の乗算が終われば計算終了です。

第1問の計算過程と解答
\begin{align*}
1.\quad &\left( +2.1 \right) \times \left( -0.8 \right) \\[ 5pt ]
= \ &-\left( 2.1\times 0.8 \right) \\[ 5pt ]
= \ &-1.68
\end{align*}

加算と同じように、乗算でも符号と数字を分けて扱います。

実際の乗算は、数字(絶対値)だけで行う。

第2問の解答・解説

第2問
\begin{equation*}
2.\ \left( -\frac { 3 }{ 4 } \right) \times \left( -\frac { 7 }{ 2 } \right)
\end{equation*}

小数が分数に変わっても同じ流れで計算する

扱う数が分数になりましたが、小数の乗算が分数の乗算に変わっただけなので、第1問と同じように計算します。

また、本問は同符号の2数の乗算です。

同符号の2数の乗算なら、積の符号はプラス。

計算過程は以下のようになります。分数の乗算では、約分を終えてから乗算しましょう。

分数の混じった乗算

解答例のように分数を1つにまとめた形で書くようにすると、分母の数字と分子の数字を区別しやく計算ミスを減らせます。

約分が終わったら積を求めて計算終了です。

参考 分数の扱いに慣れておく

高校数学では、除算しても割り切れない場合が多いので、分数をよく扱います。除算に出会ったら、割り切れたときはラッキーくらいに考えておきましょう。分数の扱いについての詳細は以下でも解説しています。

計算でラクをするために分数の扱いに慣れよう。

第3問の解答・解説

第3問
\begin{equation*}
3.\ 10\div \left( -6 \right)
\end{equation*}

除算を乗算に置き換える。

除算でも符号の規則性は乗算と同じですが、ここでは除算を乗算に置き換え、乗算に統一する方針で解いていきます。

除算を乗算に置き換えるには、割る数の逆数を取る必要があります。

逆数は、もとの数の分母と分子を入れ替えた数のこと。

逆数を掛けることが除算を乗算に置き換えることです。

乗算に置き換えた後は、第1問や第2問と同じ流れで計算していきます。計算過程は以下のようになります。

整数の除算

第2問と同じように分数の乗算が出てくるので、約分を意識して計算しましょう。約分が終わったら積を求めて計算終了です。

第4問の解答・解説

第4問
\begin{equation*}
4.\ \left( -\frac { 2 }{ 5 } \right) \div \left( -\frac { 2 }{ 3 } \right)
\end{equation*}

これまでと同じ要領で計算します。

除算を乗算に置き換え、答えの符号を決め、答えの数字を乗算して求めます。計算過程は以下のようになります。

分数の除算

これまでの乗除算は2数だけの基本的な問題です。符号の規則性を覚え、計算の流れを把握しましょう。

易しい計算で、符号の規則性や計算の流れをマスターしよう。

次は、3つ以上の数の乗除算を扱います。

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