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中学数学|正負の数の四則混合算を解いてみよう

四則計算の優先順位を理解する 中学数学

加減算と乗除算の次は、これらが混在する四則混合算です。この四則混合算をこなせるようになるのが、計算問題での最終目標です。

四則混合算が解ける頃には、多項式や単項式の区別がつき、計算の優先順位もつけられるようになっているでしょう。

計算の流れを意識して、それが自然と頭の中でイメージできるようになれば、素早く丁寧に計算できるように仕上げましょう。

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四則の混じった計算

四則が混ざった計算を四則混合算などと言います。

四則とは、加法(加算)、減法(減算)、乗法(乗算)、除法(除算)のこと。

この四則混合算では、計算の優先順位があります。優先順位に応じて計算していかないと、正しい解を得ることはできません。

四則の優先順位

四則の優先順位は原則的には以下のようになっています。

  1. 乗算や除算などの乗除算
  2. 加算や減算などの加減算

原則としての優先順位はありますが、カッコを含む場合にはカッコの中の計算が優先されるので注意が必要です。

ただし、カッコの中だけで見れば、計算の優先順位は原則と同じように加減算よりも乗除算が優先されます。算数でも数学でも計算の優先順位に違いはありません。

単項式と多項式を区別しよう

正負の数を扱うようになると、計算の優先順位は知っていても頻繁に計算ミスを起こします。

どこに原因があるのかを考えてみると、単項式と多項式の区別を付けられないことが原因ではないかと考えられます。

単項式と多項式の区別がつかないということは、計算記号のプラス(+)とマイナス(-)符号のプラス(+)とマイナス(-)の区別もついていないと考えられます。

単項式と多項式を区別できれば、それらの成り立ちから計算の優先順位も分かってきます。

四則混合算にはこれまでに学習したことが全て入っているので、その総決算のような計算です。文字を含む整式を手足のように扱うためにも演習を数多くこなすことが大切です。

式をよく観察しよう

次の計算問題を解いてみます。

例題
\begin{align*}
1.\quad &5+\left( -2 \right) \times 4 \\[ 10pt ]
2.\quad &\left( -12-20 \right) \div 4 \\[ 10pt ]
3.\quad &45\div { \left( -3 \right) }^{ 2 } \\[ 10pt ]
4.\quad &4\div 7\times \left( 6-7 \right)
\end{align*}
方針や解き方

式を観察すると、全ての問題に乗算や除算の計算記号があるので、乗除算が含まれていることに気づきます。

また、加算はあっても減算はないことにも気付きます。

優先順位の高い計算から手をつける

優先順位の高い計算を見つけて、そこから処理していきます。このとき、計算の優先順位の高いカッコと乗除算の記号を探しましょう。

式を観察して、計算の方針を決めよう。

第1問の解答・解説

\begin{equation*}
1.\quad 5+\left( -2 \right) \times 4
\end{equation*}

単項式か多項式か

式を左から順に見ていくと、$5 \ , \ + \ , \ \left( -2 \right) \ , \ \times \ , \ 4$ の順に並んでいます。カッコと乗算の計算記号があるので、そこから見ていきます。

カッコの中には負の数 $-2$ だけなので、カッコの中の計算はありません。このように計算記号と符号とを区別したいとき、カッコでくくっておきます。

たとえばカッコがないと、$+-2$ と連続した記述になります。これではどんな計算をすれば良いのか分かりません。このようなことを防ぐためにカッコを使います。

カッコを使うと、計算記号と符号とを区別することができる。

本問では、カッコの前の「+」は符号ではなく、加算の計算記号です。

式全体を見ると、この式は和で表される多項式と考えることができます。加算記号+の前で式を切ると、この式は2つの項を持つことが分かります。

\begin{equation*}
1.\quad 5 \ / \ +\left( -2 \right) \times 4
\end{equation*}
数字の直後に、+や-があれば多項式。スラッシュを入れて分解しよう。

単項式は多項式よりも優先順位が高い

単項式と多項式の定義を思い出してみましょう。

参考 数と式|整式について
参考 数と式|単項式と多項式について

単項式は積の形で表される式で、多項式は和の形で表される式でした。ですから実際に計算するとすれば、優先順位の原則から単項式の方が多項式よりも計算の優先順位が高くなります

ですから複数の項、つまり単項式からなる多項式の場合、多項式全体よりも各項を優先して処理していけば良いことが分かります。

式を観察した結果をまとめると、以下のようになります。

  • $(-2)$ の直前にある「+」は加算の計算記号。式は2つの項からなる多項式。
  • 1番目の項5は定数項。
  • 2番目の項 $\left( -2 \right) \times 4$ は積の形で表された項。

観察結果をもとに計算の方針を立てます。

  1. 2番目の項 $\left( -2 \right) \times 4$ の乗算
  2. 1,2番目の項の加算

単項式の乗算から多項式の加算へと、優先順位の高い順に計算することが分かります。解答例は以下のようになります。

式全体が多項式になっている四則計算

項(単項式)から多項式へと計算していく流れで。

左側の方は、計算過程を丁寧に記述した解答例です。右側の方は、最終目標となる解答例です。計算過程を正しく記述できる自信がつくまでは、丁寧な記述を心掛けた方が良いでしょう。

