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複素数と方程式|2次方程式の解が存在する範囲について

数学2 複素数と方程式 解と係数の関係 数学II

今回は、2次方程式の解が存在する範囲について学習しましょう。2次方程式の係数と2つの解の符号との関係について学習しましたが、その応用になります。しかし、ちょっとした工夫によって、これまでの知識を利用できる形になります。

応用的な内容なので難しく感じるかもしれませんが、じっくり腰を据えて取り組みましょう。

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2次方程式の解の存在範囲

この単元では、2次方程式の解が、特定の実数との大小関係を満たして存在する範囲を調べます。このことは、数学1の単元(2次関数)ですでに学習しています。それを前回と同じように、2次方程式の解を用いて条件を導きます。

本題に入る前に、復習もかねて2次関数のグラフを用いた調べ方を確認しておきましょう。

2次関数のグラフを用いた調べ方

2次方程式の実数解は、2次関数のグラフと x 軸との共有点の x 座標を表します。ですから、2次関数のグラフと x 軸との位置関係を考えれば、実数解α,βが存在する範囲を調べることができます。このことは、実数解の符号でも同じ要領で調べています。

2次方程式の実数解とある実数 k との大小関係を考えるとしましょう。このとき、大小関係は3通り考えられます。

実数解とある実数との大小関係は3通り

  • 2つの実数解α,βがともに実数 k より大きい
  • 2つの実数解α,βがともに実数 k より小さい
  • 2つの実数解α,βの間に実数 k がある

それぞれの場合について、どのような条件が成り立つのかをグラフを用いて考えます。このとき、考えやすいように2次の係数を正にしておき、下に凸のグラフで考えます。

2つの実数解がともに実数 k より大きい場合

2つの実数解がともに実数 k より大きい場合を考えてみましょう。2次関数のグラフを図示すると以下のようになります。

グラフと x 軸との位置関係から、3つの条件を導くことができます。

①2つの実数解がともに実数 k より大
\begin{align*}
&\text{2次方程式 $ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0$ の2つの解を $\alpha \ , \ \beta \ (\alpha \lt \beta)$ とする。} \\[ 5pt ]
&\text{また、判別式を $D$、$f(x)=ax^{\scriptsize{2}}+bx+c \ (a \gt 0)$ とする。} \\[ 5pt ]
&\text{2次方程式 $f(x)=0$ の実数解 $\alpha \ , \ \beta$ がともに} \\[ 5pt ]
&\text{実数 $k$ より大きくなるのは} \\[ 5pt ]
&\quad D \geqq 0 \ , \ \text{軸} \ -\frac{b}{2a} \gt k \ , \ f(k) \gt 0 \\[ 7pt ]
&\text{が成り立てばよい。} \\[ 5pt ]
&\text{したがって} \\[ 5pt ]
&\quad \text{$\alpha \gt k$ かつ $\beta \gt k$} \quad \Longleftrightarrow \quad D \geqq 0 \ , \ \text{軸} \ -\frac{b}{2a} \gt k \ , \ f(k) \gt 0
\end{align*}

判別式の条件については、「異なる2つの~」という文言がないので等号を含みます(以下、同様です)。

2つの実数解がともに実数 k より小さい場合

2つの実数解がともに実数 k より小さい場合を考えてみましょう。2次関数のグラフを図示すると以下のようになります。

グラフと x 軸との位置関係から、3つの条件を導くことができます。

②2つの実数解がともに実数 k より小
\begin{align*}
&\text{2次方程式 $ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0$ の2つの解を $\alpha \ , \ \beta \ (\alpha \lt \beta)$ とする。} \\[ 5pt ]
&\text{また、判別式を $D$、$f(x)=ax^{\scriptsize{2}}+bx+c \ (a \gt 0)$ とする。} \\[ 5pt ]
&\text{2次方程式 $f(x)=0$ の実数解がともに実数 $k$ より小さくなるのは} \\[ 5pt ]
&\quad D \geqq 0 \ , \ \text{軸} \ -\frac{b}{2a} \lt k \ , \ f(k) \gt 0 \\[ 7pt ]
&\text{が成り立てばよい。} \\[ 5pt ]
&\text{したがって} \\[ 5pt ]
&\quad \text{$\alpha \lt k$ かつ $\beta \lt k$} \quad \Longleftrightarrow \quad D \geqq 0 \ , \ \text{軸} \ -\frac{b}{2a} \lt k \ , \ f(k) \gt 0
\end{align*}

