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積分法|定積分と区分求積法の関係について

区分求積法って、結構、いい加減!? 数学III

今回は数Ⅲの区分求積法についてです。参考になれば幸いです。

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区分求積法は面積や体積を求める方法の1つ

区分求積法は、面積や体積を求める方法の1つです。

区分求積法とは、面積や体積を区間の分割を限りなく細かくして、各微小部分の和の極限として求める方法。

定義だけではピンとこないかもしれませんが、大まかに説明すると次のようになります。

まず求めたい図形の面積をスライスしていき、長方形の短冊の集まりに分割します。すると、長方形の短冊が横に並んだ状態になります。

この短冊はもとの面積を分割したものなので、その短冊の面積の和が求めたい図形の面積になります。しかし、厳密に言えば、長方形の短冊にしたので、隙間や出っ張りがあってもとの面積と等しいとは言えません。

そこで分割を限りなく細かくしていきます。分割した短冊はほとんど線になってしまいますが、徐々に隙間や出っ張りが限りなく小さくなっていきます。

隙間や出っ張りが限りなく小さくなったところでそれらの和を取れば、もとの図形の面積とほとんど変わらないので等しいことにして良いよね?みたいな感じになります。

限りなく細かく分割した短冊の和は、もとの図形の面積と等しい。

これが分割を限りなく多くする、つまり極限を取ることのメリットです。

極限を取っている時点で、もうアバウトです。極限値でもイコールを使いますが、極限値はあくまでも近似値です。

これまで扱ってきた等式では両辺の値は等しいですが、極限値の場合は異なります。他の単元と違う感覚で接すると、極限値を理解しやすいかもしれません。

定積分で求めた面積とほとんど同じ

ある区間(たとえば $a$ から $b$ まで)でのグラフと $x$ 軸とが挟む部分の面積(=定積分)は、図の斜線部分のようになります。
定積分で求めることができる図形の面積

これと同じ区間で、区分求積法で求めた面積を $x$ 軸の挟む部分の面積(=定積分)と比較してみます。

ある区間( $a$ から $b$ まで)の定積分で求められる面積を区分求積法で考えるわけですから、$n$ 個の短冊にスライスして分割します。

このとき、短冊は長方形となるので、その面積は「縦の長さ×横の長さ」で求めることができます。

短冊の横の長さ(=横幅)は区間の長さを $n$ 等分した長さです。

また、ば縦の長さは、図の場合であれば、短冊の右上にある頂点までの高さになります。この頂点はグラフ上の点なので、$y$ 座標が縦の長さに相当します。

短冊の横の長さは、区間の長さを $n$ 等分した長さで、縦の長さは、グラフ上の点の $y$ 座標。

区分求積法とは?

図の短冊はざっくり作ったので、グラフからはみ出した部分があります。このまま和を求めても、定積分の値とは等しくないことは分かると思います。しかし、分割数を10等分、100等分・・・と変えていけばどうなるでしょうか?

分割数が増えるのに伴って短冊の横幅が小さくなるので、はみ出した部分(誤差)も徐々に小さくなっていきます。

そうやって、等分する $n$ の値を限りなく大きくすれば(極限を取れば)、短冊の横幅は限りなく小さくなり、その結果、はみ出した部分(誤差)も無視できるくらいに小さくなります。

そうなってしまえば、区分求積法を使って求めた面積は、定積分して求めた面積と等しいと見なせるようになるわけです。

図に記載してある式を抜き出すと以下のようになっています。

\begin{equation*}
\int _{ a }^{ b }{ f\left( x \right) dx } =\lim _{ n\to \infty }{ \frac { b-a }{ n } } \sum _{ k=1 }^{ n }{ f\left( a+\frac { b-a }{ n } k \right) }
\end{equation*}

この式は、ある区間での定積分(左辺)同じ区間での区分求積法による面積(右辺)とが等しいことを表す式です。

Σ(シグマ)を使っているのは、短冊の面積の和を求めたから。

また、Σ(シグマ)の前にある分数は、区間の長さを $n$ 等分したときの短冊の横幅を表します。

この分数がΣ(シグマ)の前にあるのは、短冊の横幅。面積の和から共通因数になる短冊の横幅をくくり出した。結局、Σ(シグマ)で和を取っているのは、短冊の縦の長さ(グラフの $y$ 座標)。式の左辺は、変形後の式なので注意。

次はよく出題される、具体的な区間で考えます。

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数学III
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