記述が減るのは確かに楽だが、減ったぶんだけ話が飛躍する。そうなると自分だけでなく、読み手にも理解されにくい記述に。必要な文言が抜けたせいで減点対象になる可能性も。書かない習慣よりも書く習慣を

カッコの使い方は結構大事

数式を記述するとき、カッコはとても便利な記号です。高校数学で使われるのは主に3種類です。

  • 丸カッコ( )
  • 波カッコ{ }
  • 角カッコ[ ]

丸カッコだけでも良さそうですが、複数のカッコが重なると、どうしても見づらくなります。そんなときは角カッコなども使うと分かりやすい数式になります。

カッコの基本的な使い方は、数や式を他と区別する使い方です。カッコでくくられた数や式を1つのかたまりとして扱うことができます。

  • 数の符号と計算記号を区別する。記号や符号を連続させない。
  • 特定の計算を他の計算と区別する。結果的にカッコの中の計算を優先する必要が生じる。

カッコを使うことで、カッコの内側を外側を区別できます。ですからカッコ内で計算ができるのであれば、優先して計算しても問題ないことが分かります。

そういうわけで、カッコ内の計算はカッコ外よりも優先順位が高くなります。

参考 カッコの優先順位について
教科書や参考書を見ると丸カッコ、波カッコ、角カッコの順に使われているようですが、優先順位の明確なルールはなさそうです。教科書の使い方に合わせておく方が無難でしょう。

日本では、( )(丸カッコ、小カッコ)、{ }(波カッコ、中カッコ)、[ ](角カッコ、大カッ
コ)のように呼んで、カッコが重なる場合は、内側から小カッコ、中カッコ、大カッコと使うように指導される。しかし、ここにもいくつか注意が必要である。

  • 小( )、中{ }、大[ ]のルールは国際的ではなく、小( )、中[ ]、大{ }の順に使用する国も多いらしい。日本でも JIS 規格では「小、中、大」という呼び方はしていないそう。
  • 3段以上のカッコを使う場合は、一般的にはむしろ{ }も[ ]も使わずに、単に( )のみを使うことが多い。そのためか大学の教科書などでは 2段位のカッコでも最初から( )だけしか使っていない場合も多い(これも教科書などでの説明はない)。
  • 式によっては、カッコは特別な意味に用いられることがある。その場合は、その特別なカッコを他のカッコを区別して用いる必要がある。たとえば座標や集合など。

出典 カッコや優先順位などについて – 新潟工科大学より

日本などの一部の国では、数式における括弧の入れ子は [{()}] の順で用いられてきた。しかし、世界的には {[()]} の順で用いられる方式が多数派である。
JIS Z 8201-1981 においても「小括弧」・「中括弧」・「大括弧」という名称は廃止され、現在は「丸括弧」・「角括弧」・「波括弧」と表記されている。
なお、この日本工業規格 (JIS) の解説文において、丸括弧・角括弧・波括弧を入れ子にする際の順序については「特に規定しない」としたうえで、{[()]} が大多数(世界中の学術誌のうち約90%)であることが付記されている。
出典 括弧 – Wikipedia 脚注より

第2問の解答・解説

\begin{equation*}
2.\quad \left( -12-20 \right) \div 4
\end{equation*}

単項式か多項式か

式を左から順に見ていくと、カッコ内に $-12-20$ があり、その後ろに $\div \ , \ 4$ があります。カッコでくくられた数や式を1つのかたまりと考えると、$( \text{かたまり} ) \div 4$ となります。

除算は乗算に置き換えることができるので、式全体で見れば単項式です。また、カッコ内はスラッシュを入れると $-12 \ / \ -20$ となるので、$-12 $ と $-20$ の和で表される多項式です。

多項式よりも単項式を優先したい、つまり除算を優先したいところですが、カッコ内の計算を優先するので、カッコ内を先に処理して後で除算します。

カッコを使うと計算の優先順位を変えることができる

四則の優先順位の原則通りであれば、加算よりも除算の方が優先順位が低くなります。しかし、加算をカッコでくくることによって、除算よりも先に計算することができます。

別な言い方をすれば、カッコを使えば、単項式よりも多項式の方を優先できるということです。

観察結果をもとに方針を立てる

式を観察した結果をまとめると、以下のようになります。

  • カッコを1つのかたまりと考えると、式全体では除算。
  • カッコ内では、負の数どうしの加算。

観察結果をもとに計算の方針を立てます。

  1. カッコ内の $-12-20$ の加算
  2. 加算後の和と4との除算

本問はカッコを使うと計算の優先順位が変わる例でした。解答例は以下のようになります。

式全体が単項式になっているが、カッコを含む四則計算

慣れてきたら、一気に分数を作って約分する方針で解いても良いでしょう。

参考 中学数学|正負の数の乗除算を解いてみよう (除算を丸ごと分数にする方法について)

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