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頑張れ!受験生! 数学の公式・定理集あります。物理のヒント集始めました。
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集合と論理|集合と要素について

集合と論理 数学I

今回から「集合と論理」という単元を学習します。「数と式」では基本的に数や式の扱い方を学習しますが、「集合と論理」では数学的な思考の仕方を学習します。計算力よりも論理的な思考力を養うことに力点が置かれているので、すぐに理解できなくてもじっくりと考えることが大切です。

最初は用語やルールの解説なので、しっかり把握しましょう。何事も最初が肝心です。なお、記事の画像が見辛いときはクリックすると拡大できます。

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集合と要素

集合について

まずは「集合」についてです。集合とは、ある条件を満たすものの集まりのことです。名前の「集まる、合わさる」という言葉から、何かが集まっているイメージが頭に浮かべば良いでしょう。

次に「要素」についてです。要素とは、集合の中にある1つ1つのもののことです。ある条件を満たすものが要素で、その要素が集まって集合を作っています。

また、集合や要素でアルファベットを使うとき、集合なら大文字を使って集合 $A$、要素なら小文字を使って要素 $a$ と表します。

集合と要素の関係を表す

集合と要素の関係は、グループ(主)とそれに所属している構成員(従)との関係に似ています。ですから「属する(=所属している)」や「属さない(=所属していない)」といった表現をします。

たとえば集合 $A$ に要素 $a$ が属しているとき「 $a$ は $A$ に属する」と言います。また集合 $A$ に要素 $b$ が属していないとき「 $b$ は $A$ に属さない」と言います。「属する」や「属さない」を表す記号があるので、この記号を使って集合と要素との主従関係を表すことができます。

集合と要素の関係の表し方
( $a$ は $A$ に属する) = $a \in A$
( $b$ は $A$ に属さない) = $b \notin A$

まとめると以下のようになります。

集合と要素の関係

集合の表し方

次は集合の表し方です。集合はある条件を満たす要素の集まりでした。ですから条件によっては、たくさんの要素が集合に属している可能性があります。

このような集合を表すには、次の2通りの方法があります。

集合の表し方
その1:条件を満たす要素を書き並べる方法
その2:要素が満たす条件を述べる方法

要素を書き並べる方法では、書き並べた要素全体を波カッコ({)でくくり、1つのかたまり(=集合)にしてしまいます。条件を述べる方法では、要素を書き並べることができないので、要素が満たす条件を任意の文字( $x$ や $a$ など)を用いた数式や説明で表します。

例えば、集合 $A$ が5以下の自然数の集合であるとします。この集合 $A$ をそれぞれの表し方で表してみましょう。

集合の表し方は2通り
\begin{align*}
A &= \{1 \ , \ 2 \ , \ 3 \ , \ 4 \ , \ 5 \} \quad \text{(要素を書き並べた)} \\[ 5pt ]
&= \{x \ | \ x \ \text{は5以下の自然数} \} \quad \text{(条件で表した)}
\end{align*}
テストでは2つ目の方法で表されていることが多い。これは「条件を満たす要素を書き出せるか」という意図があるから。条件を満たす要素を自分で書き出せるようにしておこう。

まとめると以下のようになります。

集合の表し方

集合の種類

複数の集合を扱う場合、集合の性質や集合どうしの関係によって分類しておくと区別しやすくなります。主に3種類の集合について知っておきましょう。

部分集合

部分集合とは、名前の通り、ある集合の一部となっている集合のことです。たとえば2つの集合 $A \ , \ B$ があって、集合 $B$ の要素がすべて集合 $A$ に属しているとき、集合 $B$ は集合 $A$ の一部になっています。このようなとき「 $B$ は $A$ の部分集合」といいます。

また「集合 $A$ と集合 $B$ は包含関係にある」や「集合 $B$ は集合 $A$ に含まれる」などと言う場合もあります。どれも同じ内容の表現なので混乱しないようにしましょう。

集合 $B$ が集合 $A$ の部分集合である
= (集合 $B$ の要素がすべて集合 $A$ に属している)
= (集合 $A$ と集合 $B$ は包含関係にある)
= (集合 $B$ は集合 $A$ に含まれる)

空集合

空集合とは、空っぽの集合のことで、条件を満たす要素がない集合のことです。空集合は要素をもたないので、Φ(ファイ)と表します。空集合は要素を持たない空っぽの集合なので、どの集合にも含まれることが可能です。ですから空集合はすべての集合の部分集合になります。

空集合の表し方
集合 $A$ が空集合であるとき
\begin{equation*}
A = \varnothing
\end{equation*}

全体集合

全体集合は、集合や要素を考えるときに予め決められた集合のことで、よくアルファベットの $U$ が割り当てられます。

たとえば、5以下の自然数の集合 $A$ を考えたとき、集合 $A$ の要素は5以下の自然数ですが、集合 $A$ の外の要素は5以下の自然数以外なので、無限にあります。これを防ぐために全体集合 $U$ を使います。全体集合 $U$ が10以下の自然数の集合だとすれば、集合 $A$ 以外の要素は限られた個数になります。

このように全体集合が大きな囲いのようになります。このおかげで、最初から扱う要素の総数が決まり、しかも集合外の要素も有限個になった状態で集合や要素を考えることができます。ですから、全体集合があれば、全体集合の外の要素は考える必要がなくなります。

集合の種類をまとめると以下のようになります。

集合の種類について

集合どうしの関係の表し方

2つの集合 $A \ , \ B$ が包含関係にあるとき、記号や図を使って表すことができます。記号は「⊂」や「⊃」を使いますが、集合と要素の関係を表す記号に似ているので、しっかり区別しましょう。

集合の包含関係を表す記号
集合 $B$ が集合 $A$ に含まれるとき、
\begin{equation*}
B \subset A \ \text{または} \ A \supset B
\end{equation*}

また、図はベン図と言われ、包含関係を表す場合、一方の集合が他方の集合にすっぽりと包まれるように描きます。

集合どうしの関係

余談ですが、2016年のセンター試験で「 $\in \ , \ \notin \ , \ \subset \ , \ \supset$ 」などの記号を使い分ける問題が出題されています。「センター試験にこんなに易しい問題を出題して良いの?受験生を舐め過ぎじゃないの?」と驚いた記憶があります。あまりにも基本的過ぎて入試レベルではほとんど出題されないので、間違えた人が意外といたかもしれません。

集合や要素を扱うときは可視化するのが基本

集合や要素を扱うとき、とにかく可視化することが大切です。複数の集合を扱うことが多くなるので、可視化することはとても有効です。

集合と要素であれば、要素を書き並べて表すと良いでしょう。また、集合どうしであれば、ベン図を利用しましょう。

特に、ベン図を使うと包含関係や属す要素などが一目で把握できます。数学では図や表は材料となる条件やヒントの下ごしらえのようなものです。また図や表にまとめることによって、条件やヒントの整理に役立つので、積極的に作図するようにしましょう。

これらを基本作業として習慣化しておくと、問題を解く前に材料が揃った状態になり、スムーズに解答していくことができるでしょう。

集合や要素を扱い方

次は実際に問題を解いてみましょう。用語や記号の定義を意識しながら解きましょう。

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ちょっとど忘れしたときの公式・定理集

数学で覚えるべき公式や定理は、一覧で眺めてみるとそれほど多くはありません。大切なことは覚えることではなく、「公式や定理をどのように使うか」です。

公式・定理集で確認しつつ、演習で積極的に使っていきましょう。

日々是鍛錬 ひびこれたんれん
kiri

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