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頑張れ!受験生! 数学の公式・定理集あります。物理のヒント集始めました。
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複素数と方程式|2次方程式の解と判別式について

数学II

今回は、2次方程式の解と判別式について学習しましょう。2次方程式の解や判別式については、すでに数学1で学習していますが、そのときと異なることがあります。それは、数の範囲が広がっていることです。

数学1では実数までを扱っていましたが、この単元では実数だけでなく、虚数も含む複素数までを扱っています。ですから、解の種類についてもう少し詳細に分類できるようになります。

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2次方程式の解法

2次方程式の解法には、主に2通りの解法が挙げられます。

2次方程式の解法
解法① 因数分解して解を求める。
解法② 解の公式に代入して解を求める。

一般に、解の公式を利用することができれば、上手く因数分解できなくても、2次方程式の解を求めることができます。ここでは、解の公式に絞って解説します。

2次方程式の解の公式は、係数や定数項で表される式です。導出の過程を知っておくと、式の成り立ちをよく理解できるでしょう。

2次方程式の解の公式
\begin{align*}
&\text{$a \ , \ b \ , \ c$ を実数とする。また、$a \neq 0$} \\[ 5pt ]
&\text{このとき、2次方程式} \\[ 5pt ]
&\quad ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0 \\[ 5pt ]
&\text{の解は、} \\[ 10pt ]
&\quad x= \frac{-b \pm \sqrt{b^{\scriptsize{2}}-4ac}}{2a} \\[ 10pt ]
&\text{特に、$b=2b’$ のとき、2次方程式} \\[ 5pt ]
&\quad ax^{\scriptsize{2}}+2b’x+c=0 \\[ 5pt ]
&\text{の解は、} \\[ 10pt ]
&\quad x= \frac{-b’ \pm \sqrt{b’^{\scriptsize{2}}-ac}}{a}
\end{align*}

解の公式が2つありますが、1次の項の係数が偶数かどうかで使い分けます。公式を導出すると以下のようになります。式変形の訓練にちょうど良いので、力試しに取り組んでみると良いでしょう。

2次方程式の解の公式の導出①
\begin{align*}
ax^{\scriptsize{2}}+bx+c &=0 \\[ 7pt ]
a \Bigl(x^{\scriptsize{2}}+\frac{b}{a}x \Bigr)+c &=0 \\[ 7pt ]
a \Bigl\{ \Bigl(x+\frac{b}{2a} \Bigr)^{\scriptsize{2}}-\Bigl(\frac{b}{2a} \Bigr)^{\scriptsize{2}} \Bigr\}+c &=0 \\[ 7pt ]
a \Bigl\{ \Bigl(x+\frac{b}{2a} \Bigr)^{\scriptsize{2}}-\frac{b^{\scriptsize{2}}}{4a^{\scriptsize{2}}} \Bigr\}+c &=0 \\[ 7pt ]
a \Bigl(x+\frac{b}{2a} \Bigr)^{\scriptsize{2}}-\frac{b^{\scriptsize{2}}}{4a} +c &=0 \\[ 7pt ]
a \Bigl(x+\frac{b}{2a} \Bigr)^{\scriptsize{2}} &=\frac{b^{\scriptsize{2}}}{4a} -c \\[ 7pt ]
a \Bigl(x+\frac{b}{2a} \Bigr)^{\scriptsize{2}} &=\frac{b^{\scriptsize{2}}-4ac}{4a} \\[ 7pt ]
\Bigl(x+\frac{b}{2a} \Bigr)^{\scriptsize{2}} &=\frac{b^{\scriptsize{2}}-4ac}{4a^{\scriptsize{2}}} \\[ 7pt ]
x+\frac{b}{2a} &= \pm \sqrt{\frac{b^{\scriptsize{2}}-4ac}{4a^{\scriptsize{2}}}} \\[ 7pt ]
x+\frac{b}{2a} &= \frac{\pm \sqrt{b^{\scriptsize{2}}-4ac}}{2a} \\[ 7pt ]
x &= \frac{\pm \sqrt{b^{\scriptsize{2}}-4ac}}{2a}-\frac{b}{2a} \\[ 7pt ]
x &= \frac{-b \pm \sqrt{b^{\scriptsize{2}}-4ac}}{2a}
\end{align*}

公式の導出を見ると分かるように、2次方程式の解の公式は、平方完成を利用して導出されます。1次の項が偶数のときは以下のようになります。

2次方程式の解の公式の導出②
\begin{align*}
&\text{特に、$b=2b’$ のとき} \\[ 5pt ]
&\quad x= \frac{-2b’ \pm \sqrt{\bigl(2b’ \bigr)^{\scriptsize{2}}-4ac}}{2a} \\[ 7pt ]
&\quad \ = \frac{-2b’ \pm \sqrt{4b’^{\scriptsize{2}}-4ac}}{2a} \\[ 7pt ]
&\quad \ = \frac{-2b’ \pm \sqrt{4\bigl(b’^{\scriptsize{2}}-ac \bigr)}}{2a} \\[ 7pt ]
&\quad \ = \frac{-2b’ \pm 2 \sqrt{b’^{\scriptsize{2}}-ac}}{2a} \\[ 7pt ]
&\quad \ = \frac{-b’ \pm \sqrt{b’^{\scriptsize{2}}-ac}}{a}
\end{align*}