2つの実数解がともに実数 k より大きい場合との違いは、軸の条件です。

2つの実数解が実数 k の間にある場合

2つの実数解が実数 k の間にある場合を考えてみましょう。2次関数のグラフを図示すると以下のようになります。

グラフと x 軸との位置関係から、ただ1つの条件を導くことができます。

③2つの実数解が実数 k の間
\begin{align*}
&\text{2次方程式 $ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0$ の2つの解を $\alpha \ , \ \beta \ (\alpha \lt \beta)$ とする。} \\[ 5pt ]
&\text{また、判別式を $D$、$f(x)=ax^{\scriptsize{2}}+bx+c \ (a \gt 0)$ とする。} \\[ 5pt ]
&\text{2次方程式 $f(x)=0$ の実数解が実数 $k$ の間にあるのは、} \\[ 5pt ]
&\quad f(k) \lt 0 \\[ 7pt ]
&\text{が成り立てばよい。} \\[ 5pt ]
&\text{したがって} \\[ 5pt ]
&\quad \text{$\alpha \lt k \lt \beta$} \quad \Longleftrightarrow \quad f(k) \lt 0
\end{align*}

2つの実数解が実数 k の間にある場合、条件は1つだけです。このとき、2次方程式の解は必ず異なる2つの実数解となるので、判別式の条件は不要です。

3通りの場合について、まとめると以下のようになります。

2次方程式の解の存在範囲
\begin{align*}
&\text{2次方程式 $ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0$ の2つの解を $\alpha \ , \ \beta \ (\alpha \lt \beta)$ とする。} \\[ 5pt ]
&\text{また、$f(x)=ax^{\scriptsize{2}}+bx+c \ (a \gt 0)$ とする。} \\[ 5pt ]
&\text{[1] $\alpha \gt k$ かつ $\beta \gt k$} \quad \Longleftrightarrow \quad D \geqq 0 \ , \ \text{軸} \ -\frac{b}{2a} \gt k \ , \ f(k) \gt 0 \\[ 7pt ]
&\text{[2] $\alpha \lt k$ かつ $\beta \lt k$} \quad \Longleftrightarrow \quad D \geqq 0 \ , \ \text{軸} \ -\frac{b}{2a} \lt k \ , \ f(k) \gt 0 \\[ 7pt ]
&\text{[3] $\alpha \lt k \lt \beta$} \quad \Longleftrightarrow \quad f(k) \lt 0 \\[ 7pt ]
&\text{(ただし、[3]のとき、$D \gt 0$ が成り立つので、判別式の条件は不要。)}
\end{align*}

以上は、数学1で学習した内容になります。ここからがこの単元の本題になります。

2つの実数解の和と積を用いるのは間違い

2次方程式の実数解の符号のときと同じように、2つの実数解の和と差を用いて表せば良いのかと言うとそうでもありません。むしろ、2つの実数解の和と差を用いた条件は間違いです。この間違いは意外と多いので要注意です。

よくある間違い
\begin{align*}
&\text{2次方程式 $f(x)=0$ の実数解がともに実数 $k$ より} \\[ 5pt ]
&\text{大きくなるのは、判別式を $D$ とすると} \\[ 5pt ]
&\quad D \geqq 0 \ , \ \alpha+\beta \gt 2k \ , \ \alpha \beta \gt k^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ]
&\text{が成り立てばよい。}
\end{align*}

2つの実数解α,βがともに実数 k よりも大きくなることから、和であれば 2k よりも大きくなり、積であれば k2よりも大きくなると考えてしまいます。確かにこのことは間違いではありません。しかし、その逆は成り立つでしょうか?

2つの実数解α,βの和が 2k よりも大きく、積が k2よりも大きいとき、2つの実数解α,βがともに実数 k よりも大きくなるでしょうか。実数 k を具体的な数で考えてみると間違いに気付きます。

例) k =2 のとき
\begin{align*}
&\text{2次方程式 $f(x)=0$ の実数解がともに $2$ より大きくなるとき、} \\[ 5pt ]
&\quad \alpha \gt 2 \ , \ \beta \gt 2 \\[ 7pt ]
&\text{よって}\\[ 5pt ]
&\quad \alpha \gt 2 \ , \ \beta \gt 2 \ \Longrightarrow \ \alpha+\beta \gt 4 \ , \ \alpha \beta \gt 4 \\[ 7pt ]
&\text{は成り立つ。この逆を考えると}\\[ 5pt ]
&\quad \alpha+\beta \gt 4 \ , \ \alpha \beta \gt 4 \ \Longrightarrow \ \alpha \gt 2 \ , \ \beta \gt 2 \\[ 7pt ]
&\text{は成り立たない。反例は}\\[ 5pt ]
&\quad \alpha=1 \ , \ \beta=5 \\[ 7pt ]
&\text{がある。} \\[ 5pt ]
&\text{したがって、$\alpha \gt k \ , \ \beta \gt k$ のとき} \\[ 5pt ]
&\quad \alpha+\beta \gt 2k \ , \ \alpha \beta \gt k^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ]
&\text{は等価な条件にはならない。}
\end{align*}

実数 k を具体的な値で考えてみると、2つの実数解の和と積を用いた場合、もとのαとβの条件を満たさない組み合わせまで含んでしまうことが分かります。ですから、2次方程式の実数解と実数 k との大小関係では、単純に実数解の和と積を用いた条件に置き換えるのは誤りです。

単純に実数解の和と積を用いた条件に置き換えるのは絶対にダメ。

次は、正しい解法を解説します。

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