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頑張れ!受験生! 数学の公式・定理集あります。物理のヒント集始めました。
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図形と計量|正弦定理と余弦定理を扱った問題を解いてみよう

正弦定理や余弦定理を扱った問題を解いてみよう 数学I

正弦定理や余弦定理を導出できたら、次に実際に問題を解いてみましょう。定理や公式は覚えるだけでなく、その使い方をマスターしなければ問題を解くことはできません。定理や公式は使ってこそです。

どんな条件のときに定理や公式を利用できるのか、しっかり把握することが大切です。覚えたくらいで満足しないようにしましょう。

なお、記事の画像が見辛いときはクリックすると拡大できます。

参考 図形と計量|三角比の定義について
参考 図形と計量|三角比の拡張について
参考 図形と計量|三角比の相互関係について その1
参考 図形と計量|三角比の相互関係について その2
参考 図形と計量|正弦定理について
参考 図形と計量|余弦定理について

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正弦定理や余弦定理を扱った問題を解いてみよう

基礎レベルの問題だと「正弦定理」などとタイトルが付いているせいで、ネタが割れた状態で解くことが多いと思います。基礎レベルの問題では、学習したことの使い方や問題のパターンを知るためですから、使うネタが分かっているのは当然です。

ただ、問題のレベルが上がってくると、その辺りが巧妙に隠されていて、何を使えば良いか分かり辛くなってきます。しかし、演習を重ねていくと、頭の中が整理されてくるので、問題文を読んだとき「あのパターンだな」と分かってきます。

出題される問題を自分なりにパターン化しておき、そのような問題では悩まずに秒殺しつつ、思考力や応用力を問われるような問題(楽しみたい問題)に時間を使えるようにしましょう。

正弦定理を扱った問題を解いてみよう

問題を解く前に正弦定理の式を思い出してみましょう。

正弦定理
\begin{equation*}
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
\end{equation*}

正弦定理の式は4つの数量が等しいことを1つの等式で表した式で、実際には2つの数量を選んで方程式を作ります。このとき、方程式の作り方には2パターンあります。

1つ目のパターンは、外接円の半径、角の大きさ、辺の長さの3つのうちどれかを求める使い方です。角と辺は対角と対辺の関係にあります。一番多い使い方が外接円の半径を求めるときです。

正弦定理の使い方パターン1
\begin{align*}
&\frac{a}{\sin A} = 2R \\[ 5pt ]
&\frac{b}{\sin B} = 2R \\[ 5pt ]
&\frac{c}{\sin C} = 2R
\end{align*}

2つ目のパターンは、対角と対辺の関係にある2組から、角の大きさまたは辺の長さを求める使い方です。角が2つと辺が2つ使われた式なので、3つの数量が予め分かっていなければなりません。

正弦定理の使い方パターン2
\begin{align*}
&\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \\[ 5pt ]
&\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \\[ 5pt ]
&\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A}
\end{align*}

どちらの使い方であっても対角と対辺の関係に注目しておくことが大切です。正弦定理の使い方を整理できたところで、次の問題を解いてみましょう。

正弦定理を扱った問題

第1問の解答・解説

第1問
△ABCにおいて、$b=6 \ , \ A=45^{\circ} \ , \ B=30^{\circ}$ のとき $a$

問題をよく観察しつつ、作図してみましょう。図形の問題なので、作図すると角や辺の関係を把握しやすくなります。ただし、辺の長さや角の大木さを考えながら作図しましょう。

正弦定理を扱った問題第1問

与えられた条件は対角と対辺の関係にある $b=6 \ , \ B=30^{\circ}$と 求めたい $a$ の対角である $A=45^{\circ}$です。与えられた条件からパターン2を使う問題だと分かります。

公式を早く覚えるためにも、1行目にそのまま公式を書きます。与えられた数を代入したら、求めたい $a$ について変形してから計算します。

第1問の解答例
\begin{align*}
\frac{a}{\sin A} &= \frac{b}{\sin B} \\[ 5pt ]
\frac{a}{\sin 45^{\circ}} &= \frac{6}{\sin 30^{\circ}} \\[ 5pt ]
a &= \frac{6}{\sin 30^{\circ}} \times \sin 45^{\circ}
\end{align*}

もちろん、変形してから代入しても構いません。とにかく計算ミスの少ないやり方を自分なりに見つけましょう。解答例や計算のポイントをまとめると以下のようになります。

正弦定理を扱った問題第1問の解答例

学習したてだと公式を完全に覚えていない。問題を解くとき、まず「公式を書く」そして「その文字に対応する数を代入」の順に解いていくと、公式を使いながら覚えられる。文字と数の対応関係も分かるので要領よくマスターできる。

分数の中に分数がある計算

正弦定理を使った計算では、三角比が分数なので、分数の中に分数がある計算があります。仕組みを知っておくと、ちょっとしたコツで簡単に変形できるようになります。例を挙げて計算の仕組みを考えてみましょう。

分母に分数があるとき
\begin{align*}\frac{3}{\frac{2}{5}}= &3 \div \frac{2}{5} \\[ 10pt ]
= &3 \times \frac{5}{2} \\[ 10pt ]
= &\frac{3 \times 5}{2} \\[ 10pt ]
\therefore \ \frac{3}{\frac{2}{5}} = &\frac{3 \times 5}{2}
\end{align*}

計算過程から分かるように、分母に分数があるとき、その分数は割る数なので、実際に計算するときは逆数を取って掛け算します。ですから、分母に分数があるときは、逆数を取って掛ければ良いということです。

分母にある分数はひっくり返せ。割り算に戻したり、分母と分子に数を掛けたりする必要なし。

第2問の解答・解説

第2問
△ABCにおいて、$a=2\sqrt{6} \ , \ A=120^{\circ}$ のとき外接円の半径 $R$

問題をよく観察しつつ、作図してみましょう。与えられた条件を追記しながら作図します。

正弦定理を扱った問題第2問

第2問では外接円の半径という文言があるので、パターン1だとすぐに分かります。対角と対辺の関係にある角の大きさと辺の長さがきちんと与えられています。

1行目にそのまま公式を書いて、与えられた数を代入します。

第2問の解答例
\begin{align*}
2R &= \frac{a}{\sin A} \\[ 5pt ]
2R &= \frac{2\sqrt{6}}{\sin 120^{\circ}} \\[ 5pt ]
R &= \frac{\sqrt{6}}{\sin 120^{\circ}}
\end{align*}
求めたいのは外接円の半径 $R$なので、$R$ を左辺に書いて立式しよう。

立式したあとは、両辺を2で割っておき、そのあとに計算します。解答例の続きは以下のようになります。

正弦定理を扱った問題第2問の解答例

第2問でも、分数の分母に分数が出てきましたが、「分母の分数はひっくり返せ」です。

分数の中に分数がある計算はここだけではなく頻繁に出会います。ですから、素早く変形して計算できるようにしておきましょう。

次は余弦定理を扱った問題を解いてみましょう。

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ちょっとど忘れしたときの公式・定理集

数学で覚えるべき公式や定理は、一覧で眺めてみるとそれほど多くはありません。大切なことは覚えることではなく、「公式や定理をどのように使うか」です。

公式・定理集で確認しつつ、演習で積極的に使っていきましょう。

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