なお、これまでの2次方程式では、整式を扱っていました。しかし、複素数を学習したこともあり、今後、方程式の係数はすべて実数として扱います。また、方程式の解は複素数の範囲で考えなければなりません。

方程式の係数が整数とは限らない。方程式の解も実数解だけとは限らない。

2次方程式の解の種類の判別

2次方程式の解の公式で得られる解について、根号の部分に注目すると、解を分類することができます。これが解の種類の判別です。

負の数の平方根は存在しない」という平方根の定義を思い出しましょう。この定義を用いれば、根号の中にある式の値によって、解の種類を分類できることが分かるでしょう。

解の公式において、根号の中にある式に注目します。

判別式の定義①
\begin{align*}
&\text{2次方程式 $ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0$ の解は} \\[ 5pt ]
&\quad x= \frac{-b \pm \sqrt{b^{\scriptsize{2}}-4ac}}{2a} \\[ 7pt ]
&\text{ここで、} \\[ 5pt ]
&\quad D = b^{\scriptsize{2}}-4ac \\[ 7pt ]
&\text{とおくと} \\[ 5pt ]
&\quad x= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
\end{align*}

一般に、根号の中にある式を、D で表し、判別式と呼びます。判別式という用語を知っている人はほとんどですが、何を判別できるのかを説明できる人は意外と多くありません。2次方程式の解の種類を判別する式だから「判別式」と言います。

判別式=2次方程式の解の種類を判別するための式

2次方程式の解を、判別式の値に応じて分類します。これまでと異なるのは、判別式の値が負のときです。

2次方程式の解の種類の判別
\begin{align*}
&\quad x= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \\[ 10pt ]
&\text{(1) $D \gt 0$ のとき、$+\sqrt{D}$ と $-\sqrt{D}$ が存在するので、} \\[ 5pt ]
&\quad \text{2次方程式は異なる2つの実数解をもつ。} \\[ 7pt ]
&\text{(2) $D = 0$ のとき、$\pm \sqrt{D}=0$ となるので、} \\[ 5pt ]
&\quad \text{2次方程式は重解(ただ1つの実数解)をもつ。} \\[ 7pt ]
&\text{(3) $D \lt 0$ のとき、負の数の平方根となるので、} \\[ 5pt ]
&\quad \text{2次方程式は異なる2つの虚数解をもつ。}
\end{align*}

まとめると以下のようになります。

2次方程式の解と判別式
\begin{align*}
&\quad x= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \\[ 10pt ]
&(1) \quad D \gt 0 \ \Longleftrightarrow \ \text{異なる2つの実数解をもつ} \\[ 7pt ]
&(2) \quad D = 0 \ \Longleftrightarrow \ \text{重解をもつ} \\[ 7pt ]
&(3) \quad D \lt 0 \ \Longleftrightarrow \ \text{異なる2つの虚数解をもつ} \\[ 10pt ]
&\text{なお、(1)と(2)をまとめて} \\[ 7pt ]
&\quad D \geqq 0 \ \Longleftrightarrow \ \text{実数解をもつ} \\[ 10pt ]
&\text{また、(3)について、2つの虚数解は互いに共役な複素数}
\end{align*}

一般に判別式と言う場合、上記の式を覚えておけば問題ありません。1次の項の係数が偶数のとき、判別式をもう少し簡単な式で表せるので、余裕があれば覚えておくと良いでしょう。

判別式の定義②
\begin{align*}
&\text{2次方程式 $ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0$ の解は} \\[ 5pt ]
&\quad x= \frac{-b \pm \sqrt{b^{\scriptsize{2}}-4ac}}{2a} \\[ 7pt ]
&\text{ここで、} \\[ 5pt ]
&\quad D = b^{\scriptsize{2}}-4ac \\[ 7pt ]
&\text{とおく。} \\[ 5pt ]
&\text{$b=2b’$ のとき} \\[ 5pt ]
&\quad D = \bigl(2b’ \bigr)^{\scriptsize{2}}-4ac \\[ 7pt ]
&\quad \ = 4b’^{\scriptsize{2}}-4ac \\[ 7pt ]
&\text{両辺を4で割ると} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{D}{4} = b’^{\scriptsize{2}}-ac
\end{align*}

1次の項の係数が偶数のとき、判別式を4で割っても、判別式の値の正負には影響しません。ですから、このような変形をしても問題ありません。

1次の項の係数が偶数のときは、解の公式はもちろんですが、判別式も簡単な式になります。これらを利用すれば計算ミスを減らせるので、使いこなせるようにしておきましょう。

次は、2次方程式の解と判別式を扱った問題を実際に解いてみましょう。

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