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頑張れ!受験生! 数学の公式・定理集あります。物理のヒント集始めました。
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図形と計量|正弦定理・余弦定理、面積への応用について

正弦定理、余弦定理、面積への応用 数学I

今回は、図形への応用になります。三角比を扱った総合問題と考えて良いでしょう。

総合問題になると、三角形はもちろん、四角形や円とも絡めた問題も出題されます。図形の定義や性質だけでなく、それらに三角比がどのように関係してくるかを把握する必要があります。

今まで学習してきた知識を優先順位を考えながら使い分け、要求される数量を求めなければなりません。まずは解までの一連の流れを把握し、次にポイントを細かくチェックしていきましょう。

なお、記事の画像が見辛いときはクリックすると拡大できます。

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三角比を扱った総合問題

三角比を扱った総合問題では、特に円や四角形と絡めた問題が多く出題されます。正弦定理は外接円と関係が深いので当然と言えます。

参考 図形と計量|正弦定理について

他には三角形の内接円や円に内接する四角形を扱った問題も出題されます。図形によってどの知識と関係が深いのかをきちんと整理しましょう。

内接円の半径と三角形の面積

先ほど外接円の話が出ましたが、三角形の内接円も扱います。たとえば内接円の半径を求める問題が出題されます。

三角形の内接円とは、三角形の3辺に内側から接する円のことです。3辺が内接円の接線になっています。また、内接円の中心のことを内心と言います。内心は三角形の3つの内角の二等分線の交点となります。

三角形の内接円

そして、内心と接点とを結んだ線分は、内接円の半径です。この内接円の半径を使って三角形の面積を表すことができます。上図の△ABCを使って考えてみましょう。

三角形の頂点A , B , Cと内心Iとをそれぞれ結ぶと、△ABCは3つの三角形△IBC , △IAC , △IABに分解されます。分解後の3つの三角形の面積の和が、もとの三角形の面積に等しいことが分かります。

三角形を分解して考える
\begin{equation*}
\triangle ABC = \triangle IBC + \triangle IAC +\triangle IAB
\end{equation*}

このとき、3つの三角形△IBC , △IAC , △IABの底辺は、△ABCの辺になります。また、3つの三角形の高さはともに内接円の半径となります。

このような関係をもとに△ABCの面積を求めてみましょう。3つの三角形の面積の和を取ります。

三角形の面積と内接円の半径

△ABCの面積を3辺の長さと内接円の半径で表す
$BC=a \ , \ CA=b \ , \ AB=c \ , \ IQ=IR=IP=r$ とする。
\begin{align*}
\triangle ABC &= \triangle IBC + \triangle IAC +\triangle IAB \\[ 5pt ]
&= \frac{1}{2} \cdot BC \cdot IQ + \frac{1}{2} \cdot CA \cdot IR +\frac{1}{2} \cdot AB \cdot IP \\[ 5pt ]
&= \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br +\frac{1}{2}cr \\[ 5pt ]
&= \frac{1}{2} r \left( a+b+c \right) \\[ 5pt ]
\therefore \ \triangle ABC &= \frac{1}{2} r \left( a+b+c \right)
\end{align*}

導出された式から分かるように、内接円の半径と3辺の長さを用いて三角形の面積を表すことができます。また、この関係をもとにして、三角形の面積から内接円の半径を求めることもできます。

三角形と内接円の話が出てきたら、まずこの関係式を利用する問題。頻出なのは内接円の半径を求める問題。

三角形と円に内接する四角形

四角形は三角形2つぶん

三角比を扱った総合問題では、四角形も扱います。ただ、三角比は基本的に三角形で成り立つものなので、四角形のままでは具合が悪いです。ですから、四角形のままで処理せずに、三角形に分けてしまいます。

四角形を三角形に分割

対角線を使うと、四角形を2つの三角形に分割できます。三角形に分割できれば、三角比を利用することが可能になります。

対角線の引き方は2通りあるが、問題に合わせて分割しよう。

円に内接する四角形の対角

また、円に内接する四角形も出題されます。四角形が円に内接するとき、四角形の頂点はすべて円周上にあります。円の方から見れば、円は四角形に外接しているので四角形の外接円と言えます。

このような四角形と円では、四角形の対角の関係を知っておく必要があります。円周角と中心角の性質を利用して導出されます。

内接する四角形の対角

$\stackrel{ \Large \frown }{ BCD }$ に対する中心角を $\angle BO_{1}D$ 、$\stackrel{ \Large \frown }{ BAD }$ に対する中心角を $\angle BO_{2}D$ とする。
\begin{align*}
&\angle BO_{1}D = 2 \angle BAD \\[ 5pt ]
&\angle BO_{2}D = 2 \angle BCD \\[ 5pt ]
&\angle BO_{1}D + \angle BO_{2}D = 360^{\circ} \\[ 5pt ]
&2 \angle BAD + 2 \angle BCD = 360^{\circ} \\[ 5pt ]
\therefore \ &\angle BAD + \angle BCD = 180^{\circ}
\end{align*}

導出された式から分かるように、円に内接する四角形の対角の和は $180^{\circ}$になります。これを利用すると、一方の内角の大きさが分かれば、他方の内角の大きさを求めることができます。

この対角の和を上手に利用するには、三角比の相互関係を使いこなせないといけません。

対角の和と関係の深い三角比の相互関係
\begin{align*}
&\sin \left( 180 – \theta \right) = \sin \theta \\[ 10pt ]
&\cos \left( 180 – \theta \right) = -\cos \theta \\[ 10pt ]
&\tan \left( 180 – \theta \right) = -\tan \theta
\end{align*}

参考 図形と計量|三角比の相互関係について その2

円に内接する四角形が出てきたら、まず四角形を対角線で2つの三角形に分解します。三角形になれば、あとは正弦定理や余弦定理を利用することができるようになります。その際、円に内接する四角形の対角の和も忘れずに利用しましょう。

円に内接する四角形では、「対角線で三角形に分割」「対角の和」を利用しよう。

次は実際に問題を解いてみましょう。